与分数有关的故事2.pptx

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1、与分数有关的故事与分数有关的故事破碎数破碎数 在拉丁文里，分数一词来源于在拉丁文里，分数一词来源于frangere，是打破、断裂之意，因此，是打破、断裂之意，因此分数也曾被人叫做是分数也曾被人叫做是“破碎数破碎数” 在数的历史上，分数几乎与自然数在数的历史上，分数几乎与自然数同样古老。然而，分数在数学中传同样古老。然而，分数在数学中传播并获得自己的地位，却用了几千播并获得自己的地位，却用了几千年的时间。年的时间。掉进分数里去掉进分数里去 在欧洲，这些在欧洲，这些“破碎数破碎数”曾经令人曾经令人谈谈虎色变虎色变，视为畏途。，视为畏途。7世纪时，有个世纪时，有个数学家算出了一道数学家算出了一道8个

2、分数相加个分数相加的习的习题，竟被认为是作了一件了不起的题，竟被认为是作了一件了不起的大事情。大事情。 德国人形容某个人德国人形容某个人陷入困境陷入困境时，还时，还常常引用一句古老的谚语，说他常常引用一句古老的谚语，说他“掉掉进分数里去了进分数里去了”。 单分子分数单分子分数 古埃及人只使用单分子分数，即使用古埃及人只使用单分子分数，即使用分子为分子为1的那些分数。遇到其他分数，的那些分数。遇到其他分数，都得拆成单分子分数的和。都得拆成单分子分数的和。 例如例如 ，于是就用，于是就用表示表示 问题：请问问题：请问 如何写成两个单分子之如何写成两个单分子之和？和？4 41 1+ +28281 1

3、= =7 72 24 41 1+ +28281 17 72 26 65 5辛苦的一道题目辛苦的一道题目 由于有了这种奇特的规定，古埃及由于有了这种奇特的规定，古埃及的分数运算显的特别繁琐。的分数运算显的特别繁琐。 如果要计算如果要计算 与与 的和，你猜猜的和，你猜猜看，埃及人怎么算？看，埃及人怎么算？ 首先他们把这两个分数都拆成单分首先他们把这两个分数都拆成单分子分数，然后再把分母相同的分数子分数，然后再把分母相同的分数加起来，然后遇到分子不是加起来，然后遇到分子不是1的分数，的分数，又再拆成单分子分数又再拆成单分子分数.辛不辛苦？辛不辛苦？7 75 52 21 15 5中国的分数中国的分数

4、在西方，分数理论的发展出奇的缓慢，在西方，分数理论的发展出奇的缓慢，而中国，在汉朝时，已经对分数的运算而中国，在汉朝时，已经对分数的运算作深入的研究。他们已会作深入的研究。他们已会约分约分、扩分扩分、通分通分的观念，甚至现在常用的的观念，甚至现在常用的辗转相除辗转相除法法，就是由当时古老的方法演变而来。，就是由当时古老的方法演变而来。 苏联数学史专家苏联数学史专家包尔加尔斯基包尔加尔斯基公正的评公正的评价说：在人类文化发展的初期，价说：在人类文化发展的初期，中国的中国的数学数学远远领先于世界其他各国。远远领先于世界其他各国。与分数有关的数学问题及动动脑与分数有关的数学问题及动动脑 一、丢番图的

5、墓碑一、丢番图的墓碑 二、奇怪的遗嘱二、奇怪的遗嘱 三、老母舅分钻石三、老母舅分钻石 四、动动脑（四、动动脑（1） 五、动动脑（五、动动脑（2） 六、动动脑（六、动动脑（3）GoGoGoGoGoGo数学家的墓碑数学家的墓碑 古往今来，大概只有数学家的墓古往今来，大概只有数学家的墓志铭最为言简意赅，他们的墓碑志铭最为言简意赅，他们的墓碑上不是长篇传记，歌颂光辉的一上不是长篇传记，歌颂光辉的一生，往往只是刻着生，往往只是刻着一个图形一个图形或写或写着着一个数一个数，但这此形和数，却表，但这此形和数，却表达了他们一生执着的追求和闪亮达了他们一生执着的追求和闪亮的业绩。的业绩。 阿基米德的墓碑阿基米德

