第九章-能量原理与变分法.pptx

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1、 第九章第九章 能量原理与变分法能量原理与变分法9-1 9-1 弹性体的变形比能与形变势能弹性体的变形比能与形变势能9-2 9-2 变分法变分法9-3 9-3 位移变分方程位移变分方程与极小势能原理与极小势能原理9-4 9-4 位移变分法位移变分法9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题9-6 9-6 应力变分方程与极小余能原理应力变分方程与极小余能原理9-7 9-7 应力变分法应力变分法9-8 9-8 应力变分法应用于平面问题应力变分法应用于平面问题9-9 9-9 应力变分法应用于扭转问题应力变分法应用于扭转问题目目 录录 弹性力学问题需要求解满足某些边界条件的一系列

2、偏微分方程组，这在数学上往往会遇到困难。因此，需要寻求近似的解法。基于能量原理的变分法（称为（称为变分原理）变分原理）是常用的一种近似解法近似解法。在数学上，变分问题是求泛函的极值问题。在弹性力学里，泛函就是弹性问题中的能量（功），变分法是求能量（功）的极值，在求极值时可得到弹性问题的解，变分问题的直接法使我们能比较方便地得到近似解。1第九章第九章 能量原理与变分法能量原理与变分法 9-1 9-1 弹性体的变形比能与形变势能弹性体的变形比能与形变势能变形比能变形比能设弹性体受有全部六个应力分量设弹性体受有全部六个应力分量 。叠加得到全部比能叠加得到全部比能xyzxyzzyx,xyxyzxzxy

3、zyzzzyyxxU211222222112212xyzyzzxxyyzzxxyUE 比能用应力分量表示的形式为比能用应力分量表示的形式为 比能用应变分量表示的形式为比能用应变分量表示的形式为222222211211 22xyzyzzxxyEUxyz 比能对应力分量求偏导可得应变分量，即比能对应力分量求偏导可得应变分量，即zzyyxxUUU111,xyxyzxzxyzyzUUU111,意义：意义：弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就弹性体的比能对于任一应力分量的改变率，就等于相应的形变分量。等于相应的形变分量。9-1 9-1 弹性体的变形比能与形变势能弹性体的变形比能与形变势能 11111

4、1,xyzxyzyzzxxyyzzxxyUUUUUU比能对应变分量的偏导为应力分量，即比能对应变分量的偏导为应力分量，即形变势能形变势能整个弹性体的形变势能整个弹性体的形变势能 为比能在弹性体的体积内的为比能在弹性体的体积内的积分，即积分，即U1UU d xd yd z9-1 9-1 弹性体的变形比能与形变势能弹性体的变形比能与形变势能 22222222(1)1 2111222EuvwuvwUxyzxyzwvuwvudxdydzyzzxxy 几何方程代入几何方程代入222222222222212122 1212 11 22x xyyz zyzyzzx zxxyxyxyzyzzxxyyzzxxy

5、xyzyzzxxyUdxdydzdxdydzEEdxdydz 9-1 9-1 弹性体的变形比能与形变势能弹性体的变形比能与形变势能 如果对于自变量如果对于自变量x有微小增量有微小增量dx，函数函数y也有对应的微小增量也有对应的微小增量dy，则，则增量增量dy称为函数称为函数y的微分，而的微分，而( )yy x( )dyy x dx( )y x如果对于变量如果对于变量x在某一变域上的每一个值，变量在某一变域上的每一个值，变量y有一个有一个值和它对应，则变量值和它对应，则变量y称为变量称为变量x的函数，记为的函数，记为y对于对于x的导数。的导数。函数的变分函数的变分9-2 9-2 变分法变分法图中

6、曲线图中曲线ABAB示出示出y y与与x x的函数关系并表示出微分的函数关系并表示出微分dydy。 则增量则增量 称为函数称为函数y（x）的变分，）的变分，显然，显然， 一般也是一般也是x的函数。在图的函数。在图中，用中，用CD表示相应于新函数表示相应于新函数Y（x）的曲线，并表示出变分的曲线，并表示出变分 。 ( )( )yY xy xyyy9-2 9-2 变分法变分法现在，假想函数现在，假想函数y（x）的形式发生改变而成为新函数）的形式发生改变而成为新函数Y（x）, 如果对应于如果对应于x的一个定值，的一个定值，y 具有微小的增量具有微小的增量 例如，假定例如，假定AB表示某个量的一表示某

