2006年全国卷Ⅱ高考理科数学真题及答案.doc

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1、2006年全国卷高考理科数学真题及答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合M=x|x3，N=x|log2x1，则MN=（）ABx|0x3Cx|1x3Dx|2x32（5分）函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（）A2B4CD3（5分）=（）ABCiDi4（5分）如图，PA、PB、DE分别与O相切，若P=40，则DOE等于（）度A40B50C70D805（5分）已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）AB6CD126（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x0），则f（x）的反函数为（）

2、Ay=ex+1（xR）By=ex1（xR）Cy=ex+1（x1）Dy=ex1（x1）7（5分）如图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A、B，则AB：AB=（）A2：1B3：1C3：2D4：38（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）ABCf（x）=log2x（x0）Df（x）=log2（x）（x0）9（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）ABCD10（5分）若f（sinx）=2cos2x，则f（cosx）等于（）A2sin2xB

3、2+sin2xC2cos2xD2+cos2x11（5分）设Sn是等差数列an的前n项和，若=，则=（）ABCD12（5分）函数的最小值为（）A190B171C90D45二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）在的展开式中常数项为（用数字作答）14（4分）已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为15（4分）过点的直线l将圆（x2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=16（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）为了分析居民的收入与年龄

4、、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2500，3000）（元）月收入段应抽出人三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）已知向量，（1）若，求；（2）求的最大值18（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品（1）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率19（12分）如图，在直三棱柱ABCA

5、1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1ADC1的大小20（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）若对所有的x0，都有f（x）ax成立，求实数a的取值范围21（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出S=f（）的表达式，并求S的最小值22（12分）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan=0有一根为Sn1，n=1，2，3，（1）求a1，a2；（2）猜想数列Sn的通项公式，

6、并给出严格的证明2006年全国卷高考理科数学真题参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）已知集合M=x|x3，N=x|log2x1，则MN=（）ABx|0x3Cx|1x3Dx|2x3【分析】解出集合N，结合数轴求交集【解答】解：N=x|log2x1=x|x2，用数轴表示可得答案D故选D2（5分）函数y=sin2xcos2x的最小正周期是（）A2B4CD【分析】将函数化简为：y=Asin（x+）的形式即可得到答案【解答】解：所以最小正周期为，故选D3（5分）=（）ABCiDi【分析】化简复数的分母，再分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可【解答】解：故选A4（5分）如图

7、，PA、PB、DE分别与O相切，若P=40，则DOE等于（）度A40B50C70D80【分析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得AOB=140，再由切线长定理求得DOE的度数【解答】解：连接OA、OB、OP，P=40，AOB=140，PA、PB、DE分别与O相切，AOD=POD，BOE=POE，DOE=AOB=140=70故选C5（5分）已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）AB6CD12【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点

8、的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长为4a=，故选C6（5分）已知函数f（x）=lnx+1（x0），则f（x）的反函数为（）Ay=ex+1（xR）By=ex1（xR）Cy=ex+1（x1）Dy=ex1（x1）【分析】本题考查反函数的概念、求反函数的方法、指数式与对数式的互化，求函数的值域；将y=lnx+1看做方程解出x，然后由原函数的值域确定反函数的定义域即可【解答】解：由y=lnx+1解得x=ey1，即：y=ex1x0，yR所以函数f（x）=lnx+1（x0）反函数为y=ex1（xR）故选B7（5分）如图，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和过A、B分别作两平面交线的垂线，

9、垂足为A、B，则AB：AB=（）A2：1B3：1C3：2D4：3【分析】设AB的长度为a用a表示出AB的长度，即可得到两线段的比值【解答】解：连接AB和AB，设AB=a，可得AB与平面所成的角为，在RtBAB中有AB=，同理可得AB与平面所成的角为，所以，因此在RtAAB中AB=，所以AB：AB=，故选A8（5分）函数y=f（x）的图象与函数g（x）=log2x（x0）的图象关于原点对称，则f（x）的表达式为（）ABCf（x）=log2x（x0）Df（x）=log2（x）（x0）【分析】先设函数f（x）上的点为（x，y），根据（x，y）关于原点的对称点为（x，y）且函数y=f（x）的图象与函数

10、g（x）=log2x（x0）的图象关于原点对称，得到x与y的关系式，即得答案【解答】解：设（x，y）在函数f（x）的图象上（x，y）关于原点的对称点为（x，y），所以（x，y）在函数g（x）上y=log2（x）f（x）=log2（x）（x0）故选D9（5分）已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】由题意设出双曲线的方程，得到它的一条渐近线方程y=x即y=x，由此可得b：a=4：3，结合双曲线的平方关系可得c与a的比值，求出该双曲线的离心率【解答】解：双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，设双曲线的方程为，（a0，b0）由此可得双曲线的渐近线方程为