6、的墓碑 阿基米德是古希腊数学家、力学家。阿基米德是古希腊数学家、力学家。后人常把他与牛顿、高斯并列为有后人常把他与牛顿、高斯并列为有史以来三个贡献最大的数学家。史以来三个贡献最大的数学家。 有关他的故事也广为流传。他的墓有关他的故事也广为流传。他的墓碑很特殊，上面只刻着一个圆柱，碑很特殊，上面只刻着一个圆柱，圆柱里内切着一个球，这个球的直圆柱里内切着一个球，这个球的直径恰与圆柱的高相等。径恰与圆柱的高相等。Go鲁道夫的墓碑鲁道夫的墓碑 德国人鲁道夫，把德国人鲁道夫，把的近似值算的近似值算到小数点后面到小数点后面35位，这是当时的位，这是当时的世界纪录。他死后，把世界纪录。他死后，把的的36位位

7、小数刻在他的墓碑上。小数刻在他的墓碑上。 =3.14159265358979323846264338327950288.高斯的墓碑高斯的墓碑 大数学家高斯曾经表示，在大数学家高斯曾经表示，在他去世以后，希望人们在他他去世以后，希望人们在他的墓碑上刻上一个正的墓碑上刻上一个正17边形，边形，因为他是在完成了正因为他是在完成了正17边形边形的标尺作图后，才决定献身的标尺作图后，才决定献身于数学研究的于数学研究的. 丢番图的墓碑丢番图的墓碑 在众多的数学家的墓碑中，被誉在众多的数学家的墓碑中，被誉为代数学鼻祖的丢番图的墓为代数学鼻祖的丢番图的墓志，可算是一个少见的例外。志，可算是一个少见的例外。 丢

8、番图是公元三世纪亚历山大里丢番图是公元三世纪亚历山大里亚城人。碑文很奇特，用一种未亚城人。碑文很奇特，用一种未知的方式写出了他的一生：知的方式写出了他的一生： 过路人！这里埋着丢番图的骨灰，下面过路人！这里埋着丢番图的骨灰，下面的数目可以告诉你他寿命多长。的数目可以告诉你他寿命多长。 他的生命的六分之一是幸福的童年。他的生命的六分之一是幸福的童年。 再活十二分之一，颊上长出了细细的胡再活十二分之一，颊上长出了细细的胡须。须。 又过了生命的七分之一他才结婚。又过了生命的七分之一他才结婚。 再过了五年，他感到很幸福，得了一个再过了五年，他感到很幸福，得了一个儿子。儿子。 可是这孩子的生命只有他父亲

9、的可是这孩子的生命只有他父亲的一半。 儿子死后，老人在悲痛中活了四年，结儿子死后，老人在悲痛中活了四年，结束了尘世生涯。束了尘世生涯。 请问：丢番图活了多大年纪才和死神相请问：丢番图活了多大年纪才和死神相见？见？神圣的猫神圣的猫 古时候，人们会将一些动物奉若古时候，人们会将一些动物奉若神明，例如神明，例如古埃及古埃及人将猫尊为神人将猫尊为神圣的月亮和富裕的女神，顶礼膜圣的月亮和富裕的女神，顶礼膜拜，谁家的猫死了，全家人都得拜，谁家的猫死了，全家人都得剪掉头发，剃光眉毛，以示哀悼；剪掉头发，剃光眉毛，以示哀悼；而谁要是杀死了猫，即使是无意而谁要是杀死了猫，即使是无意的，也会被处以极刑。的，也会被