7、个量的一段挠度曲线段挠度曲线, 而而 y 是梁截面的真是梁截面的真实位移，则实位移，则 CD可以表示该梁可以表示该梁发生虚拟位移以后的挠度曲线，发生虚拟位移以后的挠度曲线，则则虚位移就是真实位移虚位移就是真实位移 y(x)的变分的变分 。y9-2 9-2 变分法变分法 当当 y 有变分时有变分时 ，导数，导数 一般也将有变分一般也将有变分 ，它等于，它等于新函数的导数与原函数的导数这两者之差，即新函数的导数与原函数的导数这两者之差，即yy( )( )yY xy x ( )( )yY xy x dydyyydxdx导数的变分等于变分的导数，因此，微分的运算和变分导数的变分等于变分的导数，因此，微

8、分的运算和变分的运算可以交换次序。的运算可以交换次序。y( )( )yY xy x9-2 9-2 变分法变分法 例如，设例如，设xy 面内有给定的两点面内有给定的两点A和和B，则连接这两点的任意曲线的，则连接这两点的任意曲线的长度为长度为如果对于某一类函数中的每一个函数如果对于某一类函数中的每一个函数y（x），变量），变量 I 有一有一个值和它对应，则变量个值和它对应，则变量I称为依赖于函数称为依赖于函数 y（x）的泛函，）的泛函，记为记为 II y x21badyldxdx简单地说，泛函就是函数的函数。简单地说，泛函就是函数的函数。长度长度 l 就是函数就是函数 y（x）的泛函。）的泛函。泛

9、函及其变分泛函及其变分9-2 9-2 变分法变分法 也将随着具有变分也将随着具有变分 。 , ,badyI y xfx ydxdx, ,baIf x y y dx, ,f x y yyyy一般情况下，一般情况下，泛函具有如下的形式泛函具有如下的形式x 的复合函数的复合函数当函数当函数 y（x）具有变分）具有变分时，导函数时，导函数9-2 9-2 变分法变分法或 , ,()f x yy yyf x y yffyyyyyy及的高阶项按照泰勒级数展开法则，函数按照泰勒级数展开法则，函数 f 的增量可以写成的增量可以写成9-2 9-2 变分法变分法上式右边的前两项是函数上式右边的前两项是函数 f 的增

10、量的主部，定义为函数的增量的主部，定义为函数 f 的变分，表示为的变分，表示为 fffyyyy yxyy现在来进一步考察泛函现在来进一步考察泛函 I 。当函数。当函数 y（x）及导函数）及导函数分别具有变分分别具有变分及及时，泛函时，泛函 I 的增量显然为的增量显然为, , ,()bbaababaf x yy yy dxf x y y dxf x yy yyf x y ydxfyydx及的高阶项9-2 9-2 变分法变分法 同样引入上述泛函变分的定义，则同样引入上述泛函变分的定义，则 I 的变分为的变分为()baIf dx将将 代入代入,得得baffIyydxyybbaafdxf dxfffy

11、yyy, ,baIf x y y dx()baIf dx9-2 9-2 变分法变分法由这就是说，只要积分的上、下限保持不变，变分的运算与定积分的运算也可以交换次序变分的运算与定积分的运算也可以交换次序。 则称函数则称函数y（x）在）在 处达到极大值或极小值，而处达到极大值或极小值，而必要的极值条件为必要的极值条件为 或或 dy=0 。 泛函的极值问题泛函的极值问题- -变分问题变分问题如果函数如果函数y（x）在）在 的邻近任一点上的值都大于或都的邻近任一点上的值都大于或都小于小于 ，也就是，也就是 0y x0 xx 000dyy xy x或0 xx0dydx对于泛函对于泛函 ，也有相似的结论，

12、也有相似的结论如果泛函如果泛函 在在 的邻近任意一根曲的邻近任意一根曲线上的值都不大于或都不小于线上的值都不大于或都不小于 ，也就是，也就是 I y x I y x 0yyx 0I yx 000II y xI yx或9-2 9-2 变分法变分法 则称泛函则称泛函 在曲线在曲线 上达到极大值或上达到极大值或极小值，而极小值，而必要的极值条件必要的极值条件为为 I y x 0yyx0I曲线曲线 称为泛函称为泛函 的极值曲线。的极值曲线。 0yyx I y x凡是有关泛函极值的问题，都称之为变分问题，凡是有关泛函极值的问题，都称之为变分问题，而变分法主要就是研究如何求泛函极值的方法。而变分法主要就是

