线性代数第八讲向量组的线性相关性PPT课件.pptx

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1、n 维列向 量n 维行向 量n 维向量(xingling)可写成一行, 也可写成一列. 为行向量和列向量, 也就是(jish)行矩阵和列矩阵, 并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则(guz)进行运算.因此, n 维列向量 与 n 维行向量 T 是两个不同的向量.分别称第1页/共33页第一页，共33页。在解析几何中, 我们(w men)把“既有大小又有方向的量”叫做向量(xingling), 并把可随意平行移动的有向线段作为向量(xingling)的几何形象.在引进坐标系以后, 这种向量就有了坐标表示式 三个有次序的实数, 就因此, 当 n 3 时, n 维向量可以把有是 3 维向量.向线段作

2、为几何形象, 但当 n 3 时, n 维向量就不再有这种几何形象只是沿用一些术语罢了.几何中, “空间”通常是作为点的集合, 即作为“空间”的元素是点, 这样的空间叫做.第2页/共33页第二页，共33页。我们把 3 维向量的全体所组成(z chn)的集合R3 = r = (x , y , z)T | x , y , z R叫做三维向量(xingling)空间.在点空间(kngjin)取定坐标以后, 空间中的点 P(x , y , z) 与 3 维向量 r = (x , y , z)T 之间有一一对应的关系, 因此, 向量空间可以类比为取向量的集合定了坐标的点空间. = r = (x , y ,

3、 z)T | ax + by + cz = d 也叫做.第3页/共33页第三页，共33页。类似地, n 维向量(xingling)的全体所组成的集合Rn = x =(x1,x2, . ,xn)T | x1, x2, . , xn R 叫做 n 维向量(xingling)空间. n 维向量(xingling)的集合 = x =(x1,x2,.,xn)T | a1x1+a2x2+.+anxn=b 叫做 .第4页/共33页第四页，共33页。就是(jish)一个由 4 个 3 维列向量 1, 2, 3, 4 构成的向量组.例如第5页/共33页第五页，共33页。 3. 矩阵与向量组的关系 对于(duy)

4、一个 mn 矩阵 A = (aij) :若令第6页/共33页第六页，共33页。则矩阵(j zhn) A 有 n 个 m 维列向量 . A = (1, 2, . , n ).n 构成一个(y ) mn 矩阵 n 个 m 维列向量(xingling)所组成的向量(xingling)组 1, 2, . , 成一个矩阵. 例如 反之, 由有限个向量所组成的向量组可以构1T, 2T, . , mT 称为矩阵 A 的.则矩阵 A 有 m 个 n 维行向量, 它们组成的向量组 iT = ( ai1 , ai2 , . , ain ), (i = 1, 2, . , m),n 称为矩阵 A 的. 若令向量组

5、1, 2, . , 第7页/共33页第七页，共33页。 同理, m 个 n 维行向量所组成(z chn)的向量组 1T, 综上所述, 一个(y )矩阵与一个(y )行向量组(或列向2T , . , mT 构成(guchng)一个 mn 矩阵第8页/共33页第八页，共33页。前两章中常(zhngchng)把 m 个方程 n 个未知量的线性方 x1a1 + x2a2 + . + xnan = b,阵 B 的行向量组对应(duyng). 若把方程组写成向量(xingling)形式一个方程对应一个行向量, 则方程组即与增广矩增广矩阵 B = ( A , b ) 一一对应. 这种对应看成程组写成矩阵形式

6、 Ax = b, 从而方程组可以与第9页/共33页第九页，共33页。则 可 见 ( k j i n ) 方 程 组 与 B 的 列 向 量 组 a 1 , a 2 , . . . , a n , b 之间也有一一对应的关系(gun x). 综上所述, 第10页/共33页第十页，共33页。 第11页/共33页第十一页，共33页。给定向量(xingling)组 A: a1 , a2 , . , am 和向量(xingling) b, 如果存有解. x1a1 + x2a2 + . + xmam = b向量 b 能由向量组 A 线性表示(biosh), 也就是方程组则称向量 b 是向量组 A 的线性组

7、合,这时称 b = 1a1 + 2a2 + . + mam ,在一组数 1 , 2 , . , m , 使由上章定理定理定理定理 5 5线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 AxAx = = b b 有解的有解的有解的有解的充分必要充分必要充分必要充分必要条件是条件是条件是条件是 R R( (A A) = ) = R R( (A A , , b b) .) .可得第12页/共33页第十二页，共33页。第13页/共33页第十三页，共33页。第14页/共33页第十四页，共33页。把向量(xingling)组 A 和 B 所构成的矩阵依次记作存在(cnzi)数 k1j , k2j , . , k

8、mj , 使能由A 组线性表示(biosh), 即对每个向量 bj (j = 1,2, . , s),A = (a1 , a2 , . , am ) 和 B = (b1 , b2 , . , bs ), B 组第15页/共33页第十五页，共33页。从而(cng r)这里, 矩阵 Kms = (kij) 称为这一线性表示(biosh)的系数第16页/共33页第十六页，共33页。为这一表示(biosh)的系数矩阵:的列向量(xingling)组能由矩阵 A 的列向量(xingling)组线性表示, B 由此可知, 若 Cmn = Ams Bsn , 则矩阵(j zhn) C 第17页/共33页第十

