极限分析理论.ppt

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1、 极限分析理论极限分析理论是为了计算土体强度，学者们发现的一种理论。极限分析理论假定土体为弹性理想塑性体或刚塑性体，强度包线为直线且服从正交流动规则的标准库仑材料。当作用于土体上的荷载达到某一数值并保持不变时，土体会发生“无限”塑性流动，则认为土体处于极限状态，所对应的荷载称为极限荷载。极限分析理论就是应用弹性理想塑性体或刚塑性体的普遍定理上限定理（求极限荷载的上限解）和下限定理（求极限荷载的下限解）求解极限荷载的一种分析方法，称为极限分析法。极限分析理论 静力许可应力场 运动许可速度场 虚功率原理 极限分析定理 近似解法举例1,静力容许的应力场静力容许的应力场 设有物体V，其表面A，面力 和

2、体力 已知。若在此物体上，设定一组应力场 ，满足下列条件，则称为静力容许应力场。 在体积V内满足平衡方程，即 在边界上满足边界条件，即 在 上，且 在 上 在体积V内不违反屈服条件，即 由定义可知，物体处于极限状态时，其真实的应力场必定是静力容许的应力场；但静力容许应力场不一定是极限状态时真实的应力场。ifi*,0iijjf*ij*ijijpn *iipp*0ijf2,运动许可速度场运动许可速度场 在物体V上，若设定一组位移速度场，满足以下条件，则称 为运动许可的速度场。 在体积V内满足几何方程，即 在边界上满足位移边界条件，并使外力做正功，即 在 上，且 由上述定义可知，物体于极限状态时，其

3、真实的位移速度场必定是运动容许的位移速度场；但运动容许的位移速度场不一定是极限状态时真实的位移速度场。iu )(21*,*,*ijjiijuu*iiuuu*0iip u3,虚功率原理虚功率原理 对于一个连续的变形体，任意一组静力容许的应力场和任意一组机动容许位移场，外力的虚功等于内力的虚功。同理虚功率原理可表示为：对于任意一组静力容许应力场和任意一组机动容许的位移速率场，外力的功率等于物体内虚变形功率。 如果物体内部存在速度间断时，其虚功率方程可表示为： 式中，S速度间断面； 速度间断面两侧切向速度的变化。*0*iiiiijijAVvTu dAFu dAdv dsvtgdvdvuFdAuTts

4、nijAvijviiii )(*0*dvdvuFdAuTijAvijViiii*0*tv4,4,极限分析定理极限分析定理 上限定理：在所有的运动容许的塑性变形位移速度场相对应的荷载中，外功功率等于物体内能耗散率所对应的极限荷载为最小。 下限定理：在所有与静力容许的应力场满足 相对应的荷载中，极限荷载最大。上限定理证明： 证：设 为物体达到极限状态的真实应力场，其对应的表面力为 ， 为真实位移速率场，由几何方程求得的应变率为 ，真实速度场中可能有速度间断面SL，其上的速度切向跃值为 ；体力为 。 Fi j（）0ijiu ijvtifi 另设一运动容许的位移速度场 ，对应的应变率为 ，应变速度场可

5、能有间断面，其上的切向速度为 。虚功率方程得*iu *ij*vt*()iiiiijijntLvsvSLf u dvu dsdvtgv ds *()ijijijv 由于0 *iiuuntg*()LntLtLStgv dscv ds*LiiiiijijtLvsSf u dvu dscv ds 又C，则有后两式代入第一式，便有显然只有 时等式成立。 证：设 为真实的应力场，对应的表面力为Ti， 为真实的位移速率场，由几何方程求得真实应变率为 ，真实速度场中可能存在速度间断面SL，其上的切向速度跃度为 ；在Su上给定速度为 ，在ST上给定表面力为 ，给定的体力为 。 ijiu ijvtiu 下限定理证

6、明：由虚功率方程得 又设另一静力容许的应力场，对应的表面力为 ，由虚功率方程得 00()iiiiijijntLvsvSLf u dvu dsdvtgv ds iiiiijijtLvsvsLf u dvu dsdvcv ds ntgifi上述两式相减得 00()()()iiiijijjintLsvsLudsdvctgv ds 由Drucker公式得到ijijij)(00 由于c tgn ()ntctgv同时 0，即剪应力做正功率知00()iiisu ds 5,5,近似解法举例近似解法举例下限法和上限法 下限法就是利用下限定理计算极限荷载的方法，也叫静力法。上限法就是利用上限定理计算极限荷载的方法，也叫机动法。例：土坡临界高度上限解AC为剪切面，宽度为D的刚性土块向下移动。 与剪切面呈 角。由于拉裂缝处没有能量耗散，故总功率等于剪切面上的内功率，即*vt*tttcoscoscos 45/2DDcvdcv而重力功率为*2*tttan(45/2)cos(45/2)2iiDf u dHDv得土坡临界高度2tt2tan(45/2)tan (45/2)2crcDH下限解虚线为应力间断线，它们把全区分为三个应力区：单向压缩区：双向压缩区：双向等压力区：在区的底部，土单元满足屈服条件有0,xyy(),xyyHy()xyyHtt11sincos22HHct2tan(45/ 2)crcH谢谢！