13、研究如何求泛函极值的方法。9-2 9-2 变分法变分法 设图中设图中y= y（x）所示曲线被指定通过）所示曲线被指定通过A，B两点，也就是两点，也就是y（x）具有边界条）具有边界条件件 y amy bn试由泛函试由泛函 的极值条件求出函数的极值条件求出函数 y（x）。）。 , ,baIfx y y dx9-2 9-2 变分法变分法一个典型的变分问题：一个典型的变分问题： 首先导出这一变分问题中极值条件首先导出这一变分问题中极值条件 的具体形式。在变分的具体形式。在变分 的表达式中，的表达式中，右边的第二部分是右边的第二部分是 bbaaff dy dxy dxyy dx0If9-2 9-2 变分

14、法变分法进行分部积分，得进行分部积分，得bbbaaaffdfy dxyydxyydxy 但是，按照边界条件，在但是，按照边界条件，在 x=a 及及 x=b 处，处，y 不变，因而有不变，因而有 ，可见，可见 bbaafdfy dxydxydxy bbaafdffdfIyydxydxydxyydxy0ybaffIyydxyy9-2 9-2 变分法变分法 9-2 9-2 变分法变分法于是，根据于是，根据 的任意性，由的任意性，由 得到极值条件得到极值条件 0fdfydxy由此可以得出函数由此可以得出函数y（x）的微分方程，而这一微分方程）的微分方程，而这一微分方程的解答将给出函数的解答将给出函数y

15、（x）。）。 注意注意，在上式中，偏导数只表示，在上式中，偏导数只表示 x，y， 三者互不依赖三者互不依赖时的运算，而微分运算中，必须考虑时的运算，而微分运算中，必须考虑y及及 均为均为x 的函的函数。数。 yy0Iy 于是由于是由 ，从而由，从而由2001dydxy21fy作为简例，试求图中作为简例，试求图中AB曲线为最短时的函数曲线为最短时的函数y（x）。）。在这里，在这里，21baIlydx , ,baIf x y y dx得得0fdfydxy得极值条件得极值条件 9-2 9-2 变分法变分法 21yCy其中其中 C 是任意常数。求解这一方程，得是任意常数。求解这一方程，得 ，从而得，从

16、而得 12yy xC xC可见最短曲线为一直线。任意常数可见最短曲线为一直线。任意常数 及及 可由边界可由边界条件求得。条件求得。 1C2C1yC 9-2 9-2 变分法变分法 位移变分方程位移变分方程 设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生设弹性体在一定外力作用下，处于平衡状态，发生的真实位移为的真实位移为 u,v,w，则满足位移分量表示的平衡方，则满足位移分量表示的平衡方程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条程，并满足位移边界条件和用位移表示的应力边界条件。假设位移分量发生了位移边界条件所容许的微小件。假设位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变（虚位移）改变（虚位移）u

17、、v、w，这时外力在虚位移上，这时外力在虚位移上作虚功，虚功和变形能泛函的增加是相等的，即作虚功，虚功和变形能泛函的增加是相等的，即dSwZvYuXdxdydzwZvYuXU这个方程就是所谓位移变分方程位移变分方程。 9-3 9-3 位移变分方程与极小势能原理位移变分方程与极小势能原理 dSwZvYuXdxdydzwZvYuXU位移变分方程位移变分方程（拉格朗日方程）拉格朗日方程）ZYX,体力分量体力分量 面力分量面力分量,XYZ而三重积分包括弹性体的全部体积，二重积分包括全部边界面积。 9-3 9-3 位移变分方程与极小势能原理位移变分方程与极小势能原理 极小势能原理极小势能原理利用变分的性

18、质，位移变分方程可改写为：利用变分的性质，位移变分方程可改写为：0UXuYvZw dxdydzXuYvZw dSdSwZvYuXdxdydzZwYvXuV0 VU设外力势能为设外力势能为U+V是形变势能与外力势能的总和，则在给定的外力作是形变势能与外力势能的总和，则在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能的变分为零。用下，实际存在的位移应使总势能的变分为零。 9-3 9-3 位移变分方程与极小势能原理位移变分方程与极小势能原理 力学意义力学意义在给定的外力作用下，在满足位移边在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的一组位移应使总界条件的各组位移中，实际存在的一组位移应

