（专科）第5章 统计量与抽样分布教学ppt课件.ppt

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1、（专科）第5章 统计量与抽样分布教学ppt课件郭国庆主编第第 5章章 统计量与抽样分布统计量与抽样分布5.1 常用的抽样方法5.2 抽样分布的基本概念 5.3 样本统计量的抽样分布5.4 参数估计的基本原理5.5 总体参数的区间估计5.6 样本容量的确定学习目标学习目标理解抽样方法与抽样分布理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法样本容量的确定方法5.1 常用的抽样方法o简单随机抽

2、样简单随机抽样o分层抽样分层抽样o系统抽样系统抽样o整群抽样整群抽样o多阶段抽样多阶段抽样5.2 抽样分布的基本概念o5.2.1 总体分布总体分布就是总体中所有个体关于某个变量（标志）的取值所形成的分布。分布的形态很多，例如钟型分布、J型分布和U型分布等 o o1.钟型分布:钟形分布的特征是“两头小、中间大”， o2. U型分布:特征是：靠近中间的变量值分布的次数少，靠近两端的变量值分布的次数多，形成“两头大，中间小”的分布特征。 o3.J型分布oJ形分布的特征是“一边小，一边大”，即大部分变量值集中在某一端分布，有两种类型。（1）正J形分布（2）反J形分布5.2.2 样本分布o样本分布就是样

3、本中所有个体关于某个变量的取值所形成的分布。o当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布 o反映样本分特征的指标叫样本统计量，通常用来表示。与总体参数相对应，常见的样本统计量也有：样本均值、样本比例和样本方差等.5.2.3 抽样分布o抽样分布就是样本统计量的概率分布，它由样本统计量的所有可能取值和与之对应的概率所组成。o实际的抽样分布是如何形成的呢？它取决于以下三个因素：n总体分布n样本容量 n抽样方法5.3 样本统计量的抽样分布o5.3.1 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布o5.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布o5.3.3 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布 统计量

4、o1.针对不同的目的，构造不同的样本函数o2.设X1, X2, .Xn是从总体 X中抽取的容量为n的一个样本,，如果由此构造一个函数T(X1, X2, .Xn) ,不依赖于任何未知参数，则称函数T(X1, X2, .Xn) 是一个统计量。 常用统计量o1.均值：o2.方差：o3.离散系数：1)(122nxxsniinxxnii1xsvvs 或容量相同的所有可能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体总体均值的理论基础5.3.1 样本均值的抽样分布1. 样本均值的抽样分布引例5 . 21NxNii25. 1)(122NxNii样本均值的抽样分布 (例题分析)o3,4o3,3o3,2o

5、3,1o3o2,4o2,3o2,2o2,1o2o4,4o4,3o4,2o4,1o4o1,4o4o1,3o3o2o1o1,2o1,1o1o第二个观察值第二个观察值o第一个第一个o观察值观察值o所有可能的所有可能的n = 2 的样本（共的样本（共16个）个）样本均值的抽样分布(例题分析)o3.5o3.0o2.5o2.0o3o3.0o2.5o2.0o1.5o2o4.0o3.5o3.0o2.5o4o2.5o4o2.0o3o2o1o1.5o1.0o1o第二个观察值第二个观察值o第一个第一个o观察值观察值o16个样本的均值（个样本的均值（x）样本均值的分布与总体分布的比较5 . 2X625. 02X2.样

6、本均值抽样分布的形式o样本均值抽样分布的形式与原有总体的分布和样本量的大小有关。o如果原有总体是正态分布，那么无论样本量的大小，样本均值的抽样分布都服从正态分布。如果原有总体的分布是非正态分布，此时就要看样本量的大小了。随着样本量的增大（通常n30），不论原来总体是否服从正态分布，样本均值的抽样分布都将趋于正态分布，其分布的数学期望为总体均值，方差为总体方差的1/n。这就是统计上著名的中心极限定理。样本均值的抽样分布与中心极限定理X5x50 x5 . 2x中心极限定理(central limit theorem) xn x o当为小样本时（通常n30），其分布不是正态分布，此时就不能按正态分布