11、y=x，结合题意一条渐近线方程为y=x，得 =，设b=4t，a=3t，则c=5t（t0）该双曲线的离心率是e=故选A10（5分）若f（sinx）=2cos2x，则f（cosx）等于（）A2sin2xB2+sin2xC2cos2xD2+cos2x【分析】本题考查的知识点是函数解析式的求法，根据已知中f（sinx）=2cos2x，结合倍角公式对解析式进行凑配，不难得到函数f（x）的解析式，然后将cosx代入，并化简即可得到答案【解答】解：f（sinx）=2（12sin2x）=1+2sin2x，f（x）=1+2x2，（1x1）f（cosx）=1+2cos2x=2+cos2x故选D11（5分）设Sn是

12、等差数列an的前n项和，若=，则=（）ABCD【分析】根据等差数列的前n项和公式，用a1和d分别表示出s3与s6，代入中，整理得a1=2d，再代入中化简求值即可【解答】解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由等差数列的求和公式可得且d0，故选A12（5分）函数的最小值为（）A190B171C90D45【分析】利用绝对值的几何意义求解或者绝对值不等式的性质求解【解答】解法一：f（x）=|x1|+|x2|+|x3|+|x19|表示数轴上一点到1，2，3，19的距离之和，可知x在119最中间时f（x）取最小值即x=10时f（x）有最小值90，故选C解法二：|x1|+|x19|18，当1x19时取

13、等号；|x2|+|x18|16，当2x18时取等号；|x3|+|x17|14，当3x17时取等号；|x9|+|x11|2，当9x11时取等号；|x10|0，当x=10时取等号；将上述所有不等式累加得|x1|+|x2|+|x3|+|x19|18+16+14+2+0=90（当且仅当x=10时取得最小值）故选C二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）在的展开式中常数项为45（用数字作答）【分析】利用二项式的通项公式（让次数为0，求出r）就可求出答案【解答】解：要求常数项，即405r=0，可得r=8代入通项公式可得Tr+1=C108=C102=45故答案为：4514（4分）已知ABC

14、的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为【分析】先根据三个内角A、B、C成等差数列和三角形内角和为可求得B的值，进而利用AD为边BC上的中线求得BD，最后在ABD中利用余弦定理求得AD【解答】解：ABC的三个内角A、B、C成等差数列A+C=2BA+B+C=AD为边BC上的中线BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：15（4分）过点的直线l将圆（x2）2+y2=4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k=【分析】本题考查的是直线垂直时斜率之间的关系，及直线与圆的相关性质，要处理本题我们先要画出满足条件的图形，数形结合容易得到符合题目中的条件的数理

15、关系，由劣弧所对的圆心角最小弦长最短，及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直，易得到解题思路【解答】解：如图示，由图形可知：点A在圆（x2）2+y2=4的内部，圆心为O（2，0）要使得劣弧所对的圆心角最小，只能是直线lOA，所以16（4分）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如图）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在2500，3000）（元）月收入段应抽出25人【分析】直方图中小矩形的面积表示频率，先计算出2500，3000）内的频率，再计算所需抽取人数即可

16、【解答】解：由直方图可得2500，3000）（元）月收入段共有100000.0005500=2500人按分层抽样应抽出人故答案为：25三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）已知向量，（1）若，求；（2）求的最大值【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围【解答】解：（1）因为，所以得又，所以=（2）因为=所以当=时，的最大值为5+4=9 故的最大值为318（12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出

17、取2件产品进行检验设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品（1）用表示抽检的6件产品中二等品的件数，求的分布列及的数学期望；（2）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率【分析】（1）由取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品可知变量的取值，结合变量对应的事件做出这四个事件发生的概率，写出分布列和期望（2）由上一问做出的分布列可以知道，P（=2）=，P（=3）=，这两个事件是互斥的，根据互斥事件的概率公式得到结果【解答】解（1）由题意知抽检的6件产品中二等品的件数=0，1，2，3=，的分布列为0123P的数

18、学期望E（）=（2）P（=2）=，P（=3）=，这两个事件是互斥的P（2）=19（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=BC，D、E分别为BB1、AC1的中点（I）证明：ED为异面直线BB1与AC1的公垂线；（II）设，求二面角A1ADC1的大小【分析】（）设O为AC中点，连接EO，BO，欲证ED为异面直线AC1与BB1的公垂线，只需证明ED与直线AC1与BB1都垂直且相交，根据线面垂直的性质可知EDCC1，而EDBB1，即可证得；（）连接A1E，作EFAD，垂足为F，连接A1F，根据二面角的平面角定义可知A1FE为二面角A1ADC1的平面角，在三角形A1FE中求出此角即可【解答

19、】解：（）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，EDOB（2分）AB=BC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1，BO面ABC，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，EDAC1，EDCC1，EDBB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线（6分）（）连接A1E，由AA1=AC=AB可知，A1ACC1为正方形，A1EAC1，又由ED平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面ADC1平面A1ACC1，A1E平面ADC1作EFAD，垂足为F，连接A1F，则A1FAD，A1FE为二面角A1ADC1的平面角不妨设AA1=2，则AC=2，

