二次函数的图像及其性质.doc
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1、【精品文档】如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流二次函数的图像及其性质.精品文档. 26.2 二次函数的图像【学习目标】1、会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象,并能比较它们的异同;理解a,c对二次函数图象的影响,能正确说出两函数的开口方向,对称轴和顶点坐标;2、了解抛物线y=ax2上下平移规律;3、熟练掌握二次函数的性质;4、应用二次函数解决实际问题。【主要概念】【1】二次函数的图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线,这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征:有开口方向;有对称轴;有顶点。【2】二次函数图像的画法五点法:1、先根据函数解析式,求出顶点坐标,在平面直角坐标系中描出顶点M,并用
2、虚线画出对称轴2、求抛物线与坐标轴的交点:当抛物线与x轴有两个交点时,描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来,并向上或向下延伸,就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时,描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像,可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点,画出二次函数的图像。【3】二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸;(2)对称轴是x=,顶点坐标是(,);(3)在对称轴的左侧,即当x
3、时,y随x的增大而增大,简记左减右增;(4)抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸;(2)对称轴是x=,顶点坐标是(,);(3)在对称轴的左侧,即当x时,y随x的增大而减小,简记左增右减;(4)抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,【4】二次函数中,的含义表示开口方向:0时,抛物线开口向上 0时,图像与x轴有两个交点;当=0时,图像与x轴有一个交点;当0.抛物线开口向 a0.抛物线对称轴在y 轴的 侧b=0抛物线对称轴是 轴b0.抛物线与y轴交于 C=0抛物线与y轴交于 c0.抛物线与x 轴有 个交点=0抛物线与x 轴有 个交点0,b0,c0 B、a0,b0
4、 C、a0,b0,c0,b0,c0,图象交y轴于负半轴,可得c0,图象对称轴在y轴的左侧,知x=-0,可得b0.选C【例14】如图2,正方形ABCD边长是16 cm,P是AB上任意一点(与A、B不重合),QPDP.设AP=x cm,BQ=y cm.试求出y与x之间的函数关系式.图2【解】ABCD是正方形,A=B=90,ADP+APD=90.又QPDP,APD+QPB=90.ADP=QPB.有ADPBPQ.=.y=-x2+x.【例15】如图,已知抛物线C1:的顶点为P,与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边),点B的横坐标是11、求P点坐标及a的值;2、如图(1),抛物线C2与抛物线C1关于x
5、轴对称,将抛物线C2向右平移,平移后的抛物线记为C3,C3的顶点为M,当点P、M关于点B成中心对称时,求C3的解析式;3、如图(2),点Q是x轴正半轴上一点,将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N,与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边),当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q的坐标yxAOBPN图2C1C4QEF图(2)yxAOBPM图1C1C2C3图(1)yxAOBPM图(1)C1C2C3HG【解】1、由抛物线C1:得顶点P的为(-2,-5) 点B(1,0)在抛物线C1上 解得,a 2、连接PM,作PHx轴于H,作MGx轴于G点P、M关于点B成中心
6、对称PM过点B,且PBMBPBHMBGyxAOBPN图(2)C1C4QEFHGKMGPH5,BGBH3顶点M的坐标为(4,5) 抛物线C2由C1关于x轴对称得到,抛物线C3由C2平移得到抛物线C3的表达式为 3、抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180得到顶点N、P关于点Q成中心对称 由(2)得点N的纵坐标为5设点N坐标为(m,5) 作PHx轴于H,作NGx轴于G 作PKNG于K 旋转中心Q在x轴上EFAB2BH6 FG3,点F坐标为(m+3,0) H坐标为(2,0),K坐标为(m,-5),根据勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF2
7、52+3234 当PNF90时,PN2+ NF2PF2,解得m,Q点坐标为(,0) 当PFN90时,PF2+ NF2PN2,解得m,Q点坐标为(,0)PNNK10NF,NPF90综上所得,当Q点坐标为(,0)或(,0)时,以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 yxDNMQBCOPEA【例16】如图,直线yx+6分别与x轴、y轴交于A,B两点,直线yx与AB交于点C,与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发,以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动过点E作x轴的垂线,分别交直线AB、OD于P、Q两点,以PQ为边向右作正方形PQMN,设正方形PQMN与ACD重叠部分(阴影部分)的面积为S(
8、平方单位).点E的运动时间为t(秒).(1)求点C的坐标.(2)当0t5时,求S与t之间的函数关系式.(3)求(2)中S的最大值.(4)当t0时,直接写出点(4,)在正方形PQMN内部时t的取值范围.【参考公式:二次函数yax2+bx+c图象的顶点坐标为.】【分析】(1)由两条直线的解析式可直接求得点C的坐标.(2)若AEt,则OE8t,于是所以点Q的纵坐标为(8t),点P的纵坐标为t,于是可构造方程求得t,进而分情况求解.(3)由二次函数的性质并利用配方分别求解,并加以比较确定S的最大值.(4)结合图形可求得.【解】(1)由题意,得解得所以C(3,). (2)根据题意,得AEt,OE8t.所
9、以点Q的纵坐标为(8t),点P的纵坐标为t,所以PQ(8t)t102t.当MN在AD上时,102tt,解得t.当0t时,St(102t),即S2t2+10t.当t5时,S(102t)2,即S4t240t+100.(3)当0t时,S2(t)2+,所以t时,S最大值.当t5时,S4(t5)2,因为t5时,S随t的增大而减小,所以t时,S最大值.而,所以S的最大值为. (4)依题意,结合图形可知,4t,或t6. 【说明】本题意在考查平面内点的坐标的意义,二元一次方程组的应用,不等式(组)的简单应用二次函数与一元二次方程根之间的内在联系,是一道比较好的动态的二次函数综合题. 二次函数1、 一个小球由静
10、止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s(米)与时间t(秒)的数据如下表:时间t(秒)1234距离s(米)281832写出用t表示s的函数关系式.2、 下列函数: ; ; ; ; ,其中是二次函数的是 ,其中 ,3、当 时,函数(为常数)是关于的二次函数4、当时,函数是关于的二次函数5、当时,函数+3x是关于的二次函数6、若点 A ( 2, ) 在函数 的图像上,则 A 点的坐标是. 7、在圆的面积公式 Sr2 中,s 与 r 的关系是()A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系8、正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(c
11、m)的小正方形,用余下的部分做成一个无盖的盒子(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式;(2)当小正方形边长为3cm时,求盒子的表面积9、如图,矩形的长是 4cm,宽是 3cm,如果将长和宽都增加 x cm,那么面积增加 ycm2, 求 y 与 x 之间的函数关系式. 求当边长增加多少时,面积增加 8cm2.10、已知二次函数当x=1时,y= -1;当x=2时,y=2,求该函数解析式.11、富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料,建造猪舍三间,如图,它们的平面图是一排大小相等的长方形.(1) 如果设猪舍的宽AB为x米,则猪舍的总面积S(米2)
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- 二次 函数 图像 及其 性质
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