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1、2009年北京高考理科数学试题及答案本试卷分第I卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,第I卷1至2页,第卷3至9页,共150分。考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。第I卷(选择题 共40分)注意事项: 1答第I卷前,考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写,用2B铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。 2每小题选出答案后,将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑,黑度以盖住框内字母为准,修改时用橡皮擦除干净。在试卷上作答无效。一、本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 1在复平面内,复数对应的点位于 ( ) A第一象
2、限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. ,复数所对应的点为,故选B.2已知向量a、b不共线,cabR),dab,如果cd,那么 ( ) A且c与d同向 B且c与d反向 C且c与d同向 D且c与d反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a,b,若,则cab,dab, 显然,a与b不平行,排除A、B. 若,则cab,dab,即cd且c与d反向,排除C,故选D.3为了得到函数的图像,只需把函数的图像上所有的点 ( ) A向左平移3个单位长度,再向上平移
3、1个单位长度 B向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度 C向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度 D向右平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A,B,C,D.故应选C.4若正四棱柱的底面边长为1,与底面成60角,则到底面的距离为 ( ) A B1C D【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. (第4题解答图)属于基础知识、基本运算的考查. 依题意,如图,故选D.5“”是“”的 ( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不
4、充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查. 当时, 反之,当时,有, 或,故应选A.6若为有理数),则 ( ) A45 B55 C70 D80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查. , 由已知,得,.故选C.7用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 ( ) A324 B328 C360 D648【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查. 首先应考虑“0”是特殊元素,当0排在末位时
5、,有(个), 当0不排在末位时,有(个), 于是由分类计数原理,得符合题意的偶数共有(个).故选B.8点在直线上,若存在过的直线交抛物线于两点,且,则称点为“点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A直线上的所有点都是“点” B直线上仅有有限个点是“点” C直线上的所有点都不是“点” D直线上有无穷多个点(但不是所有的点)是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型. 本题采作数形结合法易于求解,如图,设,则,消去n,整理得关于x的方程 (1)恒成立,方程(1)恒有实数解,应选A.2009年普通高等学校招生全国统一
6、考试 数学(理工农医类)(北京卷)第卷(共110分)注意事项:1用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。2答卷前将密封线内的项目填写清楚。题号二三总分151617181920分数二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填在题中横线上。9_.W【答案】【解析】本题主要考极限的基本运算,其中重点考查如何约去“零因子”. 属于基础知识、基本运算的考查. ,故应填.10若实数满足则的最小值为_.【答案】【解析】本题主要考查线性规划方面的基础知. 属于基础知识、基本运算的考查. 如图,当时,为最小值.故应填.11设是偶函数,若曲线在点处的切线的斜率为1,则该曲线在处的切线的斜率为_.【答案】
7、【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基本运算的考查.取,如图,采用数形结合法,易得该曲线在处的切线的斜率为.故应填.12椭圆的焦点为,点在椭圆上,若,则_;的小大为_. 【答案】 【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查. ,又,又由余弦定理,得,故应填. 13若函数 则不等式的解集为_.【答案】【解析】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法. 属于基础知识、基本运算的考查. (1)由. (2)由. 不等式的解集为,应填.14已知数列满足:则_;=_.【答案】1,0【解析】本题主要考
8、查周期数列等基础知识.属于创新题型.依题意,得,. 应填1,0.三 、解答题:本大题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。15(本小题共13分) 在中,角的对边分别为,. ()求的值;()求的面积.【解析】本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基础知识,主要考查基本运算能力()A、B、C为ABC的内角,且,. ()由()知, 又,在ABC中,由正弦定理,得.ABC的面积. 16(本小题共14分) 如图,在三棱锥中,底面,点,分别在棱上,且 ()求证:平面;()当为的中点时,求与平面所成的角的大小;()是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理
9、由.【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力()PA底面ABC,PABC.又,ACBC.BC平面PAC.()D为PB的中点,DE/BC,又由()知,BC平面PAC,DE平面PAC,垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角,PA底面ABC,PAAB,又PA=AB,ABP为等腰直角三角形,在RtABC中,.在RtADE中,与平面所成的角的大小为.()DE/BC,又由()知,BC平面PAC,DE平面PAC,又AE平面PAC,PE平面PAC,DEAE,DEPE,AEP为二面角的平面角,PA底面ABC,PAAC,. 在棱PC
10、上存在一点E,使得AEPC,这时,故存在点E使得二面角是直二面角.【解法2】如图,以A为原点建立空间直角坐标系, 设,由已知可得 . (), ,BCAP.又,BCAC,BC平面PAC.()D为PB的中点,DE/BC,E为PC的中点,又由()知,BC平面PAC,DE平面PAC,垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角,.与平面所成的角的大小为.()同解法1.17(本小题共13分)某学生在上学路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,遇到红灯时停留的时间都是2min.()求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率; ()求这名学生在上学路上因遇到红
11、灯停留的总时间的分布列及期望.【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识,考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力.()设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A,因为事件A等价于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯,在第三个路口遇到红灯”,所以事件A的概率为.()由题意可得,可能取的值为0,2,4,6,8(单位:min). 事件“”等价于事件“该学生在路上遇到次红灯”(0,1,2,3,4), 即的分布列是02468的期望是.18(本小题共13分)设函数()求曲线在点处的切线方程;()求函数的单调区间; ()若
12、函数在区间内单调递增,求的取值范围. 【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分析和解决问题的能力(), 曲线在点处的切线方程为()由,得, 若,则当时,函数单调递减,当时,函数单调递增,若,则当时,函数单调递增,当时,函数单调递减, ()由()知,若,则当且仅当,即时,函数在内单调递增;若,则当且仅当,即时,函数在内单调递增, 综上可知,函数在区间内单调递增时,的取值范围是.19(本小题共14分)已知双曲线的离心率为,右准线方程为()求双曲线的方程;()设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于不同的两点,证明的大小为定值. 【解法1】本题主要考查双曲线的
13、标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力()由题意,得,解得,所求双曲线的方程为.()点在圆上,圆在点处的切线方程为,化简得由 及得,切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,且,设A、B两点的坐标分别为,则,且,. 的大小为.w.k.s.5.u.c.o.m 【解法2】()同解法1()点在圆上,圆在点处的切线方程为,化简得.由 及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B,设A、B两点的坐标分别为,则, 的大小为.(且,从而当时,方程和方程的判别式均大于零).20(本小题共13分)已知数集具有性质:对任意的,与两数中至少有一个属于.()分别判断数集与是否具有性质,并说明理由;()证明:,且;()证明:当时,成等比数列.k.s.5. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质,考查运算能力、推理论证能力、分类讨论等数学思想方法本题是数列与不等式的综合题,属于较难层次题.()由于与均不属于数集,该数集不具有性质P.由于都属于数集,该数集具有性质P.()具有性质P,与中至少有一个属于A,由于,故.从而, ,故.由A具有性质P可知.又,从而,.()由()知,当时,有,即,由A具有性质P可知.由,得,且,即是首项为1,公比为成等比数列.
限制150内