19、使总势能为最小。如果考虑二阶变分，进一步的分析证势能为最小。如果考虑二阶变分，进一步的分析证明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。因此，明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。因此，该式又称为该式又称为极小势能原理极小势能原理。 9-3 9-3 位移变分方程与极小势能原理位移变分方程与极小势能原理0 VU位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边界条件。位移变分方程可以代替平衡微分方程和应力边界条件。实际上，通过运算可以从位移变分方程导出用位移表示的平衡微分方程和实际上，通过运算可以从位移变分方程导出用位移表示的平衡微分方程和应力边界条件。应力边界条件。 将变分看做形变分量的函数，则将变分看做

20、形变分量的函数，则111xyzxyzUUUUdxdydzdxdydz11, , ;, , .xyzxyzxyzUUuwvxyzdxdydzvzwyuxUyzx伽辽金变分方程伽辽金变分方程 9-3 9-3 位移变分方程与极小势能原理位移变分方程与极小势能原理 udxdydzxudSludxdydzxdxdydzuxudxdydzxxxxxx应用应用奥高公式奥高公式，对上式中的第一项，有，对上式中的第一项，有对于其余各项也进行同样的处理，得对于其余各项也进行同样的处理，得 9-3 9-3 位移变分方程与极小势能原理位移变分方程与极小势能原理dxdydzvzwyuxUyzx 将上式代入位移变分方程，

21、并归项得将上式代入位移变分方程，并归项得xxyzxyyzxyxyxzxzzxyzyyzxyyzzxzUlmnumnlvnlmw dSuxyzvw dxdydzyzxzxydSwZvYuXdxdydzwZvYuXU 9-3 9-3 位移变分方程与极小势能原理位移变分方程与极小势能原理 0dSwZmlnvYlnmuXnmldxdydzwZyxzvYxzyuXzyxyzzxzxyyzyzxxyxyzzxzxyyzyzxxyx如果应力边界条件得到满足，则上式简化为如果应力边界条件得到满足，则上式简化为0dxdydzwZyxzvYxzyuXzyxyzzxzxyyzyzxxyx这就是位移分量满足位移边界条

22、件及应力边界条件时，这就是位移分量满足位移边界条件及应力边界条件时，位移变分所应满足的方程，称为位移变分所应满足的方程，称为伽辽金变分方程。伽辽金变分方程。 9-3 9-3 位移变分方程与极小势能原理位移变分方程与极小势能原理 9-4 9-4 位移变分法位移变分法mmmmmmmmmwCwwvBvvuAuu000, 由位移变分方程，可以给弹性力学问题提供一个近由位移变分方程，可以给弹性力学问题提供一个近似解法：先设定满足位移边界条件的位移分量的表达似解法：先设定满足位移边界条件的位移分量的表达式，其中包含若干个待定的系数，再根据极小势能原式，其中包含若干个待定的系数，再根据极小势能原理，决定这些

23、系数。取位移分量的表达式如下：理，决定这些系数。取位移分量的表达式如下： 瑞次法瑞次法u0,v0,w0 为设定的函数为设定的函数,满足位移边界条件；满足位移边界条件；um 、vm、wm 为边界值等于零的设定函数；为边界值等于零的设定函数；Am、Bm、Cm为待定的系数。为待定的系数。u,v,w总能满足位移边界条件，位移的变分由它们的变分来实现总能满足位移边界条件，位移的变分由它们的变分来实现。 mmmmmmmmmCwwBvvAuu,)(mmmmmmCCUBBUAAUU应变能的变分为应变能的变分为外力势能的变分为外力势能的变分为mmmmmmmmmmmmmmSCwZBvYAuXzyxCZwBYvAX

24、uVd)(ddd)(位移分量的变分是位移分量的变分是 9-4 9-4 位移变分法位移变分法 上面是个数为上面是个数为3m的线性代数方程组，求解后，代回的线性代数方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。这种位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。这种方法称为方法称为瑞次法瑞次法。SwZzyxZwCUSvYzyxYvBUSuXzyxXuAUmmmmmmmmmdddddddddddd0UV 9-4 9-4 位移变分法位移变分法 mmmmmmmmmwCwwvBvvuAuu000,若取位移分量的表达式如下若取位移分量的表达式如下mmmmmmmmmCwwBvvAuu,使得位移边界条件和