7、进行推断。当正态总体的方差未知，且较小时，则样本均值的分布服从自由度为(n-1)的t分布。中心极限定理 (central limit theorem)X抽样分布与总体分布的关系正态分布正态分布非正态分布非正态分布正态分布正态分布正态分布正态分布非正态分布非正态分布样本均值的数学期望样本均值的方差n重复抽样样本均值的抽样分布特征(数学期望与方差)(XEnX22为样本数目MnMXnixiX222122625. 016)5 . 20 . 4()5 . 20 . 1 ()(5 . 2160 . 45 . 10 . 11MXniiX样本中具有某种属性的单位与全部单位总数之比n不同性别的人与全部人数之比n

8、合格品(或不合格品) 与全部产品总数之比样本比例可表示为nnPnnP101或5.3.2 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布容量相同的所有可能样本的样本比例的概率分布当样本容量很大时 ( )， 样本比例的抽样分布可用正态分布近似 一种理论概率分布推断总体总体比例的理论基础5p)-n(15或np样本比例的数学期望样本比例的方差样本比例的抽样分布(数学期望与方差)(PEnP)1 (25.3.3 样本方差的抽样分布容量相同的所有可能样本的样本方差的概率分布一种理论概率分布推断总体方差2的理论基础o统计表明，对于来自正态总体的简单随机样本，其比值 的抽样分布服从自由o度为（n-1）的 分布222) 1

9、(sn)1()1(2222nsn5.3.4 统计量的标准误o统计量的标准误是指样本统计量的抽样分布的标准差。o标准误衡量的是统计量的离散程度，它测度了用样本统计量估计总体参数的精确程度。o1.当抽样方式为重复抽样时，样本均值的标准误计算公式为:nxo例例5.2 有5个工人的日产量分别为（单位：件）：6，8，10，12，14，用重复抽样的方法，从中随机抽取2个工人的日产量，用以代表这5个工人的总体水平。则抽样平均误差为多少？o解解:总体均值为: 总体标准差:抽样标准误: （件）10514121086（件）（85402Nxi822xn （件）o2.当抽样方式为重复抽样时，抽样比例的标准误: nnp

10、）（1/o例例5.3 某企业生产的产品，按正常生产经验，合格率为90%，现从5000件产品中抽取50件进行检验，求合格率的抽样平均误差。o解：根据题意，在重复抽样条件下，合格率的抽样平均误差为：%24. 4501 . 09 . 01/nnp）（郭国庆主编5.4 参数估计的基参数估计的基本原理本原理 估计量与估计值 点估计与区间估计 评价估计量的标准参数估计：用样本统计量去估计总体的参数；参数用 表示，估计量用 表示估计量：用于估计总体参数的随机变量n如样本均值，样本比例、样本方差等n例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值n如果样本均值 x =180

11、0，则1800就是的估计值5.4.1 估计量与估计值估计量与估计值参数估计的方法参数估计的方法参数估计参数估计点点 估估 计计区间估计区间估计点估计 (point estimate)用样本的估计量的某个取值直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用样本方差直接作为总体方差的估计2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等区间估计 (interval estimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围；该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接

12、近程度给出一个概率度量n比如，某班级数学平均分数在7080之间，置信水平是90% 区间估计的图示XXzX2o区间估计就是用样本估计量的点估计值加减估计误差构成的区间来估计总体参数，并以一定的概率保证总体参数在所估计的区间内。估计误差通常由标准分数乘以统计量标准误构成。区间估计的基本方法是：首先求待估计参数的一个点估计值，然后以为基础估计出一个区间，并提供总体参数落入该区间的概率。 121P由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间 置信区间 (confidence interval)将构造置信区间的步骤重复很多

