力学机械振动和机械波复习.ppt

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1、力学机械振动和机械波复习,1,1、参照系，质点,3、位移：,4、速度：,2、矢径：,第一章 质点力学基础,2,6、路程，速率,8、运动方程：,5、加速度：,7、轨迹方程：,3,9、圆周运动的加速度：,牛顿定律：,10、角速度,11、加速度：,法向加速度,切向加速度,4,第二章 质点力学中的守恒定律,1、动能定理,对质点,对质点系,5,2、功能原理,3、动量定理,对质点,对质点系,6,4、碰撞定律：,7,5、角动量定理：,8,当质点或质点系所受的合外力矩为零时，质点或质点系的角动量守恒，即：,第三章 刚体的转动,一、基本概念,1、转动惯量,2、转动动能,3、力矩,9,4、角动量,5、角冲量,6、

2、力矩的功,二、基本定律和基本公式,1、平行轴公式,正交轴公式,10,2、转动定律：,3、转动动能定理,4、角动量定理,11,1、说明,(2)相对于一惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。,(1) 严格的惯性系是关于参照系的一种理想模型。大多数情况下，通常取地面参照系为惯性参照系。,2、牛顿运动定律的适用范围,牛顿运动定律适用于宏观物体的低速运动。,物体的高速运动遵循相对论力学的规律；微观粒子的运动遵循量子力学的规律。,12,一、基本要求,第四章 机械振动,二、掌握描述简谐运动的旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐运动规律的讨论和分析。,一、掌握描述简谐运动的各个物理量 （特别是相位）的物理意

3、义及各量间的关系。,三、掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义。,四、理解同方向、同频率简谐运动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐运动合成的特点。,五、了解阻尼振动、受迫振动和共振的发生条件及规律.,13,14,一、简谐振动方程：,第四章 机械振动,1、简谐振动动力学特征方程：,2、简谐振动运动学特征方程：,3、简谐振动的运动方程：,如果物体的运动规律满足上述三个方程中的任意一个，即可判定该物体的运动为简谐振动。,二、基本内容,14,15,二、描述简谐振动的物理量：,1、周期 T，频率 和角频率 ： T， 和 仅取决

4、于振动系统本身的性质，因此称为固有周期、固有频率和固有角频率。它们之间关系为:,（1）对于弹簧振子，有:,（2）对于单摆，有,二、基本内容,15,2、振幅 A 和初位相 ： A 和 除与系统性质 有关外，完全由初始条件( x0， 0)确定。,（1）振幅 A,（2）初位相,若物体初速 0 仅知方向而不知数值时，可以采用另一种解析法或旋转矢量法来确定初位相 。,二、基本内容,16,三、简谐振动的速度、加速度和能量：,1、简谐振动的速度：,注意，速度的位相比位移的位相超前/2,2、简谐振动的加速度：,注意，加速度的位相比速度的位相超前 /2 ，比位移的位相超前 。,二、基本内容,17,3、简谐振动的

5、能量：,二、基本内容,18,该法可以简洁、直观地分析振动情况及振动的合成等问题，并能直接看出位相的超前或落后，要求熟练掌握。,四、旋转矢量投影法：,1、同方向、同频率两简谐振动的合成：同方向、同频率两简谐振动的合成仍然是简谐振动，其角频率与原来分振动的角频率相同，其振幅和初位相分别为,五、简谐振动的合成：,二、基本内容,19,二、基本内容,20,*2、同方向、频率稍有差异的两简谐振动的合成：合振动为拍振动；振幅变化的频率称为拍频率，大小为,*3、相互垂直、频率相同的两简谐振动的合成：合振动质点运动的轨迹通常为椭圆，特殊情况下为直线和圆。,二、基本内容,21,令,平衡位置,动力学方程,运动学方程

6、,振动方程,弹 簧 振 子 特 征 方 程,一、特征,22,取,二、 速度和加速度,23,1.振幅,2.周期、频率,弹簧振子周期,周期,频率,圆频率,周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关,三、描述谐振动的物理量,推广：单摆，复摆等,24,1）相位在 内变化，质点无相同的运动状态；,2）初相位 描述质点初始时刻的运动状态.,相差 为整数 质点运动状态全同.（周期性）,( 取 或 ),初相位,3. 相位,25,26,例： 一小球初始时用手托着，手一松，小球做简谐振动，在最低处时， 再次到达平衡位置时，,最低处时：,X=A, V=0;,再次到达平衡位置,X=0, V=-Vm;,27,28,3)