20、AB=，ED=OB=1，EF=，tanA1FE=，A1FE=60所以二面角A1ADC1为60（12分）20（12分）设函数f（x）=（x+1）ln（x+1）若对所有的x0，都有f（x）ax成立，求实数a的取值范围【分析】令g（x）=（x+1）ln（x+1）ax对g（x），求导得g（x）=ln（x+1）+1a，令g（x）=0x=ea11，当a1时，对所有的x0都有g（x）0，所以g（x）在0，+）上为单调增函数，又g（0）=0，所以对x0时有g（x）g（0），即当a1时都有f（x）ax，所以a1成立，当a1时，对于0xea11时，g（x）0，所以g（x）在（0，ea11）上是减函数，又g（0）=

21、0，所以对于0xea11有g（x）g（0），即f（x）ax，所以当a1时f（x）ax不一定成立综上所述即可得出a的取值范围【解答】解法一：令g（x）=（x+1）ln（x+1）ax，对函数g（x）求导数：g（x）=ln（x+1）+1a令g（x）=0，解得x=ea11，（i）当a1时，对所有x0，g（x）0，所以g（x）在0，+）上是增函数，又g（0）=0，所以对x0，都有g（x）g（0），即当a1时，对于所有x0，都有f（x）ax（ii）当a1时，对于0xea11，g（x）0，所以g（x）在（0，ea11）是减函数，又g（0）=0，所以对0xea11，都有g（x）g（0），即当a1时，不是对所有

22、的x0，都有f（x）ax成立综上，a的取值范围是（，1解法二：令g（x）=（x+1）ln（x+1）ax，于是不等式f（x）ax成立即为g（x）g（0）成立对函数g（x）求导数：g（x）=ln（x+1）+1a令g（x）=0，解得x=ea11，当xea11时，g（x）0，g（x）为增函数，当1xea11，g（x）0，g（x）为减函数，所以要对所有x0都有g（x）g（0）充要条件为ea110由此得a1，即a的取值范围是（，121（14分）已知抛物线x2=4y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M（）证明为定值；（）设ABM的面积为S，写出S=f（）的表达

23、式，并求S的最小值【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y，根据判别式大于0求得x1+x2和x1x2，根据曲线4y=x2上任意一点斜率为y=，可得切线AM和BM的方程，联立方程求得交点坐标，求得和，进而可求得的结果为0，进而判断出ABFM（2）利用（1）的结论，根据x1+x2的关系式求得k和的关系式，进而求得弦长AB，可表示出ABM面积最后根据均值不等式求得S的范围，得到最小值【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（xo，yo），焦点F（0，1），准线方程为y=1，显然AB斜

24、率存在且过F（0，1）设其直线方程为y=kx+1，联立4y=x2消去y得：x24kx4=0，判别式=16（k2+1）0x1+x2=4k，x1x2=4于是曲线4y=x2上任意一点斜率为y=，则易得切线AM，BM方程分别为y=（）x1（xx1）+y1，y=（）x2（xx2）+y2，其中4y1=x12，4y2=x22，联立方程易解得交点M坐标，xo=2k，yo=1，即M（，1）从而，=（，2），（x2x1，y2y1）=（x1+x2）（x2x1）2（y2y1）=（x22x12）2（x22x12）=0，（定值）命题得证这就说明ABFM（）由（）知在ABM中，FMAB，因而S=|AB|FM|，（x1，1y

25、1）=（x2，y21），即，而4y1=x12，4y2=x22，则x22=，x12=4，|FM|=因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=1的距离，所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=+2=（）2于是S=|AB|FM|=（）3，由2知S4，且当=1时，S取得最小值422（12分）设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan=0有一根为Sn1，n=1，2，3，（1）求a1，a2；（2）猜想数列Sn的通项公式，并给出严格的证明【分析】（1）验证当n=1时，x2a1xa1=0有一根为a1根据根的定义，可求得a1，同理，当n=2时，也可求得a2；（2）用数学归纳法证明

26、数列问题时分为两个步骤，第一步，先证明当当n=1时，已知结论成立，第二步，先假设n=k时结论成立，利用此假设结合题设条件证明当n=k+1时，结论也成立即可【解答】解：（1）当n=1时，x2a1xa1=0有一根为S11=a11，于是（a11）2a1（a11）a1=0，解得a1=当n=2时，x2a2xa2=0有一根为S21=a2，于是（a2）2a2（a2）a2=0，解得a2=（2）由题设（Sn1）2an（Sn1）an=0，Sn22Sn+1anSn=0当n2时，an=SnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn+1=0由（1）得S1=a1=，S2=a1+a2=+=由可得S3=由此猜想Sn=，n=1，2，3，下面用数学归纳法证明这个结论（i）n=1时已知结论成立（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由得Sk+1=，即Sk+1=，故n=k+1时结论也成立综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立