格林公式及其应用课件课件学习教案.pptx

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1、会计学1格林公式格林公式(gngsh)及其应用及其应用PPT课件课件PPT课件课件第一页，共41页。定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段是由分段(fn dun)光滑正向曲线光滑正向曲线 L 围成围成,则有, ),(yxP),(yxQ)3 . 8(.)(ddDLdxdyyPxQyQxP( 格林公式(gngsh) )函数(hnsh)在 D 上具有连续一阶偏导数,1. 格林公式.D的正向边界为区域其中L证证 先证)4 . 8(.dDLdxdyyPxP根据区域D 的不同，我们分三种情况进行证明：第1页/共41页第二页，共41页。bxaxyyxyyxD),()(),(21（1）ABBAOxy)(1x

2、yy )(2xyy ab根据曲线积分(jfn)的性质及计算法，有LxPdBAPdxBBPdxBAPdxAAPdxbadxxyxP)(,(10abdxxyxP)(,(20badxxyxPxyxP.)(,()(,(12另一方面，根据(gnj)二重积分的计算法，有dxdyyPD baxyxydxdyyyxP)()(21),(dxxyxPxyxPba)(,()(,(12比较(bjio)上面两式，即得所要的公式（8.4）第2页/共41页第三页，共41页。yxoL(2) 若D是单连通(lintng)区域,但D的边界线L与平行于y轴的直线之交点多于两个.则可通过(tnggu)加辅助线将其分割1DnD2Dnk

3、DyxyPk1ddyxyPDddnkDkxP1d.dLxP为有限个上述形式(xngsh)的区域 , 如图)(的正向边界表示kkDD证毕第3页/共41页第四页，共41页。(3) D 是多连通(lintng)区域这时仍然可以通过作辅助线的方法将D 分作若干小区域.如图所示.对于每个小区域使用上述公式(8.4),然后相加，即得出对于整个区域D 上公式 (8.4) 成立.1D2D3D4Dxyo第4页/共41页第五页，共41页。),()(),( 21dycyxyyxD设类似(li s)地可证 .dxdy DxQQdyL将前面已证明的关于 及 的公式相加，即得到格林公式.LQdyLPdy第5页/共41页第

4、六页，共41页。LxdyydxI,2例例1 求求其中L为正方形ABCD 的边界，A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1).A(1,0 )B(0,1 )D(-1,0 )C(0,-1 )xyo解解 利用利用(lyng)格林格林公式，公式，dxdyyPxQID)(Ddxdy) 12(. 2)2(2时，看出，当从例11yPxQ.DL的面积所围成区域曲线LQdyPdx.21DLydxxdy的面积第6页/共41页第七页，共41页。12222byax例例2 求椭圆求椭圆 的面积的面积D.解解 椭圆椭圆(tuyun)的边界方程为的边界方程为.20,sin,costtbytaxD 的面积Lyd

5、xxdy2120)sin(sincoscos21dttatbtbta.2120ababdt 第7页/共41页第八页，共41页。.L,)()(22为光滑的闭曲线其中Lyxdyyxdxyx例例3 求曲线求曲线(qxin)积积分分解解,)(),(P22yxyxyx这里,),(Q22yxyxyx),(Pyx在原点处无定义，),(Qyx为利用(lyng)格林公式，故需分两种情况(qngkung)讨论.(1) 当L所围成的区域D内不包含原点时,P(x,y),Q(x,y)在D 内有连续的一阶偏导数，这时可用格林公式.易算出,)(2Q22222yxxxyyyPx于是也即. 0QyPx第8页/共41页第九页，共

6、41页。. 00)()(22DLdxdyyxdyyxdxyx (2) 当L所围的区域(qy)D 包含原点作为其内点时，由于P(x,y) ,Q(x,y) 在D内一点（即原点）处无定义，也就不满足 格林公式成立的条件，故不能在区域(qy)D 上用格林公式.为了能用格林公式，需要把原点“挖掉”.为此以原点为圆心，充分小的 r(0)为半径作一小圆C，使C整个包含在D 内.在挖掉小圆域C 之后的多连通区域 上，可利用格林公式.设C的边界曲线为 ，则有1D. 00)()(1)(22DLdxdyyxdyyxdxyx第9页/共41页第十页，共41页。按这时的正向边界曲线表示多连通区域这里L.D)(1L因而按顺

