2013届中考数学总复习提优讲义 530图形的相似（pdf） 新人教版.pdf

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1、第 课时图形的相似懂得比例的基本性质、 线段的比、 成比例的线段以及黄金分割; 掌握平行线分线段成比例的性质识别图形的相似、 相似多边形能说出相似比的概念掌握相似三角形的判定定理和性质定理, 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题了解图形的位似, 能在直角坐标系中利用坐标变化将一个图形放大或缩小比例基本性质及运用() 线段比: 两条线段的比叫做这两条线段的比() 线段成比例: 四条线段a,b,c,d, 如果abcd, 那么称a,b,c,d四条线段, 其中线段a,d叫做比例, 线段b,c叫做比例, 线段d叫做a,b,c的项, 当比例内项相同时, 即abbc,那么线段b叫做线段a和c的() 比例的

2、性质基本性质:abcd合比性质: 若abcd, 则等比性质: 若abcdefmn(bdfn) , 则() 黄金分割: 在线段A B上有一点C, 如果A CA B, 则点C就是A B的黄金分割点一条线段有个黄金分割点两条直线被一组平行线所截, 所得的对应线段相似三角形的定义、 性质和判定() 相似三角形定义: 对应角, 对应边的两个三角形叫做相似三角形, 相似三角形的对应边的比叫做相似比为的两个三角形是全等三角形() 相似三角形的性质:相似三角形的对应角,对应边 相似三角形对应高的比, 对应中线的比和对应角平分线的比都等于 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于() 相似三角形的判定:角

3、对应相等的两个三角形相似两边对应成比例, 且角相等的两个三角形相似边对应成比例的两个三角形相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似相似多边形() 定义: 对应角, 对应边的两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比称为相似比() 相似多边形的性质:相似多边形的对应对角线的比等于;相 似 多 边 形 的 周 长 的 比 等 于;相似多边形的面积的比等于;相似多边形的对应三角形相似, 相似比等于相似多边形的相似比位似图形如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过, 它们到这点的距离之比, 那么这样的两个图形叫

4、做位似图形, 这个点叫做,这时的相似比又叫做位似比考点比例线段和成比例线段例( 江苏宿迁)如图, 已知P是线段A B的黄金分割点, 且P AP B, 若S表示P A为一边的正方形的面积,S表示长是A B, 宽是P B的矩形的面积, 则SS( 填“” “” 或“” )【 解析】P是线段A B的黄金分割点, 且P AP B, 根据黄金分割的定义得到P AP BA B, 又S表示P A为一边的正方形的面积,S表示长是A B, 宽是P B的矩形的面积, 利用正方形和矩形的面积公式有SP A,SP BA B, 因此SS【 全解】【 小结】本题考查了黄金分割的定义: 一个点把一条线段分成较长线段和较短线段

5、, 并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项, 那么就说这个点把这条线段黄金分割, 这个点叫这条线段的黄金分割点例( 上海)如图, 在菱形A B C D中, 点E、F分别在边B C、C D上,B A FD A E,A E与B D交于点G() 求证:B ED F;() 当D FF CADD F时, 求证: 四边形B E F G是平行四边形【 解析】() 证得A B E与A F D全等后即可证得结论;() 利用D FF CADD F得到D FF CADB ED GG B, 从而根据平行线分线段成比例定理证得F GB C, 进而得到D G FD B CB D C, 最后证得B EG F, 利用一组

6、对边平行且相等即可判定平行四边形【 全解】()四边形A B C D是菱形,A BAD,A B CAD FB A FD A E,B A FE A FD A EE A F,即B A EDA FB A ED A FB ED F()D FF CADD F,D FF CADB ED GG BF GB CD G FD B CB D CD FG FB EG F四边形B E F G是平行四边形【 提醒】本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质, 特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键考点相似形的性质与判定例()( 重庆)已知A B CD E F,A B C的周长为,D E F的

7、周长为, 则A B C与D E F的面积之比为()( 海南)如图() , 点D在A B C的边A C上, 要判 定AD B与A B C相 似, 添 加 一 个 条 件, 不 正 确 的 是()()()AA B DCBAD BA B CCA BB DC BC DDADA BA BA C()( 贵州铜仁)如图() , 六边形A B C D E F六边形GH I J K L, 相似比为, 则下列结论正确的是()AEKBB CH IC六边形A B C D E F的周长六边形GH I J K L的周长DS六边形A B C D E FS六边形GH I J K L【 解析】第() 题考查的是相似三角形的性质

8、因为A B CD E F,A B C的周长为,D E F的周长为, 根据相似三角形的性质求出其相似比是, 再根据面积的比等于相似比的平方得A B C与D E F的面积之比为第() 题考查了相似三角形的判定由A是公共角, 利用有两角对应相等的三角形相似, 即可得A与B正确; 又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似, 即可得D正确; 当A BB DC BC D时,A不是夹角, 故不能判定AD B与A B C相似, 故C错误注意排除法在解选择题中的应用第() 题考查的是相似多边形的性质根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析即可A 六边形A B C D E F六边形GH I J K L