7、常数 和 的确定,对给定振动系统，周期(或者角频率)由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定.三要素,29,四、振动图像 同一质点在不同时刻的位移 xt图,t0时：x0， v的方向看:下时刻的x， 位移向x轴的正方向，v0; 位移向x轴的负方向，v0.,30,第五章 机械波,1、条件：波源和媒质2、位相传播：波传播的是振动的位相，沿波的传播方向，各质点振动的位相依次落后。,一、机械波的产生与传播：,二、波速、波长和周期：,1、波速 u ：单位时间内，一定振动位相传播的距离，其值决定于媒质的性质。,基本内容,31,2、波长 ：波传播方向上位相差为 2 的两点间的距离，表示波的空间周期性。,3

8、、周期 T ：波中各质点完成一次完全振动所需的时间。表示波的时间周期性。,4、频率 ：单位时间内通过波线上某一点的“完整波”的数目。,基本内容,32,波动图像: 不同质点在同一时刻的位移 yx图以上图的右行波为例：,t0时, v的方向看:左边前一个质点的运动状况,弹性媒质的质元受外界扰动发生振动时，媒质各部分间的弹性联系使振动传播开去. 左边“上游”质元依次带动右边“下游”质元振动.某时刻某质元的振动状态将在较晚时刻于“下游”某处出现.,33,基本内容,波动图像: 不同质点在同一时刻的位移 yx图以上图的左行波为例：,t0时, v的方向看:右边前一个质点的运动状况,弹性媒质的质元受外界扰动发生

9、振动时，媒质各部分间的弹性联系使振动传播开去. 右边“上游”质元依次带动左边“下游”质元振动.某时刻某质元的振动状态将在较早时刻于“下游”某处出现.,晚,早,34,基本内容,三、平面简谐波：波源为简谐振动，媒质为均匀的、各向同性的、无限大整个空间,1、波动方程（波函数）：,2、能量密度：,基本内容,35,3、平均能量密度,4、平均能流密度（波强度）,四、惠更斯原理,波所传播到的空间各点都可以看作是发射子波的波源，任一时刻这些子波的包络就是新的波面。,五、波的干涉：,波的叠加原理：几列波在媒质中任一点相遇时，相遇点振动的位移等于各列波单独存在时该点振动位移的矢量和。,基本内容,36,基本内容,波

10、的相干条件,六、驻波：,两列振幅相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时，形成驻波。有波节和波腹，相邻两波节或波腹之间的距离为 / 2。没有位相和能量的传播。,37,基本内容,七、多普勒效应：,当观察者和波源相向运动时,当观察者和波源相背运动时，上式 取负值。,38,例题 详细 解析,39,求导,求导,积分,积分,质点运动学两类基本问题,一 由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；,二 已知质点的加速度以及初始速度和初始位置,可求质点速度及其运动方程 .,1 运动方程,解题思路：,2 加速度 速度 运动方程（积分）,40,例1 一质量为m的物体，由地面以初速度0竖直上抛，

11、物体受到的空气阻力与速度成正比而反向，即 （k为正的常数）。求：（1）物体由开始到达最大高度所需的时间；（2）物体上升的最大高度。,解：（1）由,分离变量得,两边积分：,（2）由,分离变量得,两边积分：,41,解：（1）设人走的距离为x，车走的距离为（L-x),船人组成的系统，由动量守恒,例2 在湖面上有一长度为L，质量为M的船，质量m的船员由静止开始从船头走到船尾，若不考虑阻力等，试求：（1）任一时刻t，船员相对于船的速度大小为0，船员相对于岸边的速度大小；（2）船员和船分别相对于岸边的位移。,解之得,（2）船员相对于岸的位移为：,船相对于岸的位移为：,负号表示船的速度和位移与船员相反方向。