7、时针方向逆时针方向，而.)(22)()(LyxdyyxdxyxLyxdyyxdxyx22)()(,)()(22yxdyyxdxyxLyxdyyxdxyx22)()(.)()(22yxdyyxdxyx此式说明，沿任意一条将原点包围在其内部的光滑正向闭曲线L 的积分，都等于沿以原点为圆心的正向圆周 的积分.第10页/共41页第十一页，共41页。有令,20 ,sin,costtrytrxLyxdyyxdxyx22)()(dttttrtttrr)(cossin(cos)sin)(sin(cos122022dt201.2 例例 4 设函数设函数u(x,y)在有界闭区域在有界闭区域D上有连续的二阶上有连续

8、的二阶偏导数，偏导数，L 为为D 的边界且逐段光滑的边界且逐段光滑.证明：证明：.LDuddsnu其中其中 表示函数表示函数u(x,y)沿沿L的外法线方向的方向导数，的外法线方向的方向导数，u.2222yuxunu第11页/共41页第十二页，共41页。及000 tn应满足(mnz)0coscos0bakji,)coscos(kba 证证 设 为 的单位切向量，其方向余弦为0tLcos,cos .而 为L 的外法线方向的单位向量.设 与0n),(0ban 0t0n,00ktn其中 为z轴正方向的单位向量.由于k00tn00tn故条件即表为及ktn00, 1coscos, 0coscosbaba第

9、12页/共41页第十三页，共41页。即由此解出,cos,cosba).cos,(cos0n 说明 的方向余弦为 .于是由方向导数的定义 ，有 0ncos,cosLdsnuLdsyuxu)coscos(LdxyudyxuDdxdyyuyxux)()(.Dudxdy第13页/共41页第十四页，共41页。 例例 5 设区域设区域D的边界为闭曲线的边界为闭曲线L. 某稳定某稳定(wndng)流体流体(即流体的流速与时间无关，只与点的位置有关即流体的流速与时间无关，只与点的位置有关)在在 上每一点上每一点(x,y)处的速度为处的速度为LDD),(),(),(yxQyxPyxv其中其中P(x,y),Q(x

10、,y) 在在 上有一阶连续偏导数上有一阶连续偏导数.该流体通过闭曲该流体通过闭曲线线(qxin)L的流量的流量 定义为定义为D,Ldsnv其中其中(qzhng) 为为L的外法线方向的单位向量的外法线方向的单位向量.试证明试证明n.)(dyQxPdsnvDL第14页/共41页第十五页，共41页。 证证 设 的切向量的方向余弦为 由例4知 L.cos,cos).cos,(cosnLdsnvLdsQP)coscos(LQdxPdy=由格林公式.)(dxQyPD（格林公式的另一种(y zhn)形式）称函数称函数(hnsh) 为平面向量场为平面向量场 ),(),(yxQyxPv 的散度散度.物理意义：稳

11、定流体(lit)通过某一闭曲线的流量，等于其散度在该于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值闭曲线所的区域上的二重积分之值.第15页/共41页第十六页，共41页。提示(tsh) 格林公式(gngsh): 设区域D的边界(binji)曲线为L 则在格林公式中在格林公式中 令令Py Q x 则有则有 或LDydxxdydxdyA21 用格林公式计算区域的面积.LDQPPdxQdydxdyxyO第16页/共41页第十七页，共41页。 设设G是一个是一个(y )开区域开区域 P(x y)、Q(x y)在区域在区域G内具有一阶内具有一阶连续偏导数连续偏导数 21LLQdyPdxQdyPdx与路径无关与

