对称变换和对称矩阵.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流对称变换和对称矩阵.精品文档.7.5 对称变换和对称矩阵授课题目：7.5 对称变换和对称矩阵教学目的： 1掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题 2掌握对称变换的特征根、特征向量的性质3对一个实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使 为对角形授课时数：3学时教学重点：对称变换的特征根、特征向量的性质; 对实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使 为对角形教学难点：定理7.5.4的证明教学过程：一、 对称变换1、一个问题问题：欧氏空间V中的线性变换应该满足什么条件，才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形？V满足：2、对称变换的定义设

2、是欧氏空间V中的线性变换，如果都有、则称是V的一个对称变换例1 以下的线性变换中,指出哪些是对称变换? 3、对称变换与对称矩阵的关系Th1：n维欧氏空间V中的线性变换是对称变换的充分必要条件是：关于任意一个正交基的矩阵是实对称矩阵 证：必要性：设是对称变换，关于V的标准正交基的矩阵是A=即A则 因是对称变换，是标准正交基，所以因此，A是对称矩阵 充分性 设关于V的标准正交基的矩阵是A=是实对称矩阵，即A，A=对任意，有于是AA其中A，A分别是，关于标准正交基的坐标列向量，因此因A=故= 二、 对称变换的基本性质1、特征根的性质Th2 实对称矩阵的特征根都是实数证明：设A= 是一个n 阶实对称矩

3、阵，是A在复数域内的任意一个特征根，是A的属于特征根的特征向量，于是有记 ，两端取共轭转置，由复数共轭的性质及得 所以 A=又因为即A=所以即对称变换的特征多项式在C内的根都是实根2、特征向量的性质Th3：n维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根向量彼此正交。证：设是n维欧氏空间欧氏空间V的一个对称变换，是V的特征向量。则则有因为三、 主要结果1、主要定理Th4：设是n维欧氏空间的一个对称变换，那么存在的一个标准基，使得关于这个基的矩阵是对角形式。证明：对n 用数学家归纳法，n =1时是明显的，因为关于任意单位向量的矩阵都是对角形式。 设n 1，并且假设对于n-1维欧氏空间的对称变换来说定理

4、成立，现在设n 维欧氏空间的一个对称变换，有特征根，令是的一个特征根，是中属于的一个特征向量，并且可设是单位向量：令，在之下不变也在之下不变，事实上，设，对于任意我们有 所以，在上的限制是的一个对称变换，并且的特征根都是的特征根，因。2、求使为对角形正交矩阵U的步骤.Th5：设A是一个n 阶实对称矩阵，那么存在一个n 阶正交矩阵U，使得是一个对角形。 按下列步骤求出使（A是实对称矩阵）为对角形的正交矩阵U， （1）求实对称矩阵A的全部特征根。 （2）对每个不同和特征根，求出齐次线性方程解（）X=的基础解系，并将其正交化、单位化，得到A的属于特征根的一组两两正交的单位特征向量。 （3）以这些单位特征向量为列作成一个矩阵U，则U就是要求的正交阵，以U的列为坐标写出对应的向量，它是的特征向量组成的标准正交基。 例3：设A=求正交矩阵U，使为对角形矩阵。解：因为A 的特征多项式为，故A的特征根为1（三重）和-3（单根）。 当=1时，（）X=的基础解系为： 把它正交化得：当时，（-3I-A）的基础解系为单位化得以为列作矩阵，则U是正交矩阵。