9、七页，共33页。同时(tngsh), C 的行向量组能由 B 的行向量组线性表示, A 为这一表示的系数(xsh)矩阵:第18页/共33页第十八页，共33页。设矩阵 A 经初等(chdng)行变换变成矩阵 B, 则 B 的阵 B, 则 A 的列向量(xingling)组与 B 的列向量(xingling)组等价.类似地可知, 若矩阵 A 经初等(chdng)列变换变成矩于是 A 的行向量组与 B 的行向量组等价.从而 A 的行向量组也能由 B 的行向量组线性表示.等变换可逆, 知矩阵 B 亦可经初等行变换变为 A, 的行向量组能由 A 的行向量组线性表示. 由于初每个行向量都是 A 的行向量组

10、的线性组合, 即 B第19页/共33页第十九页，共33页。向量组的线性组合、线性表示及等价(dngji)等概念，两个(lin )方程组等价, 等价的线性方程组一定同解.若方程组 A 与方程组 B 能相互(xingh)线性表示, 就称这性表示, 这时方程组 A 的解一定是方程组 B 的解;组 A 的线性组合, 就称方程组 B 能由方程组 A 线一个线性组合; 程作线性运算所得的一个方程就称为方程组 A 的也可移用于线性方程组:对方程组 A 的各个方若方程组 B 的每个方程都是方程第20页/共33页第二十页，共33页。按定义定义定义定义 3 3设有两个向量组设有两个向量组设有两个向量组设有两个向量

11、组 A A: : a a1 1, , a a2 2, . , , . , a amm及及及及则称这两个向量组则称这两个向量组则称这两个向量组则称这两个向量组等价等价等价等价. .性表示性表示性表示性表示. . 若向量组若向量组若向量组若向量组 A A 与向量组与向量组与向量组与向量组 B B 能相互线性表示能相互线性表示能相互线性表示能相互线性表示, ,组组组组 A A 线性表示线性表示线性表示线性表示, , 则称则称则称则称向量组向量组向量组向量组 B B 能由向量组能由向量组能由向量组能由向量组 A A 线线线线B B: : b b1 1, , b b2 2, . , . , b bs s

12、, , 若若若若 B B 组中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量向量(xingling)组 B：b1 , b2 , , bl 能由向量组 A：a1 , a2 , , am 线性表示(biosh)，其涵义是存在矩阵 Km l ，使 (b1 , , bl ) = (a1 , , am )K，也就是矩阵方程(a1 , a2 , , am )X = (b1 , b2 , , bl )有解.由上章定理定理定理定理 6 6矩阵方程矩阵方程矩阵方程矩阵方程 AXAX = = B B 有解的有解的有解的有解的充分必要条充分必要条充分必要条充分必要条件是

13、件是件是件是 R R( (A A) = ) = R R( (A A , , B B) .) .可得第21页/共33页第二十一页，共33页。 第22页/共33页第二十二页，共33页。 设证明向量(xingling) b 能由向量(xingling)组 1 , 2 , 3 线性表示，并求出表示(biosh)式.第23页/共33页第二十三页，共33页。 设证明(zhngmng)向量组 a1 , a2 与向量组 b1 , b2 , b3 等价.第24页/共33页第二十四页，共33页。第25页/共33页第二十五页，共33页。 第26页/共33页第二十六页，共33页。 第27页/共33页第二十七页，共33

14、页。第28页/共33页第二十八页，共33页。上述各定理(dngl)之间的对应，其基础是向量组与矩阵(j zhn)的对应，从而有下述对应：第29页/共33页第二十九页，共33页。上述对应的三种叙述都可对应到充分(chngfn)必要条件：R(A) = R(A , B)，并都有必要条件(b yo tio jin)： R(A) R(B) .这里，第一种可称为几何(j h)语言，后两种以及充分必要条件和必要条件则都是矩阵语言.我们要掌握用矩阵语言表术几何问题，还要掌握用几何语言来解释矩阵表述的结论.第30页/共33页第三十页，共33页。上一章中把线性方程组写成矩阵形式(xngsh)，通过矩阵的运算(yn

15、 sun)求得它的解，还用矩阵语言给出了线性方程组有解，有惟一解的充分(chngfn)必要条件；本章中将向量组的问题表述成矩阵形式，通过矩阵的运算得出结果，然后把矩阵形式的结果 “翻译”成几何问题的结论.这种用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算解决问题的方法，通常叫做矩阵方法，这正是线性代数的基本方法.第31页/共33页第三十一页，共33页。n m 矩阵(j zhn) A = (a1 , a2 , , am )， n 阶单位矩阵(j zhn)E = (e1 , e2 , , en ) 的列向量叫做(jiozu) n 维单位坐. 证明： n 维单位坐标向量组 e1 , e2 , , en 能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是R(A) = n .本例所证本例所证本例所证本例所证结论用矩阵语言可叙述为结论用矩阵语言可叙述为结论用矩阵语言可叙述为结论用矩阵语言可叙述为对对矩阵矩阵 An m，存在矩阵存在矩阵 Km n，使使AK = En的的充分必要条件是充分必要条件是 R(A) = n .也可也可叙述为叙述为矩阵方程矩阵方程 An mK = En 有解的有解的充分必要条件充分必要条件是是 R(A) = n .第32页/共33页第三十二页，共33页。感谢您的观看(gunkn)！第33页/共33页第三十三页，共33页。