12、路径无关 否则说否则说与路径有关与路径有关 如果对于如果对于G内任意指定的两个点内任意指定的两个点A、B以及以及G内从点内从点A到点到点B的任意两条曲线的任意两条曲线L1、L2 等式等式恒成立 就说曲线积分LQdyPdx在 G 内 第17页/共41页第十八页，共41页。 这是因为 设L1和L2是D内任意两条从点A到点B的曲线(qxin) 则L1(L2-)是D内一条任意的闭曲线(qxin) 而且有在D意一条简单逐段光滑意一条简单逐段光滑闭曲线闭曲线的曲线积分的曲线积分曲线积分曲线积分内与路径无关内与路径无关 沿沿 D内任内任ABPdxQdyQdyPdx=0=0C第18页/共41页第十九页，共41

13、页。 定理2 (曲线(qxin)积分与路径无关的判断方法) )(闭曲线的曲线积分为零闭曲线的曲线积分为零则曲线积分则曲线积分LQdyPdx在D内与路径无关内与路径无关 或沿或沿 D 内任意内任意( )数数设设函数函数P x y 及Q(x y)在在单连通域单连通域D内具有一阶连续偏导内具有一阶连续偏导在在D内处处成立内处处成立PQyx证证充分性已知上述等式在D内处处(chch)成立.在D内任CQdyPdx.)(1dxdyyPxQD. 001dxdyD取一简单闭曲线C，记C所围之区域为 .由于D是单连通区域，因而 被包含在D内，于是在区域 上用格林公式得1D1D1D，DC1D积分与路径无关第19页

14、/共41页第二十页，共41页。 必要性 我们假定上述积分与路径无关，要证明(zhngmng)等式 在D内处处成立.xQyP用反证法.设在D内一点 处0M上述(shngsh)等式不成立，不妨设. 0| )(0ayPxQM由假设可知函数 在D内连续.因而在D内存在以 为圆心以充分小的正数r为半径的小圆域 ，使在整 上，有 设 的边界线为 ，在 上用格林公式，有yPxQ0D0M0D.2ayPxQ0D0C0D0CQdyPdxdxdyyPxQD)(0. 022ra第20页/共41页第二十一页，共41页。 但 是D 内的简单闭曲线，由证明假设及前面命题，应 有 于是发生矛盾.证毕, . 0C. 00CQd

15、yPdx第21页/共41页第二十二页，共41页。应用定理2应注意(zh y)的问题 (1)区域区域D是单连通区域是单连通区域 (2)函数函数P(x y)及及Q(x y)在在D内具有一阶连续内具有一阶连续(linx)偏导数偏导数 如果这两个条件之一不能满足如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立那么定理的结论不能保证成立讨论(toln) 设设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线线 L的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向 问问 是否一定成立？是否一定成立？ 022Lyxydxxdy提示在例在例4中已看到中已看到,当当L所围成的区

16、域含有原点时所围成的区域含有原点时,上面的闭路积分不等于上面的闭路积分不等于0,其原因在于区域内含有破坏函数其原因在于区域内含有破坏函数P,Q,及及,QPxy连续性条件的点连续性条件的点O.第22页/共41页第二十三页，共41页。 例 6 求曲线(qxin)积分AOdyyyxdxyx,)sin()(322.),20( )2(AO沿逆时针方向是上半圆周其中xxxy解解.sin),(,),(322yyxyxQyxyxP这里,1xQyP因为(yn wi)又它们在全平面上连续，所以(suy)积分与路径无关.取下列直线段 为积分路径：AO. 0),20(, 0:dyxyAOAOdyyyxdxyx,)si

17、n()(322AOdyyyxdxyx)sin()(322.38022dxxoxyA第23页/共41页第二十四页，共41页。ABdyyyxdxyx)sin()(322 当曲线积分 与路径无关时，它只是起点A 与点的函数，可记作BAQdxPdx. 下面我们给出第二型曲线积分(jfn)与路径无关的另一个充分条件.定理定理(dngl)3 设函数设函数P(x y)及及Q(x y)在单连通域在单连通域D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数(do sh) 则等式则等式xQyP在在D内恒成立内恒成立的充分必要条件是的充分必要条件是 恰恰是某个函数是某个函数u(x,y)的的全微分全微分，即有，即有P(x y

