无穷大无穷小学习教案.ppt

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1、一、无穷小1.定义定义(dngy):定义定义 1 1 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么小不论它多么小),),总存在正数总存在正数 ( (或正数或正数X),),使得对于适合不等式使得对于适合不等式 00 xx( (或或 xX) )的一切的一切x, ,对应的函数值对应的函数值)(xf都满足不等式都满足不等式 )(xf, , 那末那末 称函数称函数)(xf当当0 xx ( (或或 x) )时为无穷小时为无穷小, ,记作记作 ).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或 极限极限(jxin)为零的变量称为无穷小为零的变量称为无穷小.第1页/共18页第一页，共19页

2、。例如例如(lr), 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx, 0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意(zh (zh y)y)1.无穷小是变量无穷小是变量(binling),不能与很小的数不能与很小的数混淆混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.3.无穷小是指无穷小是指在某个过程中 函数变化的趋势.第2页/共18页第二页，共19页。2.无穷小与函数极限无穷小与函数极限(jxin)的的关系关系:证证 必要性必要性,)(lim0

3、Axfxx 设设,)()(Axfx 令令, 0)(lim0 xxx则有则有).()(xAxf .A 定理定理 1 1 ),()()(lim0 xAxfAxfxx 其中其中)(x 是当是当0 xx 时的无穷小时的无穷小., 0 , 0 ,|00 xx当当恒有恒有 |)(|Axf也即也即 | )(|x, 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( xf恒有恒有0)(lim0 xfxx第3页/共18页第三页，共19页。4),()(xAxf 设设Axfxx )(lim0.)(0时时的的无无穷穷小小是是当当其其中中xxx ),()(xAxf 于是于是(ysh), 0 , 0 ,|00 xx当当恒有恒有 |

4、)(|x即即.|)(| Axf.)(lim0Axfxx 类似可证明类似可证明 的情形的情形. x其中其中(qzhng)A是常数是常数,)(0时的无穷小时的无穷小是当是当xxx | )(|)(|xAxf , 0 , 0 ,00时时当当 xx.)( xf恒有恒有0)(lim0 xfxx定理定理(dngl)1(dngl)1充分性充分性第4页/共18页第四页，共19页。意义意义(yy)(yy)1.将一般极限问题转化将一般极限问题转化(zhunhu)为特殊极限为特殊极限问题问题(无穷小无穷小);).(,)()(. 20 xAxfxxf 误差为误差为附近的近似表达式附近的近似表达式在在给出了函数给出了函数

5、3.无穷小的运算无穷小的运算(yn sun)性性质质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无有限个无穷小的代数和仍是无穷小穷小.证证,时的两个无穷小时的两个无穷小是当是当及及设设 x使得使得, 0, 0, 021 NN第5页/共18页第五页，共19页。;21 时恒有时恒有当当Nx;22 时恒有时恒有当当Nx,max21NNN 取取恒恒有有时时当当,Nx 22 , )(0 x注意注意(zh y)(zh y)无穷多个无穷小的代数和未必是无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小无穷小. .是无穷小，是无穷小，时时例如例如nn1, .11不是无穷小不是无穷小之和为之和为个个但但nn

6、第6页/共18页第六页，共19页。定理定理3 有界函数有界函数(hnsh)与无穷小的乘积是无与无穷小的乘积是无穷小穷小.证证内有界，内有界，在在设函数设函数),(100 xUu.0, 0, 0101MuxxM 恒有恒有时时使得当使得当则则,0时的无穷小时的无穷小是当是当又设又设xx .0, 0, 0202Mxx 恒有恒有时时使得当使得当第7页/共18页第七页，共19页。推论推论(tuln)1 在同一过程中在同一过程中,有极限的变量与无穷小有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小的乘积是无穷小.推论推论(tuln)2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论3 有限有限(yuxi

7、n)个无穷小的乘积也是无穷个无穷小的乘积也是无穷小小.,min21 取取恒恒有有时时则则当当,00 xx uuMM , .,0为无穷小为无穷小时时当当 uxxxxxxx1arctan,1sin,0,2时时当当例如例如都是无穷小都是无穷小第8页/共18页第八页，共19页。二、无穷大绝对值无限绝对值无限(wxin)增大的变量称为无穷大增大的变量称为无穷大.如如,0时当 x,1x函数函数xcot是无穷大;,时时当当 x,2x函函数数3x是无穷大.定义定义(dngy(dngy)2)2),(0 不论它多么大不论它多么大 M0 ),0( X或或使得当使得当 |00 xx),|(Xx 或或恒有恒有Mxf |

