2013中考数学总复习 运动型问题（pdf）.pdf

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1、第 课时运动型问题用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题, 此类问题的显著特点是图形中的某个元素( 如点、 线段、 角等) 或整个几何图形按某种规律运动, 图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、 和谐统一, 体现了数学中“ 变”与“ 不变” 、“ 一般” 与“ 特殊” 的辩证思想, 渗透了分类讨论、 转化化归、 数形结合、 函数方程等重要的数学思想, 综合性较强运动型试题主要类型: () 点的运动( 单点运动、 双点运动) ; () 线的运动( 线段或直线的运动) ; () 形的运动( 三角形运动、 四边形运动、 圆的运动等)类型一点的运动典例( 贵州六盘水)如图() ,

2、已知在A B C中,A B c m,A Cc m,B Cc m如果点P由B出发沿B A方向点A匀速运动, 同时点Q由点A出发沿A C方向向点C匀速运动, 它们的速度均为 c m/s 连接P Q, 设运动的时间为t( 单位:s) (t)解答下列问题:()()() 当t为何值时,P QB C;() 设A Q P的面积为S( 单位:c m) , 当t为何值时,S取得最大值, 并求出最大值;() 是否存在某时刻t, 使线段P Q恰好把A B C的面积平分? 若存在, 求出此时t的值; 若不存在, 请说明理由;() 如图() , 把A Q P沿A P翻折, 得到四边形A Q P Q 那么是否存在某时刻t

3、, 使四边形A Q P Q 为菱形? 若存在, 求出此时菱形的面积; 若不存在, 请说明理由【 解析】这是一个点动型几何问题, 综合性程度高, 但我们只要仔细观察、 冷静思考、 多读几遍题目就会找到解决问题的突破口() 由P QB C时的比例线段关系, 列一元一次方程求解;() 如解答图() 所示, 过点P作P DA C于点D, 构造比例线段, 求得P D, 从而可以得到S的表达式, 然后利用二次函数的极值求得S的最大值;() 要点是利用() 中求得的A Q P的面积表达式, 再由线段P Q恰好把A B C的面积平分, 列出一元二次方程由于此一元二次方程的判别式小于, 则可以得出结论: 不存在

4、这样的某时刻t, 使线段P Q恰好把A B C的面积平分;() 首先根据菱形的性质及相似三角形比例线段关系, 求得P Q、Q D和P D的长度; 然后在R t P Q D中, 求得时间t的值; 最后求菱形的面积, 值得注意的是菱形的面积等于A Q P面积的倍, 从而可以利用() 中A Q P面积的表达式, 这样可以化简计算【 全解】A B c m,A C c m,B Cc m,由勾股定理逆定理, 得A B C为直角三角形,C为直角()B Pt, 则A P tP QB C,A PA BA QA C, 即 t t解得t 当t s时,P QB C()() 如 图 () 所 示, 过 点P作PDA C

5、于点DP DB CA PA BP DB C,即 t PD解得PDtSA QP Dt t()t() ,当ts时,S取得最大值, 最大值为 c m() 假设存在某时刻t, 使线段P Q恰好把A B C的面积平分,则有SA Q PSA B C, 而SA B CA CB C ,此时SA Q P 由() 可知,SA Q Ptt,tt , 化简, 得tt () , 此方程无解,不存在某时刻t, 使线段P Q恰好把A B C的面积平分() 假设存在时刻t, 使得四边形A Q P Q 为菱形, 则有A QP QB Pt如图() 所示, 过点P作P DA C于点D, 则有P DB C,()A PA BP DB