18、)dx Q(x y)dydu(x,y)=P(x y)dx Q(x y)dy第24页/共41页第二十五页，共41页。证证 充分性 已知存在(cnzi)函数u(x,y), 使 du=PdxQdy.于是,Pxu.Qyu由此可得,2yxuyP.2xyuxQ.P,uQ22xQyxyuyxxyP得个混合偏导数相等，即的连续性，从而这两的连续性意味着，由于必要性 已知等式 在D内处处成立，由定理xQyP2，曲线(qxin)积分ABQdyPdx与路径(ljng)无关.第25页/共41页第二十六页，共41页。 现在我们固定起点 而 点B(x,y)可在D 移动，则上述曲线积分就是 点(x,y)的函数，用u(x,y

19、)表示这个函数，即令,),(00DyxA),(),(00,),(yxyxQdyPdxyxu 现在(xinzi)，我们来证明有上式所确定的函数u(x,y)满足关系 式：),(yxPxu).,(yxQyu 在D内任意取定点B(x,y),再任取 且使 也在D内.由于积分与路径无关，因此,),(DyxxBBB BABBABox),(00yxA),(yxB),(yxxBy第26页/共41页第二十七页，共41页。),(),(yxuyxxuBAQdyPdxABQdyPdxBBQdyPdx),(),(yxxyxBBQdyPdxQdyPdx),( , 0 xxxy:BB xxxdxyxP),(,),(xyP=积

20、分中理值定理积分中理值定理 其中 介于 x与 之间.xxxyxuyxxux),(),(lim0),(lim0yPx), 0(xx当).,(yxP),(yxPxu即).,(yxQyu同理 另一方面，P(x,y),Q(x,y) 的连续性意味着 的连续性，从而推出函数u(x,y)在D 可微且yuxu,第27页/共41页第二十八页，共41页。dyyudxxudu.),(),(dyyxQdxyxP 推论推论 设函数设函数P(x y)及及Q(x y)在单连通域在单连通域D内具有一阶内具有一阶连续偏导数连续偏导数 对任意两点对任意两点 曲线积分曲线积分与与路径无关的充要条件是：路径无关的充要条件是：P(x

21、y)dxQ(x y)dy恰是某一恰是某一函数函数u(x y)的全微分，此外，当的全微分，此外，当PdxQdy是是u(x y)的全的全微分时，有微分时，有,A BDABPdxQdy .BABAPdxQdyduu Bu A(8.7) 其中u(A) 表示函数u(x,y)在A点处的函数值，u(B) 的含意(hn y) 类似.证证 现证公式现证公式(gngsh)(8.7). 过A，B两点在D 内任意作一曲线(qxin) ,设 的参数方程为ABAB第28页/共41页第二十九页，共41页。,),(),(ttytx这时我们有点点及分别对应于，其中.BABAdyyxQdxyxP),(),(dttttQtttP)

22、()(),()()(),(dtdtdyyudtdxxudtdtttdu)(),(|)(),(ttu)(),()(),(uu).()(AuBu第29页/共41页第三十页，共41页。 如果函数如果函数u(x y)满足满足(mnz)du(x y)=P(x y)dxQ(x y)dy 则函数则函数u(x y)称为称为P(x y)dxQ(x y)dy的原函数的原函数. 例例7 求曲线求曲线(qxin)积分积分ABxxdyydx,2A(2,1)B(1,2)xyo解解,12yPxxQ又P(x,y),Q(x,y) 在任一包含(bohn)点A，B且不与y轴相交的单连通区域D内有连续的一阶偏导数，所以曲线积分在D内