25、应力边界条件都得到满足，则将使得位移边界条件和应力边界条件都得到满足，则将位移变分，有位移变分，有伽辽金法伽辽金法 9-4 9-4 位移变分法位移变分法 代入伽辽金方程，就得到代入伽辽金方程，就得到0 xyxzxmmmyyzxymmmyzzxzmmmAXu dxdydzxyzBYv dxdydzyzxCZw dxdydzzxy 9-4 9-4 位移变分法位移变分法 由于由于mmmCBA,的任意性，它们的系数应当分别为零的任意性，它们的系数应当分别为零000dxdydzwZyxzdxdydzvYxzydxdydzuXzyxmyzzxzmxyyzymzxxyx 9-4 9-4 位移变分法位移变分法

26、 将上列三方程中的应力分量通过物理方程用形变分量将上列三方程中的应力分量通过物理方程用形变分量表示，再通过几何方程用位移分量表示，简化后即得表示，再通过几何方程用位移分量表示，简化后即得 9-4 9-4 位移变分法位移变分法222102 112102 112102 112mmmEeuX u dxdydzxEevY v dxdydzyEewZ w dxdydzz 这样就得到位移函数待定常数的线性方程组，求解这样就得到位移函数待定常数的线性方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。这种方法称为解。这种方法称为伽辽金法伽辽金法。注意注意：

27、用位移变分法求位移分量，只须取几项就可达到：用位移变分法求位移分量，只须取几项就可达到较高的精度，然而由此求出的应力却很不精确。为了使较高的精度，然而由此求出的应力却很不精确。为了使求得的应力充分精确，必须取更多的项（因为求应力需求得的应力充分精确，必须取更多的项（因为求应力需要对位移求二阶导数导致精度降低）。要对位移求二阶导数导致精度降低）。 9-4 9-4 位移变分法位移变分法 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题在平面应变问题中，有在平面应变问题中，有w=0，而且，而且u和和v都不随坐标都不随坐标z而而变。在变。在z方向取一个单位长度，则位移分量表示的形变方向

28、取一个单位长度，则位移分量表示的形变势能的表达式，由势能的表达式，由22222222(1)1 2111222EuvwuvwUxyzxyzwvuwvudxdydzyzzxxy2222222(1)1 2111222EuvuvUxyxyvuvudxdydzzzxy 对于平面应力问题对于平面应力问题2121E122221222 1EuvuvvuUdxdyxyxyxy 由于两种平面问题都不必考虑由于两种平面问题都不必考虑 z 方向的位移方向的位移 w ，且，且u 和和 v 都不随坐标都不随坐标 z 而变，所以位移分量的表达式可设为而变，所以位移分量的表达式可设为mmmmmmvBvvuAuu00, 9-5

29、 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题E SvYyxYvBUSuXyxXuAUmmmmmmdddddd 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题在采用瑞次法时，为了决定系数在采用瑞次法时，为了决定系数Am及及 Bm ，在，在z方向取方向取一个单位长度，只须应用如下二式来求解线性方程组一个单位长度，只须应用如下二式来求解线性方程组在采用伽辽金法时，对于在采用伽辽金法时，对于平面应变问题平面应变问题，要应用如下二，要应用如下二式来求解线性方程组式来求解线性方程组22102 11 2102 11 2mmEeuX u dxdyxEevY v dxdyy 对于

30、对于平面应力问题平面应力问题，要求解的方程组如以下二式形式，要求解的方程组如以下二式形式222222222222110122110122mmEuuvX u dxdyxyx yEvvuY v dxdyyxx y 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题 瑞次法的瑞次法的要点要点是要是要找到满足全部边界条件的位移函数找到满足全部边界条件的位移函数，而这种函数一般仍然难以找到，尤其在边界不规整的情而这种函数一般仍然难以找到，尤其在边界不规整的情况下。所以瑞次方法的应用在这一点上受到极大的限制。况下。所以瑞次方法的应用在这一点上受到极大的限制。 伽辽金方法伽辽金方法的计算工作量

