普通物理学第五刚体的自由和平面平行运动学习教案.pptx

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1、会计学1普通物理学第五普通物理学第五(d w)刚体的自由和平面平刚体的自由和平面平行运动行运动第一页，共19页。4-5 刚体刚体(gngt)的自由度和平面平行运动的自由度和平面平行运动1. 1. 自由度自由度 所谓(suwi)自由度就是决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目。 考虑到刚体既有平动又有转动，其独立坐标数由质心坐标，转轴的方位角与刚体绕转轴的转动角度(jiod)决定。oxyzC(x,y,z) 首先确定质心位置。空间任何首先确定质心位置。空间任何一个点需要三个独立坐标来确定一个点需要三个独立坐标来确定位置，因此用三个坐标如位置，因此用三个坐标如C(x,y,z)来决定质心位置。

2、来决定质心位置。第1页/共19页第二页，共19页。 其次刚体的方位由其轴的取向决定，确定空间直线的方位坐标有两个，借用(jiyng)纬度角与经度角来描述，在直角坐标系中，采用用 、 ，如图所示：oxyz p 最后，刚体绕定轴转动时，需要一个坐标来描述，选定(xun dn)参考方向后，转动位置用表示。 总的说来，刚体共有6个自由度，其中(qzhng)3个平动自由度，3个转动自由度。 物体有几个自由度，它物体有几个自由度，它的运动定律可归结为几个独的运动定律可归结为几个独立的方程。立的方程。自由度自由度第2页/共19页第三页，共19页。第3页/共19页第四页，共19页。2. 刚体的平面平行刚体的平

3、面平行(pngxng)运动运动定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持持(boch)一定的距离，或者说刚体中各点都平行一定的距离，或者说刚体中各点都平行于某一平面运动，这就叫刚体的平面平行运动。于某一平面运动，这就叫刚体的平面平行运动。 根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度有根据平面运动的定义，刚体平面运动的自由度有三个，两个坐标决定质心位置，一个三个，两个坐标决定质心位置，一个(y )坐标决定坐标决定转动角度。转动角度。 刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相对于通刚体的平面平行运动可以看做质心的平动与相对于通过质心并垂直于平面的轴的转

4、动的叠加。过质心并垂直于平面的轴的转动的叠加。第4页/共19页第五页，共19页。 设质心在设质心在Oxy平面平面(pngmin)内运动，则平动方程内运动，则平动方程CxxmaF CyymaF 可以证明，定轴转动定律可以证明，定轴转动定律(dngl)在此仍适用在此仍适用CCJM 刚体的平面平行刚体的平面平行(pngxng)运动运动第5页/共19页第六页，共19页。 车轮车轮(ch ln)的纯滚动的纯滚动CvARGRBRABGARBR 车轮中心前进的距离车轮中心前进的距离(jl)与质心转过的角度的关系与质心转过的角度的关系Rx 则则Rvc 刚体的平面刚体的平面(pngmin)平行运动平行运动第6页

5、/共19页第七页，共19页。 车轮上任意一点车轮上任意一点(y din)的速度的速度rvvC CvARGRBRABGARBR G点的速度点的速度(sd)0 rvvCG B点的速度点的速度(sd)CCBvRvv2 A点的速度点的速度CCAvRvv2)(22 刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第7页/共19页第八页，共19页。 刚体刚体(gngt)的动能的动能2)(21 iiikvmE)()(22122iiCCiirrvvm 22)(21)()(21iiiiiiCiCirmrmvvm 质心质心(zh xn)是基点是基点0 iiirm 且且iimm 所以所以(suy)222121CCkJmvE 刚

6、体的动能等于质心的平动动能与对质心的转动刚体的动能等于质心的平动动能与对质心的转动 动能动能之和。之和。刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第8页/共19页第九页，共19页。例题例题(lt)4-9 (lt)4-9 讨论讨论一匀质实心的圆柱体在一匀质实心的圆柱体在斜面上的运动。斜面上的运动。N aCxG=mgrxyOfr 解解 圆柱体所受的力共有三个：圆柱体所受的力共有三个：重力重力G G ，斜面的支承力，斜面的支承力N N 和和摩擦力摩擦力f rf r，如图所示。设圆柱体的质量为，如图所示。设圆柱体的质量为m m，半，半径径为为r r，那么，那么(n me)(n me)，它对其几何的转动惯量，

7、它对其几何的转动惯量 221mrJ 刚体的平面平行刚体的平面平行(pngxng)运动运动第9页/共19页第十页，共19页。这样这样(zhyng)可得可得rCfmgmaxsincosmgNmayCrfJr以上三式中，以上三式中，aCxaCx和和aCyaCy是圆柱体质心在是圆柱体质心在x x轴和轴和y y轴方向的轴方向的加速度，加速度，是圆柱体对其通过质心的几何轴转动的角加是圆柱体对其通过质心的几何轴转动的角加速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑动，只能在斜速度。因斜面粗糙，圆柱体下降时没有滑动，只能在斜面上作纯粹滚动，那么面上作纯粹滚动，那么(n me)(n me)此时此时0 xCma解上列五个