23、与路径无关.),(2xydxxdyydx是即)(xy的一个原函数，2xxdyydx于是第30页/共41页第三十一页，共41页。ABxxdyydx2)2, 1()1 , 2()(xyd)1 , 2()2, 1(| )(| )(xyxy.23求求 的原函的原函PdxQdy求原函数的方法求原函数的方法,P x yQ x yD,QPxy若若在单连通域在单连通域中有连续的偏导数中有连续的偏导数,且满足且满足原函数的方法如下原函数的方法如下:第31页/共41页第三十二页，共41页。ABC方法(fngf)一;,:00 xxyyAB终点起点横标，.,:0yyxBC终点常数，起点纵标),(),(00yxyx_A

24、B_BCdxyxPxx0),(0dyyxQyy0),(ABC;,:00yyxxAB终点起点纵标，.,:0 xxyBC终点常数，起点横标第32页/共41页第三十三页，共41页。 方法方法(fngf)二二(1) 先固定先固定 , 将将 看作是看作是 的函数的函数y,P x yx为了求为了求 的原函数的原函数 ,P x y dxQ x y dy,u x y显然显然(xinrn)1,uP x yxuPx10,uux令令 1,u x yux yy,uQy 1,uyQ x yy对对 积分可求出积分可求出y .y1,u x y对对 积分积分x,P x y 1,uyQ x yy 方法方法(fngf)三三:凑全

25、微分法凑全微分法第33页/共41页第三十四页，共41页。 分无关(wgun)；)0, 3()1, 2(.QdyPdx(1) 对平面上任意(rny)两点A，B，证明 与积 例 8.56),(,4),(42234yyxyxQxyxyxP设_ABQdyPdx (2) 求 的原函数u(x,y);QdyPdx(3) 求曲线(qxin)积分解解(1) 由于P(x,y),Q(x,y)在全平面上有一阶连续偏导数,且 所以曲线积分与路径无关.,122yPxyxQ第34页/共41页第三十五页，共41页。 (2) 方法一 用曲线积分(jfn)法.选坐标原点为曲线积分(jfn)的起 点，对平面上任意一点B(x,y),

26、取积分(jfn)路径为折线OCB，其 中C(x,0).oC(x,0)B(x,y)xyQdydxPyxuBo),(_OCQdyPdx_CBQdyPdxdxxx04dyyyxy0422)56(.2515325yyxx 方法二方法二 固定y,关于 对x求不定积分，得其一原函数344yxx .251),(3251yxxyxu第35页/共41页第三十六页，共41页。这样， 的原函数 u(x,y) 可表成QdyPdx),(251),(325yyxxyxu)(y其中 是一待定函数.再由,56),()(642222yyxyxQyyxyu得 求原函数得 其中C为任意常数.代入上述u的表示式得 ,5)(4yy ,

27、)(5Cyy.251),(5325Cyyxxyxu方法方法(fngf)三三dyyyxdxxyx)56()4(42234dyydyyxdxxydxx422345)64(第36页/共41页第三十七页，共41页。使用时，直接使用时，直接(zhji)删除删除本页！本页！精品精品(jn pn)课件，你值得课件，你值得拥有！拥有！精品课件，你值得精品课件，你值得(zh d)拥有！拥有！第37页/共41页第三十八页，共41页。使用使用(shyng)时，直接删时，直接删除本页！除本页！精品课件，你值得精品课件，你值得(zh d)拥有！拥有！精品课件，你值得精品课件，你值得(zh d)拥有！拥有！第38页/共41页第三十九页，共41页。使用使用(shyng)时，直接删时，直接删除本页！除本页！精品课件，你值得精品课件，你值得(zh d)拥有！拥有！精品精品(jn pn)课件，你值得课件，你值得拥有！拥有！第39页/共41页第四十页，共41页。)()2()51(5325ydyxdxd),251(5325yyxxd所以(suy).251),(5325yyxxyxu)0, 3()1, 2()3(QdyPdx)0, 3()1, 2(| ),(yxu.64| )251()0, 3()1, 2(5325yyxx第40页/共41页第四十一页，共41页。