圆锥曲线高考专题目复习.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流圆锥曲线高考专题目复习.精品文档.圆锥曲线基本考点1.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（ab0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a0，b0），类似可得：KAB.KOM=；对于y2=2px(p0)抛物线有KAB2.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列

2、的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或（弦端点A，由方程 消去y得到，,为直线的倾斜角，为直线的斜率）. 圆锥曲线的两类对称问题（1）

3、曲线关于点成中心对称的曲线是.（2）曲线关于直线成轴对称的曲线是圆锥曲线的中点弦问题 其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等推论1 设椭圆的弦AB的中点为P（，则。（注：对ab也成立。假设点P在椭圆上，则过点P的切线斜率为）推论2 设双曲线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在双曲线上，则过P点的切线斜率为）推论3 设抛物线的弦AB的中点为P（则。（假设点P在抛物线上，则过点P的切线斜率为一、求中点弦所在直线方程问题例1、过椭圆内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：又设

4、直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两个根，于是又M为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为。解法二：设直线与椭圆的交点为A()，B（），M（2，1）为AB的中点，所以，又A、B两点在椭圆上，则，两式相减得，所以，即，故所求直线方程为。解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A()，由于中点为M（2，1），则另一个交点为B(4-)，因为A、B两点在椭圆上，所以有，两式相减得，由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为。二、求弦中点的轨迹方程问题例2、过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。解法一：设弦PQ中点M（），弦端点P（），Q（），则有，两式相减得，又

5、因为，所以，所以，而，故。化简可得 （）。解法二：设弦中点M（），Q（），由，可得，又因为Q在椭圆上，所以，即，所以PQ中点M的轨迹方程为 （）。三、弦中点的坐标问题例3、求直线被抛物线截得线段的中点坐标。解：解法一：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，消去y得，即，所以，即中点坐标为。解法二：设直线与抛物线交于， ，其中点，由题意得，两式相减得，所以，所以，即，即中点坐标为。有关解析几何的经典结论一、椭 圆1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的外角.2. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.3. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.4. 若在椭圆上，则过的椭

6、圆的切线方程是.5. 若在椭圆外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.6. 椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.7. 椭圆（ab0）的焦半径公式：8. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFNF.9. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.10. AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，11. 即。

7、12. 若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.13. 若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.二、双曲线1. 点P处的切线PT平分PF1F2在点P处的内角.2. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.3. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）4. 若在双曲线（a0,b0）上，则过的双曲线的切线方程是.5. 若在双曲线（a0,b0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.6. 双曲线（a0,bo）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.7. 双曲线（a0,

8、bo）的焦半径公式：( , 8. 当在右支上时，,.9. 当在左支上时，,10. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MFNF.11. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MFNF.12. AB是双曲线（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。13. 若在双曲线（a0,b0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.14. 若在双曲线（a0,b0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.椭圆与双

9、曲线的对偶性质椭 圆1. 设椭圆（ab0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有.2. 已知椭圆（ab0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为;（3）的最小值是.3. 过椭圆（ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.4. 已知椭圆（ ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点, 则.5. 设P点是椭圆（ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .双曲线1. 设双曲线（a0,b0）的两个焦点为

10、F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF1F2中，记, ,，则有.2. 已知双曲线（ba 0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且.3. （1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为;（3）的最小值是.4. 过双曲线（a0,b0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则.5. 设P点是双曲线（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则(1).(2) .高考题型解析1.考查概念已知动点P（x,y）满足，则P点的轨迹是 （ ）A、直线 B、抛物线 C、双曲线 D、椭圆正确答案：A错因：利用圆锥曲线的定义解题，忽视了（1

11、，2）点就在直线3x+4y-11=0上。设和为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积是（ ）。A.1B.C.2D.过双曲线x2的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有_条。错解：2错因：设代入椭圆的方程算出有两条，当不存在，即直线AB轴时，AB4，忽视此种情况。正解：32离心率的取值范围求圆锥曲线离心率的取值范围是高考的一个热点，也是一个难点，求离心率的难点在于如何建立不等关系定离心率的取值范围.一、直接根据题意建立不等关系求解例1.椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）二、借助平面几何关系建立不等关系求解例2：（湖南）设分别是椭圆（）

12、的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ）ABCD.三、利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.例3：（2008福建）双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为A.(1,3)B.C.(3,+)D.四、运用数形结合建立不等关系求解椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围；3.直线与曲线交点问题已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则( )A. B. C. D. 【解析】设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则,

13、点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D.已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且（求椭圆的离心率；（）直线AB的斜率；（）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。解 （1）由，得,从而，整理得，故离心率（2）由（1）知，所以椭圆的方程可以写为设直线AB的方程为即由已知设则它们的坐标满足方程组 消去y整理，得依题意，而，有题设知，点B为线段AE的中点，所以联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得.(3)由（2）知，当时，得A由已知得线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线的方程为，于是