13、次，那么置信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平 表示为 (1 - n 为是总体参数未在区间内的比例置信水平 比较常用的置信水平为正态分布曲线下右侧面积为/2时的z值置信水平/2z/290%0.10.051.6595%0.050.031.9699%0.010.012.58置信区间与置信水平 xxX郭国庆主编5.4.3 评价估计量的标准无偏性无偏性有效性有效性一致性一致性无偏性(unbiasedness)o无偏性：无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数 有效性 (efficiency)12一致性(consistency)o一致性：一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越

14、来越接近被估计的总体参数郭国庆主编5.5 一个总体参数的区间估计总体均值的区间估计总体比例的区间估计总体方差的区间估计郭国庆主编5.5.1 总体均值的区间估计(一)正态总体、已知，或非正态总体、大样本的区间估计假定条件n总体服从正态分布,方差() 已知n如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)样本均值经标准化以后的随机变量服从标准正态分布即：)1 , 0(/Nnxz3.总体均值 在1-置信水平下的置信区间为)(22未知或nszxnzx例题分析498.21,302.21098.04 .21915.096.14 .212nzx例题分析 16.114,84.1052003096.11102

15、nszx （二）（二） 正态总体、正态总体、 未知、小样本未知、小样本1. 假定条件n总体服从正态分布,且方差() 未知n小样本 (n 30)2.使用 t 分布统计量)1(ntnSXtnstx2t 分布总体均值的区间估计 解：已知，样本容量为n=25，样本均值 ， 样本标准差为s=2.63 ，又因为置信水平 ，查自由度为的分布表得 所以瓶装饮料的平均容量的置信水平为99%的置信区间为：因此该公司生产的这种瓶装饮料的平均容量的置信水平为99%的置信区间为(498.03, 500.97)。5 .499x99.01797.2)24()1(005.02/tnt4712. 15 .49925/63. 2

16、797. 25 .4992/nstx5.5.2 总体比例的区间估计1.假定条件n总体服从二项分布n当样本容量足够大时，即 时,可以由正态分布来近似2.使用正态分布统计量) 1 , 0()1 (NnPPPZnppzp)-1 (25)1 (5pnnp和例题分析例题分析 674. 0 ,55. 0165)612. 01 (612. 0645. 1612. 0)1 (2nppzp 5.5.3 总体方差的区间估计总体方差的区间估计 对某乳品厂生产的袋装鲜奶质量进行测量。随机抽出20袋，测得每袋平均质量为250.8g，标准差为1.25g。已知每袋质量服从正态分布，求的置信度为90%的置信区间。 郭国庆主编

17、5.7 样本容量的确定5.7.1 影响样本容量的因素 5.7.2 估计总体均值时样本容量的确定5.7.3 估计总体比例时样本容量的确定5.7.1 影响样本容量的因素影响样本容量的因素o总体的变异程度 o允许误差的大小 o置信水平的大小 o抽样方法不同 估计总体均值时样本容量n为 重复抽样重复抽样样本容量n与总体方差成正比，与边际误差成反比，与可靠性系数成正比5.7.2 估计总体均值时样本容量的确定 2222)(EznnzE2例题分析例题分析 解： 由题意可知N=20000， =25克， E=5克，根据置信度 , 在重复抽样的条件下%45.95196.12/az9796. 1)(2222222/525Eza根据比例区间估计公式可得样本容量n为 重复抽样重复抽样5.7.3 估计总体比例时样本容量的确定 222)1 ()(EznnzE)1 (2估计总体比例时样本容量的确定 (例题分析) 45818.4570275. 0)9 . 01 (9 . 0)96. 1 ()1 ()(22222Ezn 。本章小结抽样与抽样分布抽样与抽样分布参数估计的基本方法参数估计的基本方法总体均值的区间估计总体均值的区间估计总体比例的区间估计总体比例的区间估计样本容量的确定样本容量的确定