6、CADA C, 即 t P DAD解得PDt,ADt热点题型探究Q DADA Qtt t在R t P Q D中, 由勾股定理, 得Q DPDP Q,即 t() t()(t)化简, 得 t t ,解得t,t t s时,A Q c mA C, 不符合题意, 舍去,t 由() 可知,SA Q PttS菱形A Q P Q SA Q Ptt() () (c m)所以存在时刻t, 使四边形A Q P Q 为菱形, 此时菱形的面积为 c m【 小结】这是一道典型的点运动型问题, 解决此类问题时, 一是要搞清在单点运动变化的过程中, 哪些图形( 如线段、三角形等) 随之运动变化, 即确定整个单点运动变化过程中

7、图形中的变与不变; 二是要运用好相应的几何知识; 三是要结合具体问题, 建立函数模型, 达到解题目的类型二线的运动典例( 福建泉州)已知A、B、C三点不在同一直线上() 若点A、B、C均在半径为R的O上如图() , 当A ,R时, 求B O C的度数和B C的长;如图() , 当A为锐角时, 求证:s i nAB CR;() 若定长线段 B C的两个端点分别在MAN的两边AM、AN(B、C均与点A不重合) 上滑动, 如图() , 当MAN ,B C时, 分别作B PAM,C PAN, 交点为P, 试探索在整个滑动过程中,P、A两点间的距离是否保持不变? 请说明理由()()()【 解析】()根据

8、圆周角定理得出B O CA , 再利用勾股定理得出B C的长;作直径C E, 则EA,C ER, 利用s i nAs i nEB CR, 得出即可;() 首先证明点A、B、P、C都在K上, 再利用s i n B CA P, 得出A Ps i n ( 定值)【 全解】()点A、B、C均在O上,B O CA O BO C,B C 注: 也可延长B O或过点O作B C的垂线构造直角三角形求得B C()证法 一: 如 图 () , 作 直 径C E, 则EA,C ER,E B C s i nAs i nEB CR证法 二: 如 图 ()连 接O B、O C, 作OHB C于点H,()则AB O CB

9、OH,BHB Cs i nAs i nB OHBHO BB CRB CR() 保持不变如图() , 连接A P, 取A P的中点K, 连接BK、C K,在R t A P C中,C KA PAKPK,同理, 得BKAKPK,C KBKAKPK点A、B、P、C都在K上()由 ()可 知s i n B CA P A Ps i n ( 定值)故在整个滑动过程中,P、A两点间的距离不变注: 解法中, 由点A、B、P、C都在K上, 可得Q A PQ B C,Q A PQ B Cs i n B QA QB CA PA PB Cs i n ( 定值)得证【 小结】这是一道典型的“ 线段运动型” 的动态几何问题

10、, 线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化( 如三角形、 平行四边形等) , 问题常以求图形面积的最值, 或者探究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现解决此类问题时, 一是要选择适当的求图形面积的方法若是规则图形, 可以直接选择面积公式计算; 若是不规则图形, 一般情况下选择割补法, 通过“ 割补” 将不规则图形转化为规则图形解决; 二是要根据线段的运动变化过程, 探究其他图形的运动变化规律有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形, 确定线段运动变化的不同阶段, 从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置类型二形的运动典例( 辽宁沈阳)图() , () 是两个相似比为 的

11、等腰直角三角形, 将两个三角形如图() 放置, 小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合() 图() 中, 绕点D旋转小直角三角形, 使两直角边分别与A C、B C交于点E、F, 如图() , 求证:D ED F;A EB FE F;() 在图() 中, 绕点C旋转小直角三角形, 使它的斜边和C D的延长线分别与A B交于点E、F, 如图() , 证明结论:A EB FE F仍成立()()()()()【 解析】()连接C D, 得出ADC D, 求出, 证出C D FAD E即可;由C D FAD E得出A EC F, 同理证C E DB F D, 推出B FC E, 在C E F中根据