14、点满足方程组由，解得，故当时，同理可得.4.圆锥曲线中的最值问题对于圆锥曲线问题上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量，从而使变量与其中的参变量之间构成函数关系，此时，用函数思想与函数方法处理起来十分方便。例2 直线：和双曲线的左支交于A、B两点，直线过P（）和AB线段的中点M，求在轴上的截距的取值范围。解：由消去得，由题意，有：设M（），则由P（）、M（）、Q（）三点共线，可求得设，则在上为减函数。所以，且所以 所以或5.弦长问题涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.直线ykxb与曲线交于A、B两点，记AO

15、B的面积为S（O是坐标原点） （1）求曲线的离心率； （2）求在k0，0b1的条件下，S的最大值； （3）当AB2，S1时，求直线AB的方程解 （1）曲线的方程可化为：，此曲线为椭圆，此椭圆的离心率 （2）设点A的坐标为，点B的坐标为，由，解得， 所以当且仅当时， S取到最大值1 （3）由得， AB 又因为O到AB的距离，所以 代入并整理，得解得，代入式检验，0 ， 故直线AB的方程是 或或或6.圆锥曲线关于直线对称问题已知F1,F2是椭圆C: （ab0）的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点M满足。（1）求椭圆C的方程。（2）椭圆C上任一动点M关于直线y=2x的对称点为M1（x1

16、,y1）,求3x1-4y1的取值范围。解：（1）由已知，点P在椭圆上有 1分又，M在y轴上，M为P、F2的中点，2分.3分由， 4分解,解得（舍去），故所求椭圆C的方程为。6分（2）点关于直线的对称点为，8分解得10分11分点P在椭圆C:上，。即的取值范围为10，10。12分7.存在性问题(山东卷理)设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，

17、N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以,当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时,. 当AB的斜

18、率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 规律总结1. 判定直线与圆锥曲线位置关系时,应将直线方程与圆锥曲线C的方程联立,消去(也可消去)得一个关于变量的一元方程当时,若有,则与C相交;若,则与C相切;若,则与C相离. 当时,得到一个一元一次方程,若方程有解,则有直线与C相交,此时只有一个公共点;若C为双曲线,则平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则平行于抛物线的轴.所以只有当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线、抛物线可能相切,也可能相交.2. “设而不求”的方法若直线与圆锥曲线C有两个交点A和B时,一般地,首先设出交点A()、B(),它们是过渡

19、性参数,不须求出,有时运用韦达定理解决问题,有时利用点在曲线上代入曲线方程整体运算求解.3. 韦达定理与弦长公式斜率为的直线被圆锥曲线截得弦AB,若A(),B()则 ,然后再结合韦达定理可求出弦长等.练习题【2010湖北省普通高等学校招生全国统一考试模拟训练（二）】双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点）在其右支上，且满足，则的值是（ ）A4020B4019C4020D4019【2010山东省济南市4月模拟】设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则|PM|+|PN|的最小值、最大值分别为（ ）A4，8B2，6C6，8D8，12【2010四川南充高中5月适应性考试】抛物线上的点到直线距离

20、的最小值是( )A B C D【2010北京市宣武区第二学期第二次质检】如图抛物线： 和圆: ，其中，直线经过的焦点，依次交，于四点，则的值为 ( )A B. C. D.P2【2010成都石室中学五月考前模拟】已知为抛物线上一个动点，直线：，：，则到直线、的距离之和的最小值为( )A B C D 【2010河南省郑州市第二次质检】已知点F是双曲线(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是( ) A(1，) B(1，2) C(1，1) D(2，1)【2010湖北文数】已知椭圆的两焦点为,点满

21、足,则|+|的取值范围为_，直线与椭圆C的公共点个数_。（2007全国联考）如图，南北方向的公路l ,A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北300方向2 km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等。现要在曲线PQ上一处建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km,那么，修建这条公路的总费用最低是（ ）万元A.(2+)a B.2(+1)a C.5a D.6a 设P(x,y)是曲线C:+=1上的点，F1(-4,0),F2(4,0),则|PF1|+|PF2|( )A.小于10 B.大于10 C.不大于10 D.不小于10已知双曲线 （ ）的右焦点为

22、F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A（1，2 （1，2） （2，+）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )A B C D (2011山东卷)已知双曲线的两条渐近线均和圆C:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为(A) (B) (C) (D) 已知F为双曲线-=1（a,b0）的右焦点，点P为双曲线右支上一点，以线段PF为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 已知点P是椭圆C：上的动点，F1、F2分别是左右焦点，O为坐标原点，则的取值范围是（ ）A.0, B. C. D.0,已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（）求a,b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。