10、处以极刑。奉若神明的牛奉若神明的牛 印度人印度人也有类似的习俗，不过，也有类似的习俗，不过，他们顶礼膜拜的不是猫，而是牛。他们顶礼膜拜的不是猫，而是牛。 即使牛横冲直撞，践踏庄稼，人即使牛横冲直撞，践踏庄稼，人们也不敢干涉，至于有人屠宰牛，们也不敢干涉，至于有人屠宰牛，则无异于犯下了滔天大罪。则无异于犯下了滔天大罪。 由于这种奇特的习俗，印度人民由于这种奇特的习俗，印度人民中流传着一个非常有趣的故事：中流传着一个非常有趣的故事：奇怪的遗嘱奇怪的遗嘱 相传在非常遥远的古相传在非常遥远的古代，老王代，老王害了重病，害了重病，临终前，他将三个儿子叫到床前，立了临终前，他将三个儿子叫到床前，立了一份遗

11、嘱。一份遗嘱。 遗嘱里规定遗嘱里规定3个儿子能够分掉他的个儿子能够分掉他的17头头牛，但又规定：老大应得总数的牛，但又规定：老大应得总数的1/2，老，老二应得总数的二应得总数的1/3，而老三只能得总数的，而老三只能得总数的1/9。 请问：三个儿子是否能完成遗嘱上的规请问：三个儿子是否能完成遗嘱上的规定？定？解决遗嘱上的问题解决遗嘱上的问题17172 21 1=8=82 21 117173 31 1=5=53 32 217179 91 1=1=19 98 8这种分法需要活活杀死两头牛，这种分法需要活活杀死两头牛，根本行不通根本行不通8 82 21 1+5+53 32 2=?=?+ +1 19 9

12、8 88 82 21 1+5+53 32 2= =+ +1 19 98 8161618181 1即使杀死两头牛，也无法将即使杀死两头牛，也无法将17头牛分完。怎么办呢？头牛分完。怎么办呢？聪明的老农聪明的老农 三个儿子请教了很多有学问的人，三个儿子请教了很多有学问的人，都想不出好方法。都想不出好方法。 一天，一个老农牵着一头牛，告诉一天，一个老农牵着一头牛，告诉三个儿子说：三个儿子说： 这事其实很容易，我把这头牛借这事其实很容易，我把这头牛借给你们，你们按总数的给你们，你们按总数的1/2，1/3，1/9去分，分完再把这头牛还给我。去分，分完再把这头牛还给我。一借一还，解决问题一借一还，解决问题

13、 三个儿子依照老农的方法试一试，他三个儿子依照老农的方法试一试，他们目前有们目前有18头牛，老大分头牛，老大分1/2，得，得9头；头；老二分老二分1/3，得，得6头；老三分头；老三分1/9，得，得2头。头。 真是巧极了，刚好分完真是巧极了，刚好分完17头牛，剩下头牛，剩下一头牛，原封不动还给老农。一头牛，原封不动还给老农。 这个难住许多人的数学问题，就在这这个难住许多人的数学问题，就在这变魔术似的一借一还中，干脆利落的变魔术似的一借一还中，干脆利落的解决了。解决了。老母舅分钻石老母舅分钻石 法国有一为守财奴，生前一毛不拔，法国有一为守财奴，生前一毛不拔，死后却要把死后却要把13颗光彩夺目的钻石

14、留颗光彩夺目的钻石留给三个女儿。遗嘱是：老大应得给三个女儿。遗嘱是：老大应得1/2，老二应得老二应得1/3，老三应得，老三应得1/4。儿子因。儿子因为生前不尊敬老父，只能两手空空。为生前不尊敬老父，只能两手空空。 三姊妹喜得心花怒放，可是要如何三姊妹喜得心花怒放，可是要如何分配呢？分配呢？ 三姊妹请来舅舅为他们做主，舅舅要求三姊妹请来舅舅为他们做主，舅舅要求必须先给他一颗当酬劳。三姊妹虽然心必须先给他一颗当酬劳。三姊妹虽然心疼，但仍然答应了。疼，但仍然答应了。 剩下剩下12颗钻石，大姐分得颗钻石，大姐分得1/2（即为（即为6颗），二姐分得颗），二姐分得1/3（即为（即为4颗）最后只颗）最后只剩

