不定积分的基本公式和直接积分法.ppt

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1、第二节第二节 不定积分的基本公式和直不定积分的基本公式和直 接积分法接积分法一、不定积分的基本公式一、不定积分的基本公式二、直接积分法二、直接积分法实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 一、基本积分公式一、基本积分公式1 常量函数：常量函数：0()dxC 常常数数0()C 2 幂函数：幂函数：1111( )()xx dxC 11()xx 12( )lndxxCx 1(ln)xx 3

2、指数函数指数函数101( )(,)lnxxaa dxC aaa ()ln )xxaaa 2( )xxe dxeC ()xxee 4 三角函数：三角函数：1 ( ) sincosxdxxC )sin)(cos(xx2( ) cossinxdxxC )cos)(sin(xx3( ) sectansecxxdxxC )tansec)(sec(xxx4( ) csccotcscxxdxxC )cotcsc)(csc(xxx)sec)(tan(2xx25( ) sectanxdxxC 26( ) csccotxdxxC )csc)(cot(2xx5 反三角函数反三角函数211( )arcsinarcco

3、sdxxCxCx 221111(arcsin),(arccos )xxxx 221( )arctancotdxxCarcxCx 221111(arctan ),(cot)xarcxxx 基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx3( )ln|;dxxCx 说明：说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx简写为简写为ln|.dxxCx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx

4、xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 依据微积分的互逆性以及导数计算基本公式，有依据微积分的互逆性以及导数计算基本公式，有上面的积分计算基本公式，它们是积分计算的基础，上面的积分计算基本公式，它们是积分计算的基础，所有积分的计算都必需依据其中的某一个才能得出结所有积分的计算都必需依据其中的某一个才能得出结论，因此这些公式必须象求导基本公式一样要论，因此这些公式必须象求导基本公式一样要熟记熟记。

5、例例1 1 求下列不定积分求下列不定积分2xxdx dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdxx 11 二、直接积分法二、直接积分法 直接利用积分的基本公式和基本运算法则求出积分结直接利用积分的基本公式和基本运算法则求出积分结果，或者将被积函数经过果，或者将被积函数经过适当的恒等变形适当的恒等变形，再利用积分的，再利用积分的基本公式和基本运算法则求出积分结果，这样的积分方法基本公式和基本运算法则求出积分结果，这样的积分方法就叫做就叫做直接积分法直接积分法. .21 ( ) xxdx 解：解：221( )()xxedx 解：解：2122()()xxxx

6、edxedxdx 222222122()()ln()lnlnlnxxxxeeCCe 32131( )xxdxx 解：解：3211xxdxx 21dxxdxx 22arctanxxC22111( )()xxdxxx 2211()()xxdxxx dxxx 1112dxxdxx 1112arctanln|.xxC 2221221( )()xdxxx dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 练练习习12(sin )xxC12cos xdx 112(cos )x dx 12cosdxxdxsincosxxC22cossincossinxxdxxx (cossin

7、)xx dx 例例2 2 求下列不定积分求下列不定积分22cos( )cossinxdxxx 212( ) sinxdx 解解(1)原式原式(2)原式原式2211( ) tan(sec)xdxxdx 2sectanxdxdxxxC 21 ( ) tan xdx 练习练习221222( )sincosdxxx 222211222244( )sinsincoscsccotdxdxxxxxdxxC 三、小结三、小结 恒恒等等变变形形直直接接积积分分法法 积积分分性性质质基基本本积积分分公公式式 分分项项积积分分常常用用恒恒等等变变形形方方法法：加加项项减减项项利利用用三三角角公公式式，代代数数公公式式， 不定积分的计算一般是先对被积函数进行变形处理，将不定积分的计算一般是先对被积函数进行变形处理，将被积函数化简，然后利用基本积分公式得出结果，在变形化被积函数化简，然后利用基本积分公式得出结果，在变形化简时简化的方向是基本积分公式，因此应分析被积函数，看简时简化的方向是基本积分公式，因此应分析被积函数，看其与哪一个基本公式接近，就往该公式方向简化。其与哪一个基本公式接近，就往该公式方向简化。本节作业本节作业P1491（2、3、4、6、10）2