高考数学椭圆讲练.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高考数学椭圆讲练.精品文档.椭 圆(一)椭圆及其标准方程1. 椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于|这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|，则这样的点不存在；若距离之和等于|，则动点的轨迹是线段.2.椭圆的标准方程：（0），（0）.3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上.4.求椭圆的标准方程的方法： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解.(二)椭圆的简单几何性质1. 椭圆的几何性质：设椭圆方程为（0）. 范围：

2、 -axa，-bxb，所以椭圆位于直线x=和y=所围成的矩形里. 对称性：分别关于x轴、y轴成轴对称，关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. 顶点：有四个（-a，0）、（a，0）（0，-b）、（0，b）.线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点，称为椭圆的顶点. 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0e1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 定义：平面内动点M与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常

3、数（e1时，这个动点的轨迹是椭圆. 准线：根据椭圆的对称性，（0）的准线有两条，它们的方程为.对于椭圆（0）的准线方程，只要把x换成y就可以了，即.3.椭圆的焦半径：由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径. 设（-c，0），（c，0）分别为椭圆（0）的左、右两焦点，M（x，y）是椭圆上任一点，则两条焦半径长分别为，.椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.椭圆的四个主要元素a、b、c、e中有=+、两个关系，因此确定椭圆的标准方程只需两个独立条件.4.椭圆的参数方程 椭圆（0）的参数方程为（为参数）. 说明: 这里参数叫做椭圆的离心角.椭圆上点P的离心角与直线OP的倾斜角不

4、同：； 椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆的参数方程的实质是三角代换. 椭圆的参数方程是.5.椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6. 椭圆的切线方程 (1)椭圆上一点处的切线方程是. （2）过椭圆外一点所引两条切线的切点弦方程是.（3）椭圆与直线相切的条件是7.直线与椭圆相交的弦长公式 若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长 ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；高考题型解析（1）第一定义把椭圆从圆中分离椭圆从圆（压缩）变形而来，从而使得椭圆与圆相关而又相异. 它从圆中带来了

5、中心和定长，但又产生了2个新的定点焦点. 准确、完整地掌握椭圆的定义，是学好椭圆、并进而学好圆锥曲线理论的基础.【例1】 若点M到两定点F1（0，-1），F2（0，1）的距离之和为2，则点M的轨迹是 （ ）.椭圆 .直线 .线段 .线段的中垂线.【解析】注意到且故点M只能在线段上运动，即点M的轨迹就是线段，选C.【评注】椭圆的定义中有一个隐含条件，那就是动点到两定点的距离之和必须大于两定点间的距离.忽视这一点，就会错误地选A.（2）勾股数组椭圆方程的几何特征椭圆的长、短半轴a、b和半焦距c，满足.在a、b、c三个参数中，只要已知或求出其中的任意两个，便可以求出第3个，继而写出椭圆方程和它的一切

6、特征数值.椭圆方程的标准式有明显的几何特征，这个几何特征就反映在这个勾股数组上. 所谓解椭圆说到底是解这个勾股数组.【例2】已知圆，圆内一定点（3，0），圆过点且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【解析】如图，设两圆内切于C，动点P（x，y），则A、P、C共线. 连AC、PB，为定长，而A（-3，0），B（3，0）为定点，圆心的轨迹是椭圆.且.所求轨迹方程为：（3）第二定义椭圆的个性向圆锥曲线共性加盟如果说椭圆第一定义的主要功能是导出了椭圆的方程，那么椭圆的第二定义则给椭圆及其方程给出了深刻的解释.根据这个解释，我们可以方便地解决许多关于椭圆的疑难问题.【例3】已知椭圆，能否在此椭圆位于y轴左侧部