15、剩2颗。颗。 小妹应得小妹应得1/4（即是（即是3颗），但只剩颗），但只剩2颗，颗，小妹伤心的哭起来，舅就只好安慰说：小妹伤心的哭起来，舅就只好安慰说：好吧！我不要酬劳，这颗还给你了。好吧！我不要酬劳，这颗还给你了。 其实这是舅舅有意的安排，终于圆满解其实这是舅舅有意的安排，终于圆满解决钻石的分配。决钻石的分配。动动脑（动动脑（1） S是是1到到100自然数的倒数所成的自然数的倒数所成的集合。集合。即即S=1,1/2,1/3,1/4,1/98,1/99,1/100请在请在S中找出中找出4个数，他们的总合个数，他们的总合小于小于1，但最接近，但最接近1。动动脑（动动脑（2） 请填写下式左边的两个

16、分母（都请填写下式左边的两个分母（都是自然数），使得等式成立。是自然数），使得等式成立。1 1+ +1 1= =199719971 1答案是否只有一组？还是不只一答案是否只有一组？还是不只一组？组？动动脑（动动脑（3）12123134145149 501+. . . . . . +=?提示：121=1121231=2131341=31414 51=4151动动脑（动动脑（2）的解答）的解答199719971 1199819981 1= =19971997 199819981 1199719971 1199819981 1= =19971997 199819981 1+ +答案只有一组，如果答案

17、只有一组，如果1997换成一个合数，换成一个合数，答案就不只一组答案就不只一组over 阿基米德阿基米德最得意最得意的杰作是导出的杰作是导出圆圆柱内切球体的体柱内切球体的体积是圆柱体积的积是圆柱体积的三分之二倍三分之二倍。这。这定理就刻在他的定理就刻在他的墓碑上，也成为墓碑上，也成为他名垂千古的一他名垂千古的一大注记。大注记。 r分数应用题分数应用题 （一）、数形结合思想（一）、数形结合思想 【例【例1】小王有一桶汽油，第一次用】小王有一桶汽油，第一次用去去 ，第二次比第一次多用去，第二次比第一次多用去20千千克，还剩下克，还剩下22千克。原来这桶汽油千克。原来这桶汽油有多少千克？有多少千克？

18、51 【例【例2】一堆煤，第一次用去这堆煤】一堆煤，第一次用去这堆煤的的20%，第二次用去，第二次用去290千克，这时千克，这时剩下的煤比原来这堆煤的一半还多剩下的煤比原来这堆煤的一半还多10千克，求原来这堆煤共有多少千千克，求原来这堆煤共有多少千克？克？ （二）、对应思想（二）、对应思想 量率对应是解答分数应用题的根量率对应是解答分数应用题的根本思想，量率对应是通过题中具体本思想，量率对应是通过题中具体数量与抽象分率之间的对应关系来数量与抽象分率之间的对应关系来分析问题和解决问题的思想。（量分析问题和解决问题的思想。（量率对应常常和画线段图结合使用，率对应常常和画线段图结合使用，效果极佳。）

19、效果极佳。） 【例【例3】小王到厂里打暑期工，该厂】小王到厂里打暑期工，该厂女职工占全厂职工人数的女职工占全厂职工人数的 ，比男，比男职工少职工少144人，缝纫机厂共有职工多人，缝纫机厂共有职工多少人？少人？ 207 分析与解分析与解 解题的关键是找到与具解题的关键是找到与具体数量体数量144人的相对应的分率。人的相对应的分率。 【例【例4】菜农张大伯卖一批大白菜，】菜农张大伯卖一批大白菜，第一天卖出这批大白菜的第一天卖出这批大白菜的 ，第二，第二天卖出天卖出余下余下的的 ，这时还剩下，这时还剩下240千克大白菜未卖，这批大白菜共有千克大白菜未卖，这批大白菜共有多少千克？多少千克？3152 （