8、式子解上列五个式子(sh zi)，得得0yCma我们取和斜面平行而向下的方向为我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和轴的方向，和斜面垂直而向上为斜面垂直而向上为y轴的方向轴的方向刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第10页/共19页第十一页，共19页。，21sinmrJgaxCrmrJg21sin，sin2mgJmrJfrcosmgN 代入上式得代入上式得因因221mrJ rgsin32，sin31mgfr，sin32gaxC刚体的平面平行刚体的平面平行(pngxng)运动运动第11页/共19页第十二页，共19页。 如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下一段距离如果这圆柱体从静止开始沿斜面滚下

9、一段距离x x，与之，与之相应相应(xingyng)(xingyng)，下降的竖直距离是，下降的竖直距离是h=xsinh=xsin，这时质心，这时质心的速度由的速度由ghgxxavxC34sin3422求求得得ghv34 如果如果(rgu)(rgu)斜面是光滑的，对圆柱体没有摩斜面是光滑的，对圆柱体没有摩擦力，即擦力，即fr=0fr=0，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是，则圆柱体沿斜面滑下的加速度是singaxC刚体的平面刚体的平面(pngmin)平行运动平行运动第12页/共19页第十三页，共19页。而圆柱体对质心而圆柱体对质心(zh xn)的角加速度与角速的角加速度与角速度为度为，0 0 如果圆

10、柱体从静止沿斜面下滑的距离也是如果圆柱体从静止沿斜面下滑的距离也是x x，则质心，则质心(zh xn)(zh xn)所获得的速度由所获得的速度由ghgxxavxC2sin222求得求得ghv2 在上述纯粹在上述纯粹(chncu)(chncu)滚动与纯粹滚动与纯粹(chncu)(chncu)滑动两种情况中，滑动两种情况中，我们看到，两者加速度之比是我们看到，两者加速度之比是2/32/3，两者速度，两者速度之比是之比是32刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第13页/共19页第十四页，共19页。 本题也可用机械能守恒本题也可用机械能守恒(shu hn)(shu hn)定律讨论。圆柱定律讨论。圆柱体

11、在斜面上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和体在斜面上作纯粹滚动下落时，所受到的斜面的摩擦力和正压力都不作功，满足机械能守恒正压力都不作功，满足机械能守恒(shu hn)(shu hn)的条件。的条件。圆柱体从静止滚下，它没有初动能，只有重力势能圆柱体从静止滚下，它没有初动能，只有重力势能mghmgh，当它滚动下降这段高度时，全部动能是当它滚动下降这段高度时，全部动能是222121CkJmvEC 对纯粹滚动对纯粹滚动(gndng)(gndng)而言，而言，vc=rvc=r，以，以此代入得此代入得22121CvmrJmECk 由机械能守恒定律得由机械能守恒定律得刚体的平面刚体的平面(pngm

12、in)平行运动平行运动第14页/共19页第十五页，共19页。22121CvmrJmmghC求得求得212mrJghvCC代入上式得代入上式得因因221mrJ ghv34和以前和以前(yqin)的结果完全一的结果完全一致。致。刚体刚体(gngt)的平面平行运动的平面平行运动第15页/共19页第十六页，共19页。例例4-10 4-10 一质量一质量(zhling)(zhling)为为m m、半径为、半径为R R 的均质圆柱，在的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为与圆柱中心轴线的垂直距离为l

13、l，如图所示。求质心的加速，如图所示。求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。度和圆柱所受的静摩擦力。解：设静摩擦力解：设静摩擦力f f的方向的方向(fngxing)(fngxing)如图所示，如图所示，则由质心运动方程：则由质心运动方程：CmafF圆柱圆柱(yunzh)对质心的转对质心的转动定律动定律CJRflF纯滚动条件为纯滚动条件为RaC圆柱对质心的转动惯量为圆柱对质心的转动惯量为 FaC221mRJC联立以上四式，解得联立以上四式，解得刚体的平面平行运动刚体的平面平行运动第16页/共19页第十七页，共19页。mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可见由此可见l0, 静摩擦力静摩擦力(jn m c l)向后向后 lr/2, f0, 静摩擦力静摩擦力(jn m c l)向前向前l=r/2, f=0刚体的平面刚体的平面(pngmin)平行运动平行运动第17页/共19页第十八页，共19页。mRlRFaC3)(2FRlRf32由此可见由此可见l0, 静摩擦力静摩擦力(jn m c l)向后向后 lr/2, f0, 静摩擦力静摩擦力(jn m c l)向前向前l=r/2, f=0刚体的平面平行刚体的平面平行(pngxng)运动运动第18页/共19页第十九页，共19页。