9、,EK, 故本选项错误;B 六边形A B C D E F六边形GH I J K L, 相似比为,B CH I, 故本选项正确;C 六边形A B C D E F六边形GH I J K L, 相似比为,六边形A B C D E F的周长六边形GH I J K L的周长, 故本选项错误;D 六边形A B C D E F六边形GH I J K L, 相似比为,S六边形A B C D E FS六边形GH I J K L, 故本选项错误【 全解】()()C()B【 提醒】运用相似三角形的性质和判定, 除了正确运用定理外, 还要注意正确找出两个三角形的对应边和对应角例( 湖南株洲)如图, 在矩形A B C

10、D中,A B,B C, 沿直线MN对折, 使A、C重合, 直线MN交A C于点O() 求证:C OMC B A;() 求线段OM的长度【 解析】() 根据A与C关于直线MN对称得到A CMN, 进一步得到C OM , 从而得到在矩形A B C D中C OMB, 最后证得C OMC B A;() 利用上题证得的相似三角形的对应边成比例得到比例式后即可求得OM的长【 全解】()A与C关于直线MN对称,A CMNC OM 在矩形A B C D中,B C OMB又MC OA C B,C OMC B A;()在R t C B A中,A B,B C,A C O CC OMC B A,O CB COMA B

11、OM 【 提醒】本题考查了相似三角形的判定与性质、 勾股定理及矩形的性质, 解题的关键是仔细分析并找到相等的角来证得相似三角形考点相似三角形的应用例( 北京)如图, 小明同学用自制的直角三角形纸板D E F测量树的高度A B, 他调整自己的位置, 设法使斜边D F保持水平, 并且边D E与点B在同一直线上已知纸板的两条直角边D E c m,E F c m, 测得边D F离地面的高度A C m,C Dm, 则树高A Bm空间与图形【 解析】利用直角三角形D E F和直角三角形D C B相似求得B C的长后加上小明同学的身高即可求得树高A BD E FB C D ,DD,D E FD C BB C

12、E FD CD ED E c m m,E F c m m,A C m,C Dm,B C B CA BA CB C (m)【 全解】 【 小结】相似三角形的应用关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型考点直角坐标系中位似例( 广西玉林)如图, 正方形A B C D的两边B C、A B分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上, 正方形A B C D 与正方形A B C D是以A C的中点O 为中心的位似图形, 已知A C , 若点A 的坐标为(,) , 则正方形A B C D 与正方形A B C D的相似比是()ABCD【 解析】延长A B 交B C于点E, 根据大正方形的对角线长求得其边长,

13、然后求得小正方形的边长后即可求两个正方形的相似比在正方形A B C D中,A C ,B CA B延长A B 交B C于点E,点A 的坐标为(,) ,O E,E CA E正方形A B C D 的边长为正方形A B C D 与正方形A B C D的相似比是【 全解】B【 提醒】本题考查了位似变换的坐标变化知识, 解题的关键是根据已知条件求得两个正方形的边长例( 江苏常州)在平面直角坐标系x O y中, 已知A B C和D E F的 顶 点 坐 标 分 别 为A(,) 、B(,) 、C(,) 、D(,) 、E(,) 、F(,)按下列要求画图: 以O为位似中心, 将A B C向y轴左侧按比例尺放大得A

14、 B C的位似图形ABC, 并解决下列问题:() 顶点A的坐标为,B的坐标为,C的坐标为;() 请你利用旋转、 平移两种变换, 使ABC通过变换后得到ABC, 且ABC恰与D E F拼接成一个平行四边形( 非正方形) , 写出符合要求的变换过程【 解析】() 延长A O到A, 使AOA O, 延长B O到B, 使BOB O, 连接C O并延长到C, 使COC O, 然后顺次连接即可,再根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可;() 先绕点O顺时针旋转 , 然后向右平移再向下( 或向上)平移, 使ABC的直角边与D E F的直角边重合即可【 全解】() 如图所示,ABC即为所求作的三角形,A(,)

15、,B(,) ,C(,) ;() 如图, 把ABC绕点O顺时针旋转 , 再向右平移个单位, 向下平移个单位, 使BC与D E重合, 或者把ABC绕点O顺时针旋转 , 再向右平移个单位, 向上平移个单位, 使AC与E F重合, 都可以拼成一个平行四边形【 小结】平面直角坐标系中位似变换作图, 若位似中心是坐标原点, 只要将这个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小要求的倍数, 所对应的图形即与原图形是位似的( 四川凉山州)已知ba , 则abab的值是()ABCD( 福建宁德)如图, 在矩形A B C D中,A B,B C, 点E、F、G、H分别在矩形A B C D的各边上,E FA CHG,EHB DF

16、 G, 则四边形E F GH的周长是()( 第题)A B C D ( 山东德州)为了测量被池塘隔开的A、B两点之间的距离, 根据实际情况, 作出如图图形, 其中A BB E,E FB E,A F交B E于点D, 点C在B D上有四位同学分别测量出以下四组数据:B C、A C B;C D、A C B、AD B;E F、D E、B D;D E、D C、B C能根据所测数据, 求出A、B间距离的有()A 组B 组C 组D 组( 第题)( 第题)( 湖北咸宁)如图, 正方形O A B C与正方形O D E F是位似图形,O为位似中心, 相似比为 , 点A的坐标为(,) , 则点E的坐标为()A(,)B