7、分上找一点P，使它到左准线的距离是它到两焦点F1，F2距离的比例中项.【解析】由椭圆方程知：.椭圆的左准线为：.设存在椭圆上一点P（x，y）（x0，取，选D.【评注】直线与曲线相切的解析意义是相应的一元二次方程有相等二实根，因而可转化为其判别式为零处理；同理，直线与曲线相交要求相应的判别式大于零，相离则要求这个判别式小于零. （2）导数法把方程与函数链接由于解析法往往牵涉到比较繁杂的运算，所以人们在解题中研究出了许多既能减少运算，又能达到解题目的的好方法，导数法就是最为明显的一种.【例5】求证：过椭圆上一点的切线方程为：.【证明】（导数法）对方程两边取导数：.则切线方程为：.再化简即得：.这个

8、切线方程的实际意义很大.在有关运算中直接引用这个公式是十分省事的.（3）几何法为解析法寻根朔源减少解析计算的又一个重要手段，是在解题中充分运用平面几何知识.【例6】（07.湖南文科.9题）设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（ ）A B C D【解析】如图有，设右准线交x轴于H，选D.【例7】已知椭圆和圆总有公共点，则实数的取值范围是 （ ）【解析】如右图椭圆的中心在原点，且长、短半轴分别为a=2，b=1；圆的圆心为C（a，0）且半径R=1.显然，当圆C从椭圆左边与之相切右移到椭圆右边与之相切时都有公共点.此时圆心的横坐标由-3增加到3，故a

9、，选C.设P是椭圆1上一点，M、N分别是两圆：(x2)2y21和(x2)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A4,8 B2,6C6,8 D8,12在解析几何解体中引入平面几何知识包含两个重要方面，一是恰当地运用平面几何知识及其推理功能，二是利用图形变换去进行数量的分析与计算.（4）转移法将生疏向熟知化归做数学题如果题题都从最原始的地方起步，显然是劳神费力且违反数学原则的.不失时机地运用前此运算成果就成为数学思想的本质特点.而转移法正是这一思想的具体体现.【例8】（06.全国一卷.20题）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点，离心率为的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C，

10、动点P在C上，C在点P处的切线与x,y轴的交点分别为A,B且向量OM=OA+OB.试求点M的轨迹方程【分析】点P在已知轨迹（椭圆在第一象限的部分）上，是主动点；点M在未知轨迹上，且随着点P的运动而运动，是被动点.故本例是典型的国际已知轨迹求未知轨迹，适合用坐标转移法解之.此外，过椭圆上一点P的切线方程，可以直接运用例5的结论.【解析】椭圆的半焦距，离心率.又椭圆的焦点在y轴上，故其方程为：. 设点P的坐标为那么过点P的椭圆切线方程为：在方程（2）中，令y=0，得.设点M的坐标为.由OM=OA+OB，代入（1）：.，所求点M的轨迹方程是：.转移法求轨迹方程的基本步骤是：（1）在已知轨迹上任取一点

11、M（x0，y0），并写出其满足的已知关系式；（2）设P（x，y）为待求轨迹上一点，并根据题设条件求出两个坐标的关系式；（3）用x，y的代数式分别表示x0，y0，代入（1）中的关系式化简即得.（5）三角法与解析法珠联璧合三角学的资源丰富，方法灵活.在解析几何解题中适当引入三角知识，优点多多.例如椭圆方程的三角形式是：，既将点的坐标中的两个变量减少为一个，又可以利用三角的优势去解决解析几何中的疑难.【例9】若P是椭圆上的点，F1和F2是焦点，则的最大值和最小值分别是【解析】椭圆的长、短半轴分别为a=2，b=，半焦距c=1.焦点坐标分别为：F1（-1，0），F2（1，0）.设椭圆上一点为，那么同理；

12、.于是故所求最大值为4，最小值是3.巧用定义求椭圆中四类最值问题圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。例1. 已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期椭圆中减少运算量的主要方法一文中已经介绍过，这里不

13、再重复，答案为。二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例2. 已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）图1由椭圆的第一定义得：可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。故的最大值为，最小值为。三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。例3. 已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。解：如图

14、2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为图2根据椭圆的第二定义有：，即可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。故的最小值为10。四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4. 定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”于B”，MM”于M”图3则当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为。评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。椭圆中减少运算量的主要方法椭圆中减少运算量提高计算速度有多种方法，以下的四种主要方法比较常用，能够有效地减少运算量，希望同