12、勾股定理得出C EC FE F, 代入求出即可;() 把C F B绕点C顺时针旋转 得到C G A, 连接G E, 求出G C EE C F,C GC F, 根据S A S证C G EC F E, 推出G EE F, 根据勾股定理求出即可【 全解】()如图() , 连接C D,图() , () 是两个相似比为的等腰直角三角形,放置后小直角三角形的斜边正好是大直角三角形的直角边D为A B的中点,C DA BA C B ,C DADB DA , ,在C D F和AD E中,ADC D,A,C D FAD ED ED F由知C D FAD E,C FA E与证明C D FAD E类似可证C E DB

13、 F D, 得出C EB F,在C E F中,C EC FE F,A EB FE F() 把C F B绕点C顺时针旋转 得到C G A, 如图() , 连接G E,根据旋转得出:C FC G,A GB F,BG A C ,G A E , 在C G E和C F E中,C EC E,G C EF C E,C GC F,C G EC F EG EE F在R t A G E中,A EA GG E,A EB FE F【 小结】这是一道典型的几何图形( 三角形) 运动的动态几何题, 解决此类问题, 一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性, 充分利用不变量来解决问题; 二是要运用特殊与一般

14、的关系, 探究图形运动变化过程中的不同阶段; 三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质, 这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁, 结论更加准确( 山东济南)如图,MON , 矩形A B C D的顶点A、B分别在边OM、ON上, 当点B在边ON上运动时, 点A随之在边OM上运动, 矩形A B C D的形状保持不变, 其中A B,B C, 运动过程中, 点D到点O的最大距离为()( 第题)ABC D( 江苏无锡)如图, 菱形A B C D的边长为c m,DA B 点P从点A出发, 以c m/s的速度, 沿A C向点C作匀速运动; 与此同时, 点Q也从点A出发, 以 c m/s的速度,

15、 沿射线A B作匀速运动当点P运动到点C时, 点P、Q都停止运动设点P运动的时间为ts () 当点P异于点A、C时, 请说明P QB C;() 以点P为圆心、P Q长为半径作圆, 请问: 在整个运动过程中,t为怎样的值时,P与边B C分别有个公共点和个公共点?热点题型探究( 第题)( 四川南充)在R t P O Q中,O PO Q,M是P Q的中点, 把一三角尺的直角顶点放在点M处, 以M为旋转中心, 旋转三角尺, 三角尺的两直角边与P O Q的两直角边分别交于点A、B() 求证:MAMB;() 连接A B, 探究: 在旋转三角尺的过程中,A O B的周长是否存在最小值, 若存在, 求出最小值

16、; 若不存在, 请说明理由( 第题)【 基础达标】( 湖南常德)已知四边形A B C D是正方形,O为正方形对角线的交点, 一动点P从点B开始, 沿射线B C运动, 连接D P, 作CND P于点M, 且交直线A B于点N, 连接O P、ON( 当点P在线段B C上时, 如图() , 当点P在B C的延长线上时, 如图() )() 请从图() , 图() 中任选一图证明下面的结论:BNC P;O PON, 且O PON;() 设A B,B Px, 试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系式()()( 第题)( 广东湛江)如图, 在平面直角坐标系中, 直角三角形A O B的顶点

17、A、B分别落在坐标轴上O为原点, 点A的坐标为(,) , 点B的坐标为(,)动点M从点O出发沿O A向终点A以每秒个单位的速度运动, 同时动点N从点A出发, 沿A B向终点B以每秒个单位的速度运动当一个动点到达终点时, 另一个动点也随之停止运动, 设动点M、N运动的时间为t秒(t)() 当t秒时直接写出点N的坐标, 并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;() 在此运动的过程中,MNA的面积是否存在最大值?若存在, 请求出最大值; 若不存在, 请说明理由;() 当t为何值时,MNA是一个等腰三角形?( 第题)( 四川自贡)如图, 在菱形A B C D中,A B,B AD ,A E F为正三角