12、,42,例3 质量为 m 的匀质链条，全长为 L，开始时，下端,与地面的距离为 h , 当链条自由下落在地面上时.试求：,的作用力？,L,h,解：设,L-l段未落地的链条在此时的速度,据动量定理,地面受力,m,链条下落在地面上的长度为 l ( lL )时，地面所受链条,设在dt时间内有 dy= dt 长的链条撞击地面，对地面的冲力为大小为f，取向上为Y轴的正方向，地面对其冲力（反作用力）f的方向向上，忽略重力,Y,43,I与质量大小、质量分布、转轴位置有关,质量离散分布的刚体,质量连续分布的刚体,dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：,质量为线分布,质量为面分布,质量为体分布,刚 体,44,

13、（2）薄板的正交轴定理,（1）平行轴定理,45,解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴OO 为 处的质量元,例4 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .,如转轴过端点垂直于棒,46,例5 圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例6 圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,47,例7,I,48,例8 求一质量为m，半径为R的均匀球壳对其一条直径为轴的转动惯量。,解法一：球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一小圆环。其半径为,小圆环处所张圆心角为，小圆环的宽度为,则小圆环的面积为,小圆环的质量为,小圆环转动惯量为,则球壳的转动惯量：,49,例8 求一质量为m

14、，半径为R的空心薄球壳对其一条直径为轴的转动惯量。,解法二：薄球壳的质量面密度为：,球壳可被看作由许多个小圆环构成，如图所示选取其中一小圆环考虑，该小圆环的面积：,该小圆环的质量：,其中：,50,51,该小圆环关于其转轴的转动惯量：,则整个球壳关于转轴的转动惯量为：,51,52,例9 求一质量为m，半径为R的均匀实心球对其一条直径为轴的转动惯量。,解法一：球绕Z轴旋转，离球心Z高处切一厚为dZ的薄圆盘。其半径为：,薄圆盘体积：,薄圆盘质量：,薄圆盘转动惯量：,52,解法二：球绕Z轴旋转，离球心r处取一半径为r，厚度为dr的球壳，则其体积微元,球壳质量微元,球壳微元的转动惯量,53,例10 系统

15、由一个细杆和一个小球组成，求绕过A点的轴转动时的转动惯量。,若小球可处理为质点，则有：,54,常见刚体的转动惯量,55,例11：一长为l、质量为m的均匀细杆，可绕轴O轴转动。桌面与细杆间的滑动摩擦系数为，杆初始转速为0，求：（1）细杆受的摩擦力矩；（2）从到停止转动共经历的时间；（3）从到停止转动共转了多少圈（如图）。,解：（1）,56,（2）（一）用动量矩定律：,（二）亦可用转动定律：,（3）（一）用运动学方法：,57,或,（二）动能定理：,58,圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止,解,例12,求：从0到圆盘静止所需时间,取一质元,由转动定律,摩擦力矩,59,例13 长度为L，质量为m

16、的均匀细杆OA，在竖直平面内可绕轴O自由转动。开始时杆处于水平位置，如图2。现在以初角速度0向下释放。则：（1）杆在水平位置时的角加速度是多少？（2）杆转到竖直位置时的角速度是多少？A端的线速度是多少？,解：（1）,60,例14 一长为L，质量为m的均匀细棒，一端可绕水平光滑轴O在竖直平面内转动。当细棒静止在竖直位置时，有一质量为m0，速度为的v子弹，水平射入其下端而不复出。此后棒恰好摆到水平位置后重又下落。求：（1）子弹射入棒前的速度v ；（2）棒回到竖直位置时的角加速度；（3）碰撞过程中损失的能量。,解：（1）取子弹、细棒为一系统，碰撞时角动量守恒：,细棒上摆过程中机械能守恒：,61,将（

17、2）式代入上式可得：,（2）棒在竖直位置时所受的力矩为零，由转动定律得,62,求（1）质点运动方程；,（2）质点从 运动到 处最短时间。,例15、已知质点作简谐运动，振幅 ，角频率 ，开始时，质点位于 处，向x轴负方向运动。,解： （1）用旋转矢量法确定初相（如图），则,63,（2）将 代入运动方程。,又由题意得，此时,64,更简单的方法是运用旋转矢量法计算,质点从运动到最短的时间，对应的旋转矢量是从运动到，则所需时间,65,例16、定滑轮半径为 R，转动惯量为 I ，一长度不变的轻绳一端与固定的劲度系数为k的轻弹簧相连，另一端与质量为 m 的物体相连，绳子与滑轮间无相对滑动，忽略轮轴摩擦。现

