高三职高数学复习资料.pdf

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1、第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N表示自然数集，N或N表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a与集合M的关系是aM，或者aM，两者必居其一.（4）集合的表示法自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法：x|x具有的性质，其中x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做有限集.含有无限个元素的集合叫做无限集.不含有任何元素的集合叫做空集().（6）子集、

2、真子集、集合相等名称记号意义(1)AAA 中的任一元素都属于 B(2) 性质示意图A B子集（或B A)ABA(3)若A B且B C，则A C(4)若A B且B A，则A B（1） A（A 为非空子集）A(B)A(B)B BA A或真子集（或 BA）A B，且 B 中至少有一元素不属于 AB BA A(2)若AB且BC，则AC集合相等A 中的任一元素都属A B于 B， B 中的任一元素都属于 A(1)AB(2)BAA(B)A(B)（7）已知集合（8）它有2名称记号nA有n(n 1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集2非空真子集.性质且示意图意义交集ABx| x

3、A,xBAA A（2）A （3）AB A AB B（1）A AB B并集ABx| x A,或xBAA A（2）A A（3）AB AAB B（1）A AB B1A(2A(UA) UUA) 补集UAx| xU,且x A痧B) (UA)(?U(AUB)痧B) (UA)(?U(AUB)第二章第二章不等式不等式（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集| x| a(a 0)| x| a(a 0)把x| a x ax| x a或x aaxb看 成 一 个 整 体 ， 化 成| x| a，|ax b| c,| ax b| c(c 0)| x| a(a 0)型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式 b24a

4、c二次函数 0 0 0y ax2bxc(a 0)的图象O O一元二次方程ax2bxc 0(a 0)的根bb24acx1,22a（其中x1x1 x2 b2a无实根 x2)x|x ax2bxc 0(a 0)的解集x| x x1或x x2b2aRax2bxc 0(a 0)的解集x| x1 x x23.3.常用的基本不等式第三章第三章函数函数（1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质定义如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2,当 x x x x 时，都1 12 2 有 f(xf(x )f(x)f(x ) )，那么就说1 12 2 f(x)在这个区间上是增函数增函数图象判

5、定方法（1）利用定义y yy=f(X)y=f(X)f(x )f(x )1（2）利用已知函数的f(x )f(x )2单调性（3） 利用函数图象 （在某个区间图o o函数的单调性如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、x2，当 x x xf(x)f(x ) )，那么就说1 12 2 f(x)在这个区间上是减函数减函数x x1x x2x x象上升为增）（4）利用复合函数（1）利用定义y yf(x )f(x )1y=f(X)y=f(X)f(x )f(x )2（2）利用已知函数的单调性（3） 利用函数图象 （在某个区间图x x2o ox x1x x象下降为减）（4）利用复合函数在

6、公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数增函数，减函数减去一个增函数为减函数（2）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质定义如果对于函数 f(x)定义域内任意一个 x，都有f( f(x)=x)= f(x)f(x),那么函数 f(x)叫做奇函奇函 数数函数的奇偶性如果对于函数 f(x)定义域内任意一个x， 都有f( f(x)=x)=f(x)f(x), 那么函数 f(x)叫做偶函数偶函数（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）

7、（2）利用图象（图象关于 y 轴对称）图象判定方法（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）指数与对数运算一分数指数幂与根式：如果x a，则称x是a的n次方根，0的n次方根为 0，若a 0，则当n为奇数时，a的nn次方根有 1 个，记做na；当n为偶数时，负数没有n次方根，正数a的n次方根有 2 个，nn其中正的n次方根记做a负的n次方根记做 a1负数没有偶次方根； an为奇数na nn( a) a|a| n为偶数2两个关系式：；n3、正数的正分数指数幂的意义：amnnam；a正数的负分数指数幂的意义：4、分数指数幂的运算性质：mn1nammnmnmnm

8、na a aa a a；mnmnmmm(a ) a(ab) a b；a 1，其中m、n均为有理数，a，b均为正整数二对数及其运算bb logaN1定义：若a N(a 0，且a 1，N 0)，则02两个对数： 常用对数：a 10，b log10N lg N； 自然对数：a e 2.71828，3三条性质： 1 的对数是 0，即b logeN ln Nloga1 0； 底数的对数是 1，即logaa 1 负数和零没有对数4四条运算法则：loga(MN) logaM logaN；logaM logaM logaNN；1nlogM logaMalogaM nlogaMn；n5其他运算性质： 对数恒等式

