充分条件与必要条件-点拨.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流充分条件与必要条件-点拨学科：数学教学内容：充分条件与必要条件【基础知识精讲】1.对充要条件的理解对于命题“若p则q”，即p是条件，q为结论.(1)如果已知pq，我们就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.例如，“若x=y,x2=y2”是一个真命题，可写成x=yx2=y2“x=y”是“x2=y2”的充分条件，“x2=y2”是“x=y”的必要条件.(2)如果既有pq，又有qp，就记作pq.这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称充要条件.例如，命题p：x+2是无理数， 命题q：x是无理数.由于“x+2是无理

2、数”“x是无理数”，所以p是q的充要条件.2.从逻辑推理关系上看充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要是用来区分命题的条件p和结论q之间的下列关系：若pq，但qp，则p是q的充分但不必要条件；若qp，但pq，则p是q的必要但不充分条件；若pq，且qp，则p是q的充要条件；若pq，且pq，则p是q的充要条件；若pp，且qp，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.3.从集合与集合之间关系上看若条件p以集合A的形式出现，结论q以集合B的形式出现，则若AB，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的必要条件；若AB，则p是q的充要条件；若AB，且AB，则p既不是q的充分条件，也不是q的必

3、要条件.从集合的观点来判断充要条件的思考方法，可以进一步加深对充要条件的理解.4.应用充分条件，必要条件，充要条件时须注意的问题.(1)充分而不必要条件，必要而不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件，反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，要注意以下几点：确定条件是什么，结论是什么；尝试从条件推结论，结论推条件；确立条件是结论的什么条件；要证明命题的条件是主要的，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立，证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.(2)对于充要条件，要熟悉它的同义词语.在解题时常常遇到与充要条件同义的词语，如“当且仅当”“必须且只

4、需”“等价于”“反过来也成立”.准确地理解和使用数学语言，对理解和把握数学知识是十分重要的.【重点难点解析】本小节重点是充分条件、必要条件、充要条件的概念及命题真假的判断.难点是对“若p则q”命题中，p是q(或q是p)的什么条件的判断问题.首先要注意“条件”和“结论”是可以相互转化的.也就是说“pq”中p和q都可认为是条件(或结论)，只不过一个是条件则另一个就可认为是结论.其次，充分条件和必要条件是同时定义的，亦即对“pq”而言，p是q的充分条件，同时q是p的必要条件.例1 请在下列各题中选出(A)充分不必要条件，(B)必要不充分条件，(C)充分必要条件，(D)既不充分也不必要条件四个选项中最

5、恰当的一项填空：(1)p(x-1)(x+2)=0是qx=-2的 .(2)px5是qx3的 .(3)p0x5是qx-23的 .(4)px2是qx2的 .解：(1)p=x(x-1)(x+2)=0q=xx=-2，即qp，填B.(2)p=xx5q=xx3，填A.(3)p=x0x5q=xx-23，填A.(4)p=xx2q=xx2，填B.评析 对于涉及范围问题的充要条件的判断，可利用集合观点：pq时，称p是q的充分不必要条件.可用“小范围推出大范围”帮助记忆.例2 是的什么条件?并说明理由.解： 但反之却不一定成立.例如取=1,=5,显然满足但不满足所以是的必要但不充分条件.评析 此例中由于但不能推出所以

6、根据箭头推出方向可知是的必要但不充分条件.例3 已知px2-8x-200，qx2-2x+1-a20.若p是q的充分而不必要条件，求正实数a的取值范围.分析 利用数轴观察，能找到解题途径.解：pA=xx-2，或x10， qB=xx1-a，或x1+a，a0如图，依题意，pq，但q不能推出p，说明AB，则有 解得0a3.实数a的取值范围是0a3.例4 设A=x-2xa，B=yy=2x+3,xA，M=ZZ=x2,xA.求使MB的充要条件是什么?解：A=x-2xa,M=ZZ=x2,xA.B=yy=2x+3,xA=y-1y2a+3.当-2a0时，M=Za2Z4.当0a2时，M=Z0Z4.当a2时，M=Z0

7、Za2.当-2a2时，MB42a+3，即a2；当a2时，MBa22a+3，即2a3.综上可知，所求的充要条件为a3.【难解巧解点拨】例1 已知条件pab0,a+b=1；条件qab0,a3+b3+ab-a2-b2=0.求证：p是q的充分必要条件.证明：先证充分性成立：ab0,a+b=1,即b=1-a,a3+b3+ab-a2-b2a3+(1-a)3+a(1-a)-a2-(1-a)2a3+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+2a-a20再证必要性成立：ab0，a0且b0.a3+b3+ab-a2-b2=0，即 (a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=0， (a2-ab+b2)(a

8、+b-1)=0. a2-ab+b20， a+b=1.由、知，p是q的充分必要条件.评析 注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立；(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化.例2 选择题已知条件px+y-2,qx,y不都是-1.则p是q的( ).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析 由四种命题中，原命题逆否命题，逆命题否命题，可知判断p能否推出q，等价于判断q能否推出p；判断q能否推出p，等价于判断q能否推

9、出p.解：px+y-2,qx-1或y1.px+y-2,qx-1且y1.qp,但pq.p是q的充分而不必要条件，选A.评析 注意，pq，要给以证明；而pq，只需举一反例说明.在上例中，要证明或者说明p与q的关系比较困难和抽象，而证明qp很容易：由x=-1且y=-1，即有x+y=-2；说明pq也很容易：设x=-5，y=3，有x+y=-2，但x-1，y-1.这种等价转换换的思想也是一种重要的数学思想方法，它几乎贯穿在整个数学学习过程中，要注意掌握好它，并逐步灵活运用它创造性地解决一些数学问题.例3 判断下列各题中条件是结论的什么条件：(1)条件Aax2+ax+10的解集为R，结论B0a4；(2)条件

