第四章 线性方程组.ppt

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1、第四章 线性方程组,4.3 线性方程组的解的结构,齐次线性方程组解的结构: 基础解系; 通解一般线性方程组解的结构: 通解带参数的线性方程组,常数项为0的方程组Ax=0, 称为齐次线性方程组. 特别地, Ax=0称为Ax=b对应的齐次线性方程组.,一、齐次线性方程组,齐次线性方程组总有解x=0.,命题4.3.1 Ax=0有非零解秩An.,推论 设A是方阵, 则Ax=0有非零解系数行列式为0.,命题4.3.2 Ax=0的有限个解的线性组合仍为解.,解空间: Ax=0的解集合是向量空间, 称为解空间.,基础解系: 解空间的基底称为基础解系.,通解: 设1, ,s是Ax=0的一个基础解系, 则=k1

2、1+ +kss, 其中k1,ks是任意常数,称为Ax=0的通解,若rn, 则Ax=0有r个主变量，nr个自由变量. 不妨设前r个变量为主变量，后nr个变量为自由变量, 则可得,定理4.3.1 Ax=0的解空间的维数等于n秩A,证明 设秩A=r. 往证解空间的维数为nr.若r=n, 则Ax=0只有零解, 故其解空间的维数为0.,取xr+2=1, 其余自由变量都为0所得之解记为2；,取xn-r=1, 其余自由变量都为0所得之解记为n-r；,取xr+1=1, 其余自由变量都为0所得之解记为1；,下面证明1,n-r是一个基础解系. 因参数解为,写成向量形式,t1t1t1 t1,x1 xr xr+1 x

3、n,= =,c11cr1 1 0,tn-rtn-rtn-r tn-r,+ + +,c1n-r crn-r0 1,x,=,1,n-r,t1,+,tn-r,这表明Ax=0的每个解都是1,n-r的线性组合,c11cr1 1 0, ,c1n-r crn-r0 1,因为,(1,n-r) =,nr行,最后的nr个行组成一个nr解非零子式, 所以它的秩数为nr, 因此, 1,n-r是线性无关的, 于是1,n-r是Ax=0的一个基础解系, 故解空间的维数为nr.,推论 若秩A=r，则任何n-r个无关的解都是基础解系推论的用法：对于简单方程组，找出n-r个无关的解，即可得基础解系.,例 x1+x2+x3+x40

4、 x1+x2-2x3 0因为系数矩阵的秩数为2，故基础解系就是两个无关的解. 容易看出，(1,-1,0,0)T , (1,1,1,-3)T就是两个无关的解，故为基础解系,例4.3.1 求下列方程组的一个基础解系和通解,解 把系数矩阵化成RREF矩阵,相应的方程组为,解出主变量x1, x2得,取x2=1, x4=0；再取x2=0, x4=1，得基础解系,通解为 =a1+b2，其中a, b是任意常数.,命题4.3.3 1) Ax=b的解与Ax=0的解之和是Ax=b的解; 2) Ax=b的两个解之差是Ax=0的解; 3) 设是Ax=b的一个解(称为特解), 1,s是Ax=0的一个基础解系, 则Ax=

5、b的任意解都可表示成入下形式=k11+ +ks+ s, 其中k1,ks是任意常数.(称为Ax=b的通解),二、一般线性方程组,定理4.3.2 对于n元线性方程组Axb 1)若R(A)R(A b)，则方程组无解; 2)若R(A)=R(A b)=n，则方程组有唯一解; 3)若R(A)=R(A b) n，则方程组有无穷解.,推论4.3.2 当A是n阶矩阵时, Ax=b有唯一解系数行列式不等于0.,1 1 2 1 1 30 0 1 0 0 00 0 1 1 2 1,1 1 0 1 1 30 0 1 0 0 00 0 0 1 2 1,0 0 1 1 2 11 1 2 1 1 30 0 1 0 0 0,1

6、 1 0 0 -1 20 0 1 0 0 00 0 0 1 2 1,例 4.3.2. 求解线性方程组,解：将增广矩阵用初等行变换化成约化阶梯形,把RREF矩阵转化成方程组,解出x1, x3, x4,取自由变量全为0，得特解,通解为， =u1+ v2+, 其中u,v是任意常数.,在导出组中取x2=1, x5=0; 再取x2=0, x5=1，得基础解系,三、带参数的方程组,例 当a取何值时, 方程组,无解、有唯一解、有无穷解.,解,系数行列式为,1) 当D0时, 即当a1, 2时, 方程组有唯一解.,2) 当D=0时, a=1或a=2.,i) 当a=1时, 系数矩阵和增广矩阵的秩数都为1, 故方程

7、组有无穷解.,ii) 当a=2时, 增广矩阵为,此时, 系数矩阵的秩数为2, 而增广矩阵的秩数为3, 故方程组无解.,例4.3.3 当a,b,c满足何关系时, 方程组,无解、有唯一解、有无穷解.,解,系数行列式为,1) 当D0时, 即当a,b,c互异时, 方程组有唯一解.,设D=0, 则系数矩阵A的秩数2.,化简增广矩阵B,若r(A)=1, 则a=b=c, 故2) 当a=b=c=1时, 方程组有无穷解; 当a=b=c1时, 方程组无解.,0,0,0,若r(A)=2, 则a,b,c恰有两个相同. 若ab, 则必有(ca)(cb)=0, 故,若a=b, 必有ca. 此时增广矩阵为,3)当ab, (

8、ca)(cb)=0时, 若(1a)(1b)=0, 则方程组有无穷解; 若(1a)(1b)0, 方程组无解.,0,4) 当a=bc时, 若(1a)(1c)=0, 则方程组有无穷解; 若(1a)(1c)0, 方程组无解.,1) 当D0时, 即当a,b,c互异时, 方程组有唯一解.2) 当a=b=c=1时, 方程组有无穷解;当a=b=c1时, 方程组无解.3) 当ab, (ca)(cb)=0时, 若(1a)(1b)=0, 则方程组有无穷解; 若(1a)(1b)0, 方程组无解.4) 当a=bc时, 若(1a)(1c)=0, 则方程组有无穷解; 若(1a)(1c)0, 方程组无解.,总之,因此, 若a,b,c互异,则有唯一解;若a,b,c有相同者,则当有一个为1时,有无穷解, 否则无解.,