31、较小，但对位移函数的要求的计算工作量较小，但对位移函数的要求较高，除了较高，除了要求满足位移边界条件要求满足位移边界条件外，还要求外，还要求根据位移根据位移函数求得的应力应满足应力边界条件函数求得的应力应满足应力边界条件。在特殊情况，如。在特殊情况，如仅有位移边界，而无应力边界，这也表示着应力边界条仅有位移边界，而无应力边界，这也表示着应力边界条件自然得到满足，这时用伽辽金方法十分方便。件自然得到满足，这时用伽辽金方法十分方便。 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题 如图所示的薄板，不计体力，求薄板的位移。如图所示的薄板，不计体力，求薄板的位移。解：解：用瑞次法，用

32、瑞次法，设位移设位移yBvBvxAuAu111111,它们是满足位移边界（左边和下它们是满足位移边界（左边和下边）的边界条件的。在平面应力边）的边界条件的。在平面应力状态下状态下22222d d2(1)1d d 2EuvuvUxyxyxyvuxyxy xyq1q2bao 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题 2211112(2)2(1)EabUABA BabqBUabqAU2111, 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题svYBUsuXAUd,d1111由11121122(22)2(1)(22)2(1)EabABq abEabBAq ab

33、 即1221111221,qqqqABEEqqqquxvyEE 如图所示，宽为如图所示，宽为2a而高度为而高度为b的矩形薄板，左右两边及下边的矩形薄板，左右两边及下边均被固定，而上边的位移给定均被固定，而上边的位移给定为为221,0axvu不计体力，试求薄板的不计体力，试求薄板的位移和应力。位移和应力。aabboxy 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题 解：解： 取坐标轴如图所示。设位移取坐标轴如图所示。设位移分量为分量为2122212211111xx yyuAaa bbxyxyyvBababbaabboxy 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用

34、于平面问题可以满足位移边界条件，即可以满足位移边界条件，即 02200,0,00,0,1xayy bxayy buuuxvvva 在该问题中，并没有应力边界条件，因此可以认为所在该问题中，并没有应力边界条件，因此可以认为所设位移既然满足了位移边界条件，也就满足了全部边设位移既然满足了位移边界条件，也就满足了全部边界条件，这就可以应用伽辽金法求解。界条件，这就可以应用伽辽金法求解。 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题 注意体力注意体力X=Y=0而而m = 1，伽辽金方程成为，伽辽金方程成为2221222022212220110122110122abaabaEuuvu

35、dxdyxyx yEvvuvdxdyyxx y 将位移分量的各二阶导数将位移分量的各二阶导数.2122,2131,12,22,2,61222122221222221222332122222122byaxabBaxabyxvbyaxabAyxuaxbByvbybyaBbyaxvaxaxbAyubybyaxaAxu 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题 22221223311,bybyaxvbybyaxaxu代入伽辽金方程，进行积分并求解得代入伽辽金方程，进行积分并求解得112235 15 1,4220 1162 1ABaaabbb 9-5 9-5 位移变分法应用于平面

36、问题位移变分法应用于平面问题 为简单起见，取为简单起见，取b=a而而 =0.2，将，将A1和和B1代入所设代入所设位移函数得位移函数得22222233227. 0773. 01724. 0ayayaxvayayaxaxu 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题 应用几何方程及物理方程，可由上式求得应力分量应用几何方程及物理方程，可由上式求得应力分量ayaxaxayayaxaEayayaxayaxaEayayaxayaxaExyyx21302. 0189. 0644. 031302. 0473. 0305. 0131754. 0095. 0161. 0133222222

37、22222222 9-5 9-5 位移变分法应用于平面问题位移变分法应用于平面问题 9-6 9-6 应力变分方程与极小余能原理应力变分方程与极小余能原理 设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。 命命 为实际存在的应力分量，它们满足平衡微分方程和应为实际存在的应力分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程。假想体力不变力边界条件，也满足相容方程。假想体力不变,而应而应力分量发生了微小的变化力分量发生了微小的变化 ，即所谓虚应力或应力，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为的变分，使应力分量成为 ，设它们只满足平，设它们只满足平衡微分方程和

38、应力边界条件。衡微分方程和应力边界条件。应力变分方程应力变分方程ijijijij 000yzxzzxyzyyzxyxxyxzyzyzyx(a)同时，在位移给定的边界上（面力不可能给定），应同时，在位移给定的边界上（面力不可能给定），应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分力分量的变分必然伴随着面力分量的变分 。ZYX,9-6 9-6 应力变分方程与极小余能原理应力变分方程与极小余能原理满足平衡微分方程满足平衡微分方程 ZnmlYnmlnmlzzyzxyzyxyzxxyxX(b)根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足必须满足9-6 9-