10、pAB，结论qAB=B.错误分析：此类题的易错点是在用定义判断时，忽略了无论是AB，还是BA均要认真考虑是否有反例，这一点往往是判断充分性和必要性的关键，也是难点.如(1)题中，往往根据二次不等式的解去考虑此题，而忽略了a=0时原不等式变为10这一绝对不等式的情况.在(2)题中同样容易忽略A=B这一特殊情况.解：(1)=a2-4a0，即0a4当0a4时，ax2+ax+10恒成立.故BA.而当a=0时，ax2+ax+10恒成立，AB.故A为B的必要不充分条件.(2)ABAB=B，而当A=B时，AB=B，即qp，p为q的充分不必要条件.【课本难题解答】课本复习参考题B组第6题提示：当a=0时，原方

11、程变形为一元一次方程2x+1=0，有一个负根x=-当a0时，原方程为一元一次方程，有实根的充要条件是=4-4a0即a1设方程ax2+2x+1=0(a0)的根是x1x2，由x1+x2=-,x1x2=.可知方程ax2+2x+1=0(a0)有一个负的实数根的充要条件是a10 即a0方程ax2+2x+1=0(a0)有两个负的实数根的充要条件是a1-0 即0a10综上所述，ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根a1评析 本题也可以用排除法求解.【命题趋势分析】主要考查：在理解并掌握四种命题及其关系的基础上，会用反证法证明.平时要求：1.初步掌握四种命题及其关系2.掌握反证法【典型热点考题】例1 选择题

12、设全集S=(x,y)x、yR，M=(x,y)=1，N=(x,y)yx+1，那么Cs(MN)等于( ).A.B.（2,3）C.(2,3)D.(x,y)y=x+1分析 本题考查集合的概念与运算，以及分式性质与一次函数的图像.解：集合N表示整个直角坐标系中去掉直线y=x+1后的所有点.由=1，得y=x+1(x2).集合M表示直线y=x+1，去掉点(2，3).集合MN表示直角坐标平面上所有点，但去掉点(2，3).Cs(MN)表示仅含点(2，3)的单元素集合（2,3）.应选B.例2 选择题设甲、乙、丙是三个条件，如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件.那么( )A.丙是甲的充分条件，但

13、不是甲的必要条件B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C.丙是甲的充要条件D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析 本题考查充分条件与必要条件的概念.解：依题意，画出图.不难看出，丙甲，但甲丙.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件，应选A.例3 (1998年江西)已知p2-,qx2+x-30.求p是q的什么条件.分析 本题考查含有绝对值的不等式、一元二次不等式的解法，考查充分条件和必要条件的概念.解：p、q可转化为pxx，或x，qx-6x.pA=xx， qB=xx-6或x.观察图知，AB.p是q的充分但不必要条件.评析 用集合的观点研究充分条件和必要条件有时的确很方便.例4 设命题甲为

14、“0x5”，命题乙为“x-23”.那么( )A.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件分析与解：不等式x-23的解是-1x5，显然，当x满足0x5时一定满足-1x5.而反之不然.如x=-0.5满足-1x5，但不满足0x5，即甲乙，乙甲.故甲是乙成立的充分不必要条件.应选A【同步达纲练习】一、选择题1.“AB=A”是A=B的( ).A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.下列判断正确的是( ).A.(x+1)(x-2)=0是x=-1的充分条件B.x24是

15、x22的必要条件C.x+11是-2x0的充要条件D.(a-2)2+(b+3)2=0是(a-2)(b+3)=0的必要条件3.若条件px+12；条件qx25x-6.则p是q的( ).A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知A是B的必要条件，B是C的充分条件，则A是C的( )A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.无法判断5.“0x5”是“x-23”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.“xy0”是“x+y=x+y”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件二、填空题

16、(从“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出适当的一种填空)1.复合命题“非p”为假命题是复合命题“p或q”为真命题的 .2.k4,b5是一次函数y=(k-4)x+b-5的图像交y轴于负半轴，交x轴于正半轴的.3.是的.三、解答题1.分别举出四个例子，说明p是q的“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”，并说明理由.2.已知全集R，A=xx-36，B=xxa,aN+.当a为何值时.A是B的充分而不必要条件；A是B的必要而不充分条件；A是B的充要条件.3.求关于x的一元二次不等式ax2-ax+10对一切xR

17、都成立的充要条件是什么.4.已知pxZ，yZ，m=x2-y2； qkZ,m=2K+1,或m=4k.求证：p是q的充分条件.【素质优化训练】1.设关于x的一元二次不等式mx2-mx+10对一切实数均成立，求a的取值范围.2.是否存在实数p，使“4x+p0”是“x2-x-20”的充分条件?如果存在，求出p的取值范围.是否存在实数p，使“4x+p0”是“x2-x-20”的必要条件.如果存在，求出p的取值范围.【生活实际运用】在下列电路图中，闭合开关A是灯泡B亮的什么条件：如图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；如图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件

18、；如图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的条件；参考答案：【同步达纲练习】一、1.B 2.C 3.A 4.D 5.A 6.A二、1.充分而不必要条件. 2.充要条件. 3.必要而不充分条件.三、1.略.2.a=3,2,1.提示：AB，结合数轴观察. aa9,aN+.提示：AB. 这样的a不存在.3.0a4.提示：分a0，a0两种情况讨论.4.略【素质优化训练】1.0a4. 2.p4时，“4x+p0”是“x2-x-20”的充分条件，不存在实数p，使“4x+p0”是“x2-x-20”的必要条件.【生活实际运用】图(1)：充分但不必要条件；图(2)：必要但不充分条件；图(3)：充要条件；图(4)：既不充分也不必要条件.精品文档.