17、,()C(,)D(,)( 湖南湘潭)如图, 在A B C D中, 点E在D C上, 若E CA B,E F, 则B F( 第题)( 辽宁沈阳)已知A B CA B C , 相似比为,A B C的周长为, 则A B C 的周长为( 辽宁阜新)如图,A B C与ABC为位似图形, 点O是它们的位似中心, 位似比是, 已知A B C的面积为, 那么ABC的面积是( 第题)( 湖南娄底)如图, 在一场羽毛球比赛中, 站在场内M处的运动员林丹把球从点N击到了对方内的点B, 已知网高O A 米,O B米,OM米, 则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM米( 第题)( 四川凉山州)如图, 在矩形A B C D

18、中,A B,AD , 点E在AD边上, 且A E,E FB E交C D于点F() 求证:A B ED E F;() 求E F的长( 第题)【 基础达标】( 广西柳州)小张用手机拍摄得到甲图, 经放大后得到乙图, 甲图中的线段A B在乙图中的对应线段是()( 第题)AF GBFH空间与图形CEHDE F( 湖北孝感)如图, 在A B C中,A BA C,A ,B D平分A B C交A C于点D, 若A C, 则AD的长是()ABCD( 第题)( 第题)( 贵州毕节)如图, 在平面直角坐标系中, 以原点O为位似中心, 将A B O扩大到原来的倍, 得到A B O若点A的坐标是(,) , 则点A 的

19、坐标是()A(,)B(,)C(,)D(,)( 湖 北 随 州)如 图, 点D、E分 别 在A B、A C上, 且A B CA E D, 若D E,A E,B C, 则A B的长为( 第题)( 第题)( 第题)( 上 海)在A B C中, 点D、E分 别 在A B、A C上,A E DB, 如果A E,AD E的面积为, 四边形B C D E的面积为, 那么A B的长为( 江苏南京)如图, 在A B C D中,AD c m,C D c m,E为AD上 一点, 且B EB C,C EC D, 则D Ec m( 湖南岳阳)如图, 在A B C中,A BA C,D是A B上的一点, 且ADA B,D

20、FB C,E为B D的中点若E FA C,B C, 则四边形D B C F的面积为( 第题)( 第题)( 江苏无锡)如图, 在A B C中,A C B ,A B c m,D是A B的中点现将B C D沿B A方向平移c m, 得到E F G,F G交A C于H, 则GH的长等于 c m( 湖南长沙)如图, 已知在正方形A B C D中,B E平分D B C且交边C D于点E, 将B C E绕点C顺时针旋转到D C F的位置, 并延长B E交D F于点G() 求证:B D GD E G;() 若E GB G, 求B E的长( 第题)【 综合拓展】 ( 安徽)如图() , 在A B C中,D、E、

21、F分别为三边的中点, 点G在边A B上,B D G与四边形A C D G的周长相等, 设B Ca,A Cb,A Bc() 求线段B G的长;() 求证:D G平分E D F;() 连接C G, 如图() , 若B D G与D F G相似求证:B GC G()()( 第 题)第 课时图形的相似【 自主梳理】() 长度() 成比例外项内项第四比例比例中项()a db cabbcddacembdfnab()B CA C两成比例() 相等成比例相似比()相等成比例相似比相似比相似比的平方()两夹三() 相等成比例()相似比相似比相似比的平方同一点相等位似中心【 当堂过关】 D D C C ()四边形A

22、 B C D是矩形,AD A E BA B E E FB E,A E BD E F D E FA B EA B ED E F()A B ED E F,B EE FA BD EA B,AD ,A E,B EA BA E ,D EADA E E F解得E F 【 课后精练】 D C C () 将B C E绕 点C顺 时 针 旋 转 到D C F的位置,B C ED C FF D CE B CB E平分D B C,D B EE B CF D CD B EB G DD G E,B D GD E G()B C ED C F,B E CF,E B CF D C四边形A B C D是正方形,D C B ,D

23、 B CB D C B E平分D B C,D B EE B C F D CB D F ,F B D FB DB FB C ED C F,B E CF D E GD G B ,即B GD FB DB F,D FD GB D GD E G,B GE G,D GE GB GD GB GE GD GD GD GB ED FD G ()B D G与四边形A C D G的周长相等,B DB GD GA CC DD GA GD是B C的中点,即B DC DB GA CA GB G(A CA G)A BA C,B G(A BA C)(bc)()点D、F分别是B C、A B的中点,D FA Cb,B FA Bc又F GB GB F(bc)cb,D FF GF D GF G D点D、E分别是B C、A C的中点,D EA BE D GF G DF D GE D G即D G平分E D F() B D G与D F G相 似,D F G B,B G DD G F( 公共角) ,BF D G由() , 得F G DF D G,F G DBD GB DB DC D,D GB DC DB、G、C三点在以B C为直径的圆周上B G C 即B GC G