39、6 应力变分方程与极小余能原理应力变分方程与极小余能原理 由于应力分量的变分，形变势能必有相应的变分。把由于应力分量的变分，形变势能必有相应的变分。把形变势能看做应力分量的函数，则形变势能的变分应形变势能看做应力分量的函数，则形变势能的变分应为为zyxUUzyxUUyzyzxxddd.ddd111将下式代入将下式代入.,111111xyxyzxzxyzyzzzyyxxUUUUUU9-6 9-6 应力变分方程与极小余能原理应力变分方程与极小余能原理 zyxzvywxuzyxUyzxyzyzxxddd.ddd.再将几何方程代入再将几何方程代入根据分步积分和奥高公式，对上式右边的各项进行根据分步积分

40、和奥高公式，对上式右边的各项进行处理处理: :9-6 9-6 应力变分方程与极小余能原理应力变分方程与极小余能原理 d d dd()d d dxxxux y zluSux y zxx例如（取其中一项）例如（取其中一项）9-6 9-6 应力变分方程与极小余能原理应力变分方程与极小余能原理( )dd d dxxyzxyxxzxUulmnSux y zxyz 再将式（再将式（a）和（）和（b）代入，即得）代入，即得SZwYvXuUd)(这就是这就是应力变分方程应力变分方程(卡斯提安诺变分方程卡斯提安诺变分方程)。方程的。方程的右边代表面力的变分在实际位移上所做的功。由此可右边代表面力的变分在实际位移

41、上所做的功。由此可见，见，由于应力发生的变分，形变势能的变分等于面力由于应力发生的变分，形变势能的变分等于面力的变分在实际位移上所做的功的变分在实际位移上所做的功。9-6 9-6 应力变分方程与极小余能原理应力变分方程与极小余能原理000yzxzzxyzyyzxyxxyxzyzyzyxZnmlYnmlnmlzzyzxyzyxyzxxyxX( )dd d dxxyzxyxxzxUulmnSux y zxyz 如果在某一部分边界上，面力是给定的，则该部如果在某一部分边界上，面力是给定的，则该部分边界上的面力不能有变分，于是分边界上的面力不能有变分，于是 ，而应力变分方程右边的相应积分项成为零；如果

42、在某而应力变分方程右边的相应积分项成为零；如果在某一部分边界上，给定的位移等于零，则应力变分方程一部分边界上，给定的位移等于零，则应力变分方程右边的相应积分项也成为零。因此，右边的相应积分项也成为零。因此，：面力没有给定，面力没有给定，而给定的位移又不等于零而给定的位移又不等于零。0ZYX9-6 9-6 应力变分方程与极小余能原理应力变分方程与极小余能原理 极小余能原理极小余能原理将应力变分方程改写为将应力变分方程改写为0d)(SZwYvXuU由于在需要积分的边界上，位移是给定的，在变分过由于在需要积分的边界上，位移是给定的，在变分过程中保持不变程中保持不变9-6 9-6 应力变分方程与极小余

43、能原理应力变分方程与极小余能原理()0Uu XvYwZ dS中括号内的表达式称为中括号内的表达式称为。 因此，因此，在满足平衡方程和应力边界条件的各组应力中在满足平衡方程和应力边界条件的各组应力中间，实际存在的一组应力应使弹性体的余能成为极值。间，实际存在的一组应力应使弹性体的余能成为极值。如果考虑二阶变分，可以证明这个极值是极小值，所如果考虑二阶变分，可以证明这个极值是极小值，所以上述结论称为以上述结论称为。实际存在的应力，除了满足平衡微分方程以外，还应实际存在的应力，除了满足平衡微分方程以外，还应当满足相容方程。实际存在的应力，除了满足平衡微当满足相容方程。实际存在的应力，除了满足平衡微分

44、方程和应力边界条件以外，还满足应力变分方程。分方程和应力边界条件以外，还满足应力变分方程。而且可以而且可以从应力变分方程导出相容条件从应力变分方程导出相容条件。9-6 9-6 应力变分方程与极小余能原理应力变分方程与极小余能原理 设定应力分量的表达式，设定应力分量的表达式，使其满足平衡方程和应力使其满足平衡方程和应力边界条件，包含若干待定系数边界条件，包含若干待定系数，根据应力变分方程决，根据应力变分方程决定这些系数。应力分量可设为定这些系数。应力分量可设为 其中其中Am为互不依赖的为互不依赖的m个系数。个系数。 是满足平衡微分是满足平衡微分方程和应力边界条件的设定函数，方程和应力边界条件的设