20、三）、转化思想（三）、转化思想 1、从分数的意义出发，把分数变成份数进行、从分数的意义出发，把分数变成份数进行“率率”的转化的转化 【例【例5】男生人数是女生人数的】男生人数是女生人数的 ，男生人数，男生人数是学生总人数的几分之几？若全班共有学生是学生总人数的几分之几？若全班共有学生54名，需要调来几名男生，才能实现名，需要调来几名男生，才能实现“男女平等男女平等”？ 【例【例6】兄弟两人各有人民币若干元，其中弟】兄弟两人各有人民币若干元，其中弟的钱数是兄的的钱数是兄的 ，若弟给兄，若弟给兄4元，则弟的钱数元，则弟的钱数是兄的是兄的 ，求兄弟两人原来各有多少元？，求兄弟两人原来各有多少元？54

21、5432 2、直接运用分率计算进行、直接运用分率计算进行“率率”的转化的转化 【例【例7】甲是乙的】甲是乙的 ，乙比丙少，乙比丙少1/5，甲是丙的，甲是丙的的几分之几？的几分之几？ 【例【例8】某工厂计划一月份生产一批零件，由】某工厂计划一月份生产一批零件，由于改进生产工艺，结果上半月生产了计划的于改进生产工艺，结果上半月生产了计划的 ，下半月比上半月多生产了上半月的下半月比上半月多生产了上半月的 ，这样全，这样全月实际生产了月实际生产了1980个零件，一月份计划生产多个零件，一月份计划生产多少个？少个？325351 3、通过恒等变形，进行、通过恒等变形，进行“率率”的转化的转化 【例【例9】

22、甲的】甲的 等于乙的等于乙的 ，甲是乙的几分之，甲是乙的几分之几？几？ 【例【例10】五（】五（2）班有学生）班有学生54人，男生人数的人，男生人数的75%和女生人数的和女生人数的80%都参加了课外兴趣小组，都参加了课外兴趣小组，而未参加课外兴趣小组的男、女生人数刚好相而未参加课外兴趣小组的男、女生人数刚好相等，这个班男、女生各有多少人？等，这个班男、女生各有多少人？5473 （四）、变中求定的解题思想（四）、变中求定的解题思想 分数（百分数）应用题中有许多分数（百分数）应用题中有许多数量前后发生变化的题型，一个数数量前后发生变化的题型，一个数量的变化，往往引起另一个数量的量的变化，往往引起另

23、一个数量的变化，但总存在着不变量。解题时变化，但总存在着不变量。解题时要善于抓住不变量为单位要善于抓住不变量为单位“1”，问题，问题就会迎刃而解。就会迎刃而解。 1、部分量不变、部分量不变 【例【例11】有两种糖放在一起，其中】有两种糖放在一起，其中软糖占软糖占 ，再放入，再放入16块硬糖以后，块硬糖以后，软糖占两种糖总数的软糖占两种糖总数的 ，求软糖有，求软糖有多少块？多少块？20941 2、和不变、和不变 【例【例12】小明看一本课外读物，读】小明看一本课外读物，读了几天后，已读的页数是剩下页数了几天后，已读的页数是剩下页数的的 ，后来他又读了，后来他又读了20页，这时已页，这时已读的页数

24、是剩下页数的读的页数是剩下页数的 ，这本课，这本课外读物共有多少页？外读物共有多少页？8161练习练习2兄弟三人合买一台彩电，老大出的钱是其兄弟三人合买一台彩电，老大出的钱是其他两人出钱总数的他两人出钱总数的 ，老二出的钱是其他两人，老二出的钱是其他两人出钱总数的出钱总数的 ，老三比老二多出，老三比老二多出400元。问这台元。问这台彩电多少钱？彩电多少钱？2131 （六）、用方程解应用题思想（六）、用方程解应用题思想 【例【例13】某工厂第一车间人数比第二车间】某工厂第一车间人数比第二车间 的的 多多16人，如果从第二车间调人，如果从第二车间调40人到第一车人到第一车间，这时两个车间的人数正好相等，原来两个间，这时两个车间的人数正好相等，原来两个车间各有多少人？车间各有多少人？54