18、将物体从平衡位置拉下一小段距离后释放，证明物体作谐振动并求其振动周期,解法1：建立如图所示的坐标轴，物体平衡时有（x0为负）：,物体在任一位置 x 处：,对滑轮有：,考虑到 ，有,66,解法2：系统机械能守恒，选平衡位置为势能零点,两边求导,67,注：从能量守恒导出简谐运动方程的思路，对研究非机械运动十分重要，因为此时已不宜用受力分析的方法了！,68,推广1：已知k，m；定滑轮I，R初始位置时弹簧无伸长，静止释放求（1）m的运动为简谐振动 （2）振动周期（3）振动方程,平衡位置处：,位移x处：,证明: 法一（1）取物体、弹簧和定滑轮为研究对象，分析它们受力，平衡时，设弹簧伸长b,注：研究简谐运

19、动时,坐标原点建立在平衡位置,推广如下：,69,70,初始位置时弹簧无伸长，静止释放，求振动方程,t=0时，x0=b, v0=0,71,解法二：用能量方法研究系统的运动,该系统的机械能守恒，则有,两边求导,以弹簧的原长处为弹性势能和重力势能的零点,平衡时，设弹簧伸长b，mg=kb；,72,与上结果相同,注：从能量守恒导出简谐运动方程的思路，对研究非机械运动十分重要，因为此时已不宜用受力分析的方法了！,式中,73,推广2：将一弹簧振子竖直悬挂，已知弹簧的劲度系数为k1.6Nm1，弹簧下端挂一质量为m0.025kg的物体，物体处于平衡状态。试求：(1)若将物体下拉到x00.10m处，然后自由释放；

20、(2)若将物体下拉到x00.10m处,再给它向下运动的初速度v0=0.8ms-1, 写出振动方程。,注：研究简谐运动时,坐标原点建立在平衡位置,74,已知： k1.6Nm1 m0.025kg 处于平衡状态,（1）x00.10m处，自由释放,（2）x00.10m处， v0=0.8ms-1,解：以挂上小球后平衡位置为坐标原点：,位移x处：,75,（1）t0 时， x00.10m， vo =0,（2）t0 时， x00.10m， vo =0.8ms-1,76,竖直悬挂的弹簧振子,77,恰当选择零势点，可去掉第二项。 如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点，弹簧伸长就有弹性势能，因此弹性势能需要减去伸

21、长 x0 处的势能,78,79,建立谐振动方程的一般步骤：确定平衡位置和坐标原点：一般情况下取平衡位置为坐标原点，规定坐标轴正方向；写出振动方程，根据初始条件确定振动初始状态；求出A，写出谐振动方程。,80,81,例17一质量为0.1kg的物体，以0.01m的振幅作振动，最大加速度为0.04m/s2，求（1）振动的周期；（2）总能量；（3）物体在何处时，其动能和势能相等；（4）位移等于振幅一半时，动能与势能之比。,1、解：（1）设其简谐振动方程为,（2）系统总能量,82,（3）设物体在x0处动能与势能相等，即等于总能量的一半，则有,（2）,（3）,由,83,例18、平面简谐波以波速u=10 m

22、/s沿X正方向传播，在t = 0时，波形如图1。求：（1）原点O的振动方程；（2）该波的波动方程；（3）在 x =10 m处有一墙壁，波从空气传到墙壁被完全反射，求反射波的波动方程；（4）合成波的波动方程。,例18、解：（1）,84,85,例19、一平面余弦波以速度u10m/s向x负方向传播，时波形如图1所示。试求：（1）入射波的波动方程；（2）p点的横坐标xp；（3）在x=0处有一反射墙，波从空气传到墙壁被反射，求反射波的波动方程；（4）合成波的波动方程及波节点的位置；（5）合成波的平均能流密度。,解：（1）由t=0时，由图可知，设波动方程为,86,（2）t=0时，,87,（3）,88,（4）,波节点：x=8k, k =0,1,2,（5）驻波的平均能流密度：,89,小结：,1、根据已知条件，求出已知点的振动方程；,2、在波线上任取一点，写出相对于已知点落后（超前）的时间t；,3、将振动方程中的t，减去（或加上），即所建立波动方程,