9、：alogab b；logab 换底公式：logcalogcb；logablogbc logaclogablogba 1；logambnnlogabm函数名称定义函数对数函数y logax(a 0且a 1)叫做对数函数a 10 a 1y y logloga ax xy yx x 1 1y yx x 1 1y y logloga ax x图象(1,0)(1,0)O O(1,0)(1,0)x x(0,)O Ox x定义域值域过定点奇偶性单调性在(0,)上是增函数R图象过定点(1,0)，即当x 1时，非奇非偶在(0,)上是减函数y 0logax 0 (x 1)函数值的变化情况logax 0 (x 1

10、)logax 0 (x 1)logax 0 (0 x 1)logax 0 (x 1)logax 0 (0 x 1)a变化对 图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高函数名称定义图象指数函数函数y ax(a 0且a 1)叫做指数函数a 10 a 1y yy y a ax x(0,1)(0,1)y y a ax xy yy y 1 1y y 1 1(0,1)(0,1)定义域值域O Ox xR(0,)O Ox x过定点奇偶性单调性图象过定点(0,1)，即当x 0时，y 1在R上是减函数非奇非偶在R上是增函数ax1 (x 0)函数值的变化情况ax1 (x 0)ax1 (

11、x 0)ax1 (x 0)ax1 (x 0)ax1 (x 0)a变化对 图象的影响在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低（3）二次函数解析式的三种形式一般式：f (x) ax2bxc(a 0)顶点式：f (x) a(xh)2k(a 0)两根式：f (x) a(x x1)(x x2)(a 0)（2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求（4）二次函数图象的性质二次函数f (x)更方便f (x) ax2bxc(a 0)的图象是一条抛物线，

12、 对称轴方程为x b,顶点坐标2ab4acb2,)是(2a4a当a 0时， 抛物线开口向上， 函数在(,bbb上递减， 在,)上递增， 当x 2a2a2a4acb2时，fmin(x) 4a； 当a 0时，抛物线开口向下， 函数在(,bb上递增， 在,)2a2a4acb2b上递减，当x 时，fmax(x) 4a2a二次函数f (x) ax2bxc(a 0)当 b24ac 0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2|x1x2|a|第四章第四章平面向量平面向量1.向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度零向量：长度为0的

13、向量单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量2.向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相连平行四边形法则的特点：共起点三角形不等式：a b a b a b运算性质：交换律：a b结合律： b a；a bc a b c；a 0 0a ax1, y1，b x2, y2，则a b x1 x2, y1 y2Cab坐标运算：设a18、向量减法运算：三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量坐标运算：设ax1, y1，b x2, y2，则a b x1 x2, y1 y2a b C C设、两点的坐标分别为3.向

14、量数乘运算：x1, y1，x2, y2，则x1 x2, y1 y2实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作aa a；当 0时，a的方向与a的方向相同；当 0时，a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0运算律：aa；a aa；a ba bx, y，则a x, yx,y坐标运算：设a第五章第五章数列数列一、等差数列的性质：一、等差数列的性质：1.1.定义式定义式: :a2 a1 a3 a2 an an1 d( (常数常数) )。2.2.通项公式：通项公式：an a1 (n 1)d，推广型通项公式：，推广型通项公式：an am (n m)d， 变形：d an a1an am。n 1n m

15、3.若 a,A,b 成等差数列，则称 A 为 a，b 的等差中项，且 A=a b。2*4.等差数列中，已知 p,q,m,nN ,若 p+q=m+n，则ap aq an am，若2m=p+q，5. 若an，bn均 为 等 差 数 列 ， 且 公 差 分 别 为d1,d2， 则 数 列则2am ap aq。pan,an q,an kbn6. 在等差数列an中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即an,anm,an2m,an3m，,为等差数列，公差为 md。7. 等差数列an前 n 项和为Sn，则Sn,S2n Sn,S3n S2n,为等差数列，公差为n d。8.若等差数列的项数为 2n，则有S偶