18、形, 点E、F分别在菱形的边B C、C D上滑动, 且点E、F不与点B、C、D重合() 证明: 不论点E、F在B C、C D上如何滑动, 总有B EC F;() 当点E、F在B C、C D上滑动时, 分别探讨四边形A E C F和C E F的面积是否发生变化? 如果不变, 求出这个定值; 如果变化, 求出最大( 或最小) 值( 第题)【 综合拓展】( 湖北潜江)在A B C中,A BA C,D为B C的中点,以D为顶点作MDNB()()()( 第题)() 如图() , 当射线DN经过点A时,DM交边A C于点E, 不添加辅助线, 写出图中所有与A D E相似的三角形;() 如图() , 将MD

19、N绕点D沿逆时针方向旋转,DM、DN分别交线段A C、A B于点E、F( 点E与点A不重合) , 不添加辅助线, 写出图中所有的相似三角形, 并证明你的结论;() 在图() 中, 若A BA C ,B C , 当D E F的面积等于A B C的面积的时, 求线段E F的长( 四川宜宾)如图, 在A B C中, 已知A BA C,B C, 且A B CD E F, 将D E F与A B C重合在一起,A B C不动,D E F运动, 并满足: 点E在边B C上沿点B到点C的方向运动, 且D E始终经过点A,E F与A C交于点M() 求证:A B EE CM;() 探究: 在D E F运动过程中

20、, 重叠部分能否构成等腰三角形? 若能, 求出B E的长; 若不能, 请说明理由;() 当线段AM最短时, 求重叠部分的面积( 第题)第 课时运动型问题【 当堂过关】A()四边形A B C D是菱形, 且菱形A B C D的边长为c m,A BB C,B A CD A B又D A B ( 已知) ,B A CB C A 如图() , 连接B D交A C于点O( 第题() )四边形A B C D是菱形,A CB D,O AA CO BA B( 角所对的直角边是斜边的一半) ,O A ,A CO A 运动ts后,A P t,A Qt,A PA QA CA B 又P A QC A B,P A QC

21、A BA P QA C B( 相似三角形的对应角相等)P QB C( 同位角相等, 两直线平行)() 如图() ,P与B C切于点M, 连接PM, 则PMB C( 第题() )在R t C PM中,P CM ,PMP C t由P QA Qt, 即tt,解得t , 此时P与边B C有一个公共点;如图() ,P过点B, 此时P QP B,( 第题() )P Q BP A QA P Q ,P Q B为等边三角形Q BP QA Qtt当 t 时,P与边B C有个公共点如图() ,P过点C, 此时P CP Q, 即 tt,( 第题() )t 当t 时,P与边B C有一个公共点,当点P运动到点C, 即t时

22、,P过点B, 此时,P与边B C有一个公共点,当t 或t 或t时,P与菱形A B C D的边B C有个公共点; 当 t时,P与边B C有个公共点() 连接OM在R t P O Q中,O PO Q,M是P Q的中点,OMPMP Q ,P OMB OMP PMAAMOOMBAMO,PMAOMBPMAOMBMAMB()A O B的周长存在最小值, 最小值为 理由是: 根据()PMAOMB,( 第题)P AO BO AO BO AP AO P令O Ax,A By则yx( x)xx (x ) 当x时,y有最小值,y的最小值是 故A O B的周长存在最小值, 其最小值是 【 课后精练】() ( 选一图证即

23、可) :对于图() ,四边形A B C D为正方形,D C P ,D C P为R t 同理C BN为R t 而CMD P,P CMC D P在R t D C P与R t C BN中,D C P C BN ,C D P P CN,C DB C,R t D C PR t C BNC PBN而O C PO BN ,O CO BC O PB ONONO P,C O PB ON又O CO B,C O BC O PP O BB ONP O B ONO P, 即ONO P,ONO P对于图() ,四边形A B C D为正方形,A C、B D为对角线,D C P 而CMD P,P CMP D CPD BN C

