常微分方程期末试题(A答案.doc
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1、【精品文档】如有侵权,请联系网站删除,仅供学习与交流常微分方程期末试题(A答案.精品文档.陇东学院20062007学年第二学期数学与应用数学专业常微分方程课程期末试卷(A)答案一、选择题(每题3分,共15分)。 1、B 2、D 3、C 4、B 5、A。二、解下列一阶微分方程(每小题5分,共15分)1、求解方程;解 令,则,代入原方程,得显然,为方程的一个解,从而为原方程的一个解。 当时,分离变量,再积分,得即通积分为: 2、求解方程;解 当时,分离变量得等式两端积分得 方程的通积分为3、求解方程解 齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为代入原方程,确定出 原方程的通解为4、解方程解 ,因此,原
2、方程是全微分方程 取,原方程的通积分为或 即 5、求解方程解 令,则,原方程的参数形式为 由,有整理得 由,解得,代入参数形式的第三式,得原方程的一个特解为由 ,解得,代入参数形式的第三式,得原方程通解为三、解下列方程组(每小题8分,共16分)。1、求方程组的通解;解 特征方程为即 特征根为 , 对应特征向量应满足可确定出 同样可算出对应的特征向量为 所以,原方程组的通解为2、(8分)求方程组的通解,解 系数矩阵是特征方程为 有三重特征根 于是可设其解为 解得 可分别取,相应的为,为于是可得原方程组三个线性无关解由此可得方程的通解为四、解下列高阶方程(每小题8分,共24分)。1、求方程的通解,
3、解 特征方程为:,即由此得特征根为 ,因此,基本解组为 ,所以通解为 。2、求方程的通解,解 特征方程为:,即由此得特征根为 ,。 因此,基本解组为 , 所以通解为 。3、求方程的通解,解 对应齐次方程的特征方程为 ,即。特征根为,因此齐次方程的通解为由于是单特征根,故已知非齐次方程有形如的特解。将它代入已知方程,并比较的同次幂系数,得,故。于是,可得通解为五、应用题(共10分)。用拉普拉斯变换求解初值问题:解 设 是已知初值问题的解。对已知方程两端同时使用拉普拉斯变换,可分别得到故有 而 故所求的初值解为 六、证明题(共10分)。考察系统的零解的稳定性与渐解 在上,初值为的解为其中 对任一,取,则当时,有故该系统的零解是稳定。又因为可见该系统的零解是渐近稳定的。
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