16、S奇 nd,2也为等差数列，且公差分别为pd1,d1,d1 kd2。S奇S偶an。an1S奇S偶n1。n1等差数列的项数为奇数 n，则Sn S奇 S偶且a中间项 S奇 S偶，9. an为等差数列中，S2n1 (2n 1)an。若an，bn均为等差数列,前 n 项和分别为An,Bn，则10. 等差数列an通项公式是：an An B(A0)是一次函数的形式；2前 n 项和公式Sn An Bn (A0) 是不含常数项的二次函数的形式。A2n1an。B2n1bn（注当 d=0 时，Sn na1, an a1）11. 若 a10，d0，Sn有最大值，可由不等式组若 a10，Sn有最小值，可由不等式组二、

17、1.1.定义式定义式: :等比数列的性质：等比数列的性质： an 0来确定 n。a 0n1 an 0来确定 n。an1 0a2a3a4an q，（，（n 2）。）。a1a2a3an1n1nm2.2.通项公式：通项公式：an a1q，推广型通项公式：，推广型通项公式：an amq。3.3.若若a,G,b为等比数列，则称为等比数列，则称 G G 为为a,b的等比中项，其中的等比中项，其中ab0 0，G ab。*4.等比数列an中，已知 p,q,m,nN ,若 p+q=m+n，则apaq anam，若 2m=p+q，则an aqap。25.若 an,bn 均 为 等 比 数 列 ， 且 公 比 分

18、别 为pan,q1,q2， 则 数 列a1,an bn,n,|an| 也 为 等 比 数 列 ， 且 公 比 分 别 为anbnq1pq1,q1q2,1,|q1|。q1q26.在等比数列an中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an,anm,an2m,an3m，,为等比数列，公比为q。7. 等比数列an前 n 项和为Sn，则Sn,S2n Sn,S3n S2n,为等比数列，公比为mqn。( (注意：当注意：当q 1,n 2k(kk(kN N ) )时，此性质不成立时，此性质不成立) )* *8.等比数列an前 n 项积为n，则k,22k3k,，为等比数列，公比为qk。k2k9.等比数列an中

19、，若a10，则 q1 时，数列递增;0q1 时，数列递减。若a11 时，数列递减;0q LAB公理 1 作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面 ，使 A 、B 、C 。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为：P = =L，且 PL0AL CABLP公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面

20、内，有且只有一个公共点；共面直线平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设 a、b、c 是三条直线abcb强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角=ac 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异

21、面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。(0， )；2空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 有无数个公共点（2）直线与平面相交 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示a a =A a直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线

22、与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：ab = aab平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：abab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。符号表示：aa ab = b作用：利用该定理可解决直线间的平行

23、问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示： = a ab = b作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面 互相垂直，记作 L ，直线 L 叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线 L 的垂面。 如图， 直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 L p2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点：

24、a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 lB2、二面角的记法：二面角 -l- 或 -AB-3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。（一 ）空间几何体

25、的表面积1 棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和2 圆柱的表面积S rl 2r23 圆锥的表面积S24 圆台的表面积Srl r2rl r2Rl R25 球的表面积S 4R2（二）空间几何体的体积1 柱体的体积3 台体的体积V S底h2 锥体的体积V 1V （S上S上S下31S底h34 S下)h4 球体的体积V R33第十章第十章解析几何解析几何倾斜角和斜率倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时, 规定 = 0.2、 倾斜角 的取值范围：

26、 0 180. 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角 ( 90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k= tan当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0;当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在.由此可知, 一条直线 l 的倾斜角 一定存在,但是斜率 k 不一定存在.4、 直线的斜率公式:给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率：斜率公式斜率公式: k=y2-y1/x2-x1: k=y2-y1/x2-x1两条直线的平行与垂直两条直

27、线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立即如果 k1=k2, 那么一定有 L1L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程直线的点斜式方程(x0, y0)，且斜率为k1、直线的点斜式点斜式方程：直线l经过点P02、直线的交点为y y0 k(x x0)斜截式斜截式方程： 已知直线l的斜率为k， 且与y轴的PP12x2 x2y2 y12