45、定函数， 是满足是满足“无体力无体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件”的设的设定函数。这样，定函数。这样，mmijmijijA)()(0(c)0ijijmij9-7 9-7 应力变分法应力变分法 如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零，则应力变分方程简化为定，便是位移等于零，则应力变分方程简化为显然，形变势能显然，形变势能U是是Am的二次函数，因而的二次函数，因而(d)式将是式将是Am的一次方程。这样的方程共有的一次方程。这样的方程共有 m 个，恰好可以用来求个，恰好可以用来求解系数

46、解系数Am，回代，回代(c)式，求得应力分量。式，求得应力分量。0U0mAU(d)9-7 9-7 应力变分法应力变分法 如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于如果在某一部分边界上，位移是给定的，但并不等于零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程，即零，则在这一部分边界上须直接应用变分方程，即SZwYvXuUd)(9-7 9-7 应力变分法应力变分法在这里，在这里，u、v、w是已知的，是已知的，积分只包括该部分边界积分只包括该部分边界。 将面力的变分与应力的变分两者之间的关系，即将面力的变分与应力的变分两者之间的关系，即zzyzxyzyxyzxxyxnmlZnmlYnmlX代入方程的右边

47、积分后代入方程的右边积分后mmmABSZwYvXud)(其中其中Bm是常数。另一方面，方程的左边是常数。另一方面，方程的左边mmAAUU9-7 9-7 应力变分法应力变分法 mmBAU上式仍然是上式仍然是Am的一次方程，总共有的一次方程，总共有m个，且各个个，且各个Am是是互不相关的，因而可以求出所有的互不相关的，因而可以求出所有的Am ，回代，回代(c)式，求式，求得应力分量。得应力分量。 在应用应力变分法时，要使设定的应力分量既满在应用应力变分法时，要使设定的应力分量既满足足，又满足，又满足，这往往是很，这往往是很困难的。在某些类型的问题中存在着应力函数，这时，困难的。在某些类型的问题中存

48、在着应力函数，这时，我们就我们就只须设定应力函数的表达式只须设定应力函数的表达式，使它给出的应力，使它给出的应力分量能满足应力边界条件。分量能满足应力边界条件。9-7 9-7 应力变分法应力变分法 mmmA0 将将应力函数设定应力函数设定为为9-8 9-8 应力变分法应用于平面问题应力变分法应用于平面问题 在在平面应力平面应力状态，用应力分量表示的形变势能为状态，用应力分量表示的形变势能为222122(1)d d2xyxyxyUx yE 对于对于平面应变平面应变问题问题22211222xyxyxyUdxdyE 则两类平面问题皆简化为则两类平面问题皆简化为yxEUxyyxdd221222用应力函

49、数表示为用应力函数表示为yxyxYyxXxyEUdd221222222229-8 9-8 应力变分法应用于平面问题应力变分法应用于平面问题 在应力边界问题中，因为面力不能有变分，所以变在应力边界问题中，因为面力不能有变分，所以变分方程简化为分方程简化为U=0,因此系数应满足因此系数应满足0mAU 上式为线性方程组，求解上式为线性方程组，求解Am后，得到应力函数的后，得到应力函数的近似解，最后得到各应力分量。近似解，最后得到各应力分量。9-8 9-8 应力变分法应用于平面问题应力变分法应用于平面问题 将应力函数的表达式代入，得将应力函数的表达式代入，得 0dd2dd2222222222yxyxA

50、yxyxxAYyxyAXxymmm9-8 9-8 应力变分法应用于平面问题应力变分法应用于平面问题由上式即可解得系数由上式即可解得系数Am。从而确定应力函数。从而确定应力函数 ，再，再由应力函数由应力函数 求得各应力分量。求得各应力分量。 由于是由于是近似解，应力分量不能精确满足相容条件，近似解，应力分量不能精确满足相容条件，由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协由应力分量求得的应变分量也不能精确满足变形协调条件，调条件，不能根据几何方程求得位移分量不能根据几何方程求得位移分量。 应力函数法的要点应力函数法的要点是是要找到满足全部边界条件的要找到满足全部边界条件的应力函数应力函数，而这种