24、 A又D P BANC,B DA C,PD BN C AP BAN,D PCNC PBN而PD BN C A, 且O DO C,PD ON C OO PON,D O PC OND O C ,P ONNO CP O CD O PP O CD O C O PON, 即ONO P,ONO P()A B, 四边形A B C D是正方形,点O到边B C的距离是,图() 中,S四边形O P BNSO BNSB O P(x)x(x) ,图() 中,S四边形O BNPSP O BSP BNxx(x)xx(x)即以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系式为y(x) ,xx(x)() 由题意,A(,)

25、 ,B(,) , 则O A,O B,A B 当t时,ANtA B, 即N是线段A B的中点,N(,)设抛物线的解析式为ya x(x) , 则a() , 解得a,抛物线的解析式为yx(x)xx() 过点N作N CO A于点C由题意,ANt,AMO AOMt,N CNAs i n B A Ott则SMNAAMN C(t)t(t)MNA的面积有最大值, 且最大值为()R t N C A中,ANt,NCANs i nB A Ot,A CANc o s B A Ot( 第题)O CO AA CtNt,t()NM( tt)t() t t 又AMt,ANt(t) ,当MNAN时, t t t, 即tt ,

26、解得t,t( 舍去)当MNMA时, t t t, 即 t t, 解得t( 舍去) ,t 当AMAN时,tt, 即t综上, 当t的值取或或 时,MAN是等腰三角形() 连接A C, 如图所示,( 第题)四边形A B C D为菱形,B AD ,E A C ,E A C ,B AD ,A B C A B C和A C D为等边三角形 ,A CA B在A B E和A C F中,A BA C,A B CA B EA C F(A S A)B EC F() 四边形A E C F的面积不变,C E F的面积发生变化理由: 由() , 得A B EA C F, 则SA B ESA C F故S四边形A E C FS

27、A E CSA C FSA E CSA B ESA B C, 是定值,作AHB C于点H, 则BH,S四边形A E C FSA B CB CAHB CA BBH ,由“ 垂线段最短” 可知: 当正三角形A E F的边A E与B C垂直时, 边A E最短故A E F的面积会随着A E的变化而变化, 且当A E最短时, 正三角形A E F的面积会最小,又SC E FS四边形A E C FSA E F, 则此时C E F的面积就会最大SC E FS四边形A E C FSA E F ( )() () 图 () 中 与AD E相 似 的 三 角 形 有A B D、A C D、D C EA BA C,D为

28、B C的中点,ADB C,BC,B ADC AD又MDNB,AD EA B D同理可得:AD EA C D, MDN C B,B B AD ,AD EE D C ,BMDN,B ADE D CBC,A B DD C EAD ED C E()B D FC E DD E F, B B D F B F D ,E D FB D FC D E ,又E D FB,B F DC D E由A BA C, 得BC,B D FC E DB DD FE CD EB DC D,C DD FE CD E又CE D F,B D FC E DD E F() 连接AD, 过点D作D GE F,DHB F, 垂足分别为G、H(

29、 第题)A BA C,D是B C的中点,ADB C,B DB C在R t A B D中,ADA BB D,ADSA B CB CAD ,SD E FSA B C 又ADB DA BDH,DHADB DA B B D FD E F,D F BE F DD GE F,DHB F,DHD G SD E FE FD G ,E F D G()A BA C,BCA B CD E F,A E FB又A E FC EMA E CBB A E,C EMB A EA B EE CM() 能构成等腰三角形理由:A E FBC, 且AMEC,AMEA E FA EAM当A EEM时, 则A B EE CM,C EA BB EB CE C当AMEM时, 则MA EME A, MA E B A E ME A C EM,即C A BC E A又CC,C A EC B AC EA CA CC BC EA CC B B E () 设B Ex,又A B EE CM,CMB EC EA B, 即CMxxCMxx(x)AMCM(x) 当x时,AM最短为 又当B ExB C时,E为B C的中点A EB CA EA BB E此时,E FA C,EMC ECM ,SA EMAMEM