15、学们切实掌握。一、追根溯源，回归定义椭圆中许多性质都是由定义派生出来的，如果能够从其定义出发，挖掘它的性质，把定量的计算和定性的分析有机地结合起来，则可以大大地减少运算量。例1.给定A（-2，2），已知B是椭圆上的动点，F是左焦点，当取得最小值时，求B点坐标。分析：如果设点B的坐标，再求则计算量相当大，而如果利用椭圆的第二定义，把转化为B点到左准线的距离就简单的多。解：由已知椭圆方程得：，左准线为。如图1，过B点作左准线的垂线，垂足为N。过A点作此准线的垂线，垂足为M。根据椭圆的第二定义得：则（为定值）当且仅当B点是线段AM与椭圆的交点时等号成立。可解得B点的坐标是二、充分运用平面几何性质结合

16、平面几何的知识解决椭圆中的有关问题，也是避免繁杂运算的有效途径之一。例2. 椭圆的焦点为，点P为其上的动点。当为钝角时，点P的横坐标的取值范围是_。分析：用为钝角的充要条件和焦半径公式以及余弦定理解题，最后因计算量过大均可能造成繁解或错解。而充分运用平面几何性质则会得以简解。解：依题意以原点为圆心，为半径作圆，则是圆的直径。若P点在圆外，则为锐角；若P点在圆上，则为直角；若P点在圆内，则为钝角。联立消去得：故即为所求。三、利用图形的性质化繁为简细观题意，察看图形特征，从中找出解题突破口，也可以避免大量的运算。例3. 已知P点在圆上移动，Q点在椭圆上移动，求的最大值。分析：如图2，本题如能从图形

17、出发，看到的最大值，等于的最大值与圆的半径之和，则可避免大量的运算。图2解：设，则，即的最大值为四、利用“点差法”，设而不求与弦中点的有关问题，主要有三种题型：求平行弦的中点轨迹；求过定点的弦中点的轨迹；求被定点平分的弦所在直线的方程，都可用“点差法”减少运算量。例4. 椭圆中，过点P（1，1）的弦AB恰被点P平分，求弦AB所在的直线方程。解：设，则由得：则直线AB的斜率为：故弦AB所在直线的方程为：即利用韦达定理、曲线系方程、建立恰当的坐标系、整体代换、三角换元等方法也能起到减少运算量、提高计算速度的作用，在此就不再赘述了。圆中，求面积最小的圆的半径长。解： （III）面积最小的圆的半径应是

18、点F到直线l的距离，设为r 练习题1若直线mxny4和圆x2y24没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为()A至多一个B2个 C1个 D0个2一个圆形纸片的圆心为O，F是圆内一个定点，M是圆上一个动点，把纸片折叠使得F与M重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM的交点为P，则P点的轨迹是()A 圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线3已知椭圆1(ab0)，M、N是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上任意一点，且直线PM、PN的斜率分别为k1、k2，若|k1k2|，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.4设F是椭圆1的左焦点，且椭圆上有2011个不同的点Pi(xi，yi)(i1,2

19、,3，2011)，且线段|FP1|，|FP2|，|FP3|，|FP2011|的长度成等差数列，若|FP1|2，|FP2011|8，则点P2010的横坐标为()A. B. C. D. 5已知椭圆y21的焦点为F1、F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A2的直线交椭圆于P，则0的概率为_6.椭圆的点到直线的距离最大时，点的坐标是( ) 7. 从集合中任选两个元素作为椭圆方程中的和，则能组成落在矩形区域内的椭圆个数为（） 8. 已知椭圆内有一点，为左焦点，在椭圆上求一点，使取得最值9.已知定点A（2，0），动点B是圆（F为圆心）上一点，线段AB的垂直平分线交BF于P。 （1）求动点P的轨迹方程； （2）直线交P点的轨迹于M，N两点，若P点的轨迹上存在点C，使求实数m的值；