8、 )(|,)(0时的无穷大时的无穷大当当则称则称xxxf)( x或或记作记作 )(lim0 xfxx).)(lim( xfx或或第9页/共18页第九页，共19页。特殊特殊(tsh)情形：正无穷大，负无穷大情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意(zh (zh y)y)1.无穷大是变量无穷大是变量(binling),不能与很大的数不能与很大的数混淆混淆;3. 无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变但是无界变量未必是某过程的无穷大量未必是某过程的无穷大.)(lim. 20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx第1

9、0页/共18页第十页，共19页。xxy1sin1 .,1sin1,0,但不是无穷大但不是无穷大是一个无界变量是一个无界变量时时当当例如例如xxyx ), 3 , 2 , 1 , 0(221)1(0 kkx取取,22)(0 kxy.)(,0Mxyk 充分大时充分大时当当), 3 , 2 , 1 , 0(21)2(0 kkx取取, kxk充分大时充分大时当当 kkxyk2sin2)(但但.0M 不是不是(b shi)无穷无穷大大无界，无界，第11页/共18页第十一页，共19页。.11lim1 xx证明证明例例证证. 0 M,11Mx 要使要使,11Mx 只要只要,1M 取取,110时时当当Mx .

10、11Mx 就有就有.11lim1 xx.)(,)(lim:00的图形的铅直渐近线的图形的铅直渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfyxxxfxx 11 xy第12页/共18页第十二页，共19页。三、无穷小与无穷大的关系(gun x)定理定理4 4 在同一在同一(tngy)(tngy)过程中过程中, ,无穷大的倒数为无无穷大的倒数为无穷小穷小; ;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. .证证.)(lim0 xfxx设设,1)(0, 0, 00 xfxx恒有恒有时时使得当使得当.)(1 xf即即.)(1,0为无穷小为无穷小时时当当xfxx 第13页/共18页第

11、十三页，共19页。. 0)(, 0)(lim,0 xfxfxx且且设设反之反之,1)(0, 0, 00MxfxxM 恒有恒有时时使得当使得当.)(1Mxf 从而从而.)(1,0为无穷大为无穷大时时当当xfxx , 0)( xf由由于于意义意义 关于关于(guny)(guny)无穷大的讨论无穷大的讨论, ,都可归结为关于都可归结为关于(guny)(guny)无穷小的讨论无穷小的讨论. .第14页/共18页第十四页，共19页。四、小结(xioji)1、主要、主要(zhyo)内容内容:两个两个(lin )定义定义;四个定理四个定理;三个三个推论推论.2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程

12、而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小. .（3） 无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.第15页/共18页第十五页，共19页。16思考题思考题考研考研(ko yn)数数学三学三, 3分分).(1sin1,02是是时时当当xxx A. 无穷小量B. 无穷(wqing)大量C. 有界量非无穷小量D. 无界但非无穷(wqing)大量D第16页/共18页第十六

13、页，共19页。作业作业(zuy)(zuy)习题习题(xt)2.3 (xt)2.3 (34(34页页) ) 3. 5. 7. 第17页/共18页第十七页，共19页。感谢您的欣赏(xnshng)第18页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结一、无穷(wqing)小。2.零是可以作为无穷(wqing)小的唯一的数.。1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷(wqing)小)。定理2 在同一过程中,有限个无穷(wqing)小的代数和仍是无穷(wqing)小.。注意无穷(wqing)多个无穷(wqing)小的代数和未必是无穷(wqing)小.。定理3 有界函数与无穷(wqing)小的乘积是无穷(wqing)小.。推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷(wqing)小的乘积是无穷(wqing)小.。推论2 常数与无穷(wqing)小的乘积是无穷(wqing)小.。推论3 有限个无穷(wqing)小的乘积也是无穷(wqing)小.。特殊情形：正无穷(wqing)大，负无穷(wqing)大第十九页，共19页。