28、2(0,b)y kx b(x1 x2, y1 y2)直线的两点式方程直线的两点式方程1 、 直 线 的 两 点 式 方 程 ： 已 知 两 点y-y1/y-y2=x-x1/x-x2y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线l与P1(x1,x2),P2(x2, y2)其 中x轴的交点为A(a,0)，与y轴的交点为B(0,b)，其中a 0,b 0直线的一般式方程直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于x,y的二元一次方程2、各种直线方程之间的互化。Ax By C 0（A，B 不同时为 0）直线的交点坐标与距离公式直线的交点坐标与距离公式两直线的交点坐标两直线的交点坐标1

29、、给出例题：两直线交点坐标L1 ：3x+4y-2=0L1：2x+y +2=0解：解方程组3x 4y 2 0得 x=-2，y=22x 2y 2 0所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M（-2，2）两点间距离两点间距离两点间的距离公式点到直线的距离公式点到直线的距离公式1点到直线距离公式：点P(x0, y0)到直线l : Ax By C 0的 距 离 为 ：d 2 2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：Ax0 By0CA B22Ax By C1 0，l2：Ax By C20，则l1与l2的距离为d 圆圆C1C2A B221、平面内与两个定点F1，F2的距离之和等

30、于常数（大于F）的点的轨迹称为椭圆椭圆1F2即：| MF1| | MF2| 2a,(2a | F1F2|)。这两个定点称为椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y221a b 02aby2x221a b 02ab范围a x a且b y bb x b且a y a1a,0、2a,0顶点10,a、20,a1b,0、2b,0F10,c、F20,c10,b、20,b轴长焦点焦距对称性离心率短轴的长 2b长轴的长 2aF1c,0、F2c,0F1F2 2cc2 a2b2关于x轴、y轴、原点

31、对称cb2e 120 e1aa3、平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数（小于F1F2）的点的轨迹称为双曲线双曲线即：| MF1| | MF2| 2a,(2a | F1F2|)。这两个定点称为双曲线的焦点双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距两焦点的距离称为双曲线的焦距4、双曲线的几何性质双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2y221a 0,b 02aby2x221a 0,b 02ab范围顶点轴长焦点焦距对称性离心率x a或x a，yRy a或y a，xR1a,0、2a,0F1c,0、F2c,010,a、20,aF10,c、F20,c虚轴的长 2

32、b实轴的长 2aF1F2 2cc2 a2b2关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称cb2e 12e 1aay bxay axb渐近线方程5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线等轴双曲线6、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线抛物线定点F称为抛物线的焦点抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线7、抛物线的几何性质：y2 2 px标准方程y2 2 pxx2 2 pyx2 2 pyp 0图形顶点p 0p 0p 00,0 x轴对称轴y轴焦点 pF, 02pF, 02p F0,2p F0, 2准线方程x p2x p2y p2y p2离心率e 1范围x 0 x 0y 0y 08、

33、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段， 称为抛物线的 “通通径”径”，即 2p9、焦半径公式焦半径公式：p；2p2若点x0, y0在抛物线x 2pyp 0上，焦点为F，则F y0；2若点x0, y0在抛物线y 2pxp 0上，焦点为F，则F x02圆的方程圆的方程（1）标准方程x ay b r，圆心222a,b，半径为 r；22（2）一般方程x y Dx Ey F 01DE ，半径为当D E 4F 0时，方程表示圆，此时圆心为r D2 E2 4F,22222当D E 4F 0时，表示一个点；当D E 4F 0时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：一般都采用待定系数法：

34、先设后求。 确定一个圆需要三个独立条件， 若利用圆的标准方程，需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线l : Ax By C 0，圆C :x a2y b2 r2，圆心Ca,b到l的距离为d Aa Bb C， 则有d r l与C相离；d r l与C相切；d r l与C相交A2 B22222（2）过圆外一点的切线： k 不存在，验证是否成立k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解 k，得到方程【一定两

35、解】222(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)+(y-b)=r，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方2程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。22设圆C1:x a12y b12 r2，C2:x a2y b2 R2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。当d Rr时两圆外离，此时有公切线四条；当d Rr时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；当R r d R r时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；当d R r时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；当d R r时，两圆内含；当d 0时，为同心圆。注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点