数学篇——数列讲解.pdf

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1、标准文档第五章第五章 数列数列学习要求：学习要求：1.1.了解数列和其通项公式、前了解数列和其通项公式、前n项和的概念项和的概念2.2.理解等差数列、等差中项的概念，会用等理解等差数列、等差中项的概念，会用等差数列的通项公式、前差数列的通项公式、前n项和公式解决有项和公式解决有关问题关问题. .3.3. 理解等比数列、等比中项的概念，会用理解等比数列、等比中项的概念，会用等比数列的通项公式、前等比数列的通项公式、前n项和公式解决有项和公式解决有关问题关问题. .一、数列的概念一、数列的概念1.1.定义定义按照一定顺序排列的一列数，按照一定顺序排列的一列数，数列里的每数列里的每一个数叫做这个数列

2、的项，一个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这各项依次叫做这个数列的第一项，第二项，个数列的第一项，第二项，第，第n项，项，第一项也叫首项第一项也叫首项. .一般地，常用一般地，常用a1，a2，a3， an来表示数列，其中来表示数列，其中an是数列的第是数列的第n项，又项，又实用文案标准文档叫做数列的通项叫做数列的通项. .数列记为数列记为an例如例如, ,数列数列1,3,5,7,2n1,第第 1 1 项是项是 1 1， 第第 2 2 项是项是 3 3， 第第 3 3 项是项是 5 5， ，第第n项是项是2n1，数列记作，数列记作2n12.2.数列的通项公式数列的通项公式数列数列an的第的第n项

3、项an与项数与项数n之间的关之间的关系，如果可以用一个公式来表示，那么这个系，如果可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式公式就叫做这个数列的通项公式. .例如，数列例如，数列1,3,5,7,2n1,通项公式是通项公式是an 2n1. .3.3.数列的前数列的前n项和项和对于数列对于数列a1,a2,a3,称称a1a2a3,anan实用文案标准文档为这个数列的前为这个数列的前n项和，记作项和，记作Sn. .即即Sn a1a2a3an4.4.数列数列an的的an与与Sn的关系的关系a1 S1,an SnSn1(n 2)例例1 1已已 知知 数数 列列2an的的 前前n项项 和和S

4、n 3n 2n，求数列，求数列an的通项公式的通项公式an解析解析: : 由由Sn 3n 2n得得2Sn1 3(n1) 2(n1) 3n 8n5所以，当所以，当n 2时时22an SnSn1 3n 2n(3n 8n5) 6n5当当n 1 ,a1 S1 31 211,满足公式满足公式an 6n5所以数列的通项公式为所以数列的通项公式为an 6n5历年试题历年试题（20142014 年试题）年试题）22.已知数列an的前n项和Sn n 2n，求（I）an的前三项；222实用文案标准文档（II）数列an的通项公式解析解析 ：（I）2a1 S11 21 1a2 S2S1 2222(1)1a3 S3S2

5、3 23(2 22) 3（II）当当n 2,22an SnSn1 n 2n(n1) 2(n1) 2n3当当n 1时时a1 1,满足满足an 2n3所以数列的通项公式为所以数列的通项公式为an 2n3（20072007 年试题）年试题）已知数列已知数列an前前 n n 项和项和Sn n(2n1)（I I）求该数列的通项公式；）求该数列的通项公式；（IIII）判断）判断 3939 是该数列的第几项是该数列的第几项. .解解: : （I I）当）当n 2,22an SnSn1 2n n2(n1) (n1) 4n1当当n 1时时a13,满足满足an 4n1所以数列的通项公式为所以数列的通项公式为an

6、4n1(II)(II) 设设3939是是 该该 数数 列列 的的 第第n项项 ， 则则39 4n1, ,n 10，即，即 3939 是该数列的第是该数列的第 1010实用文案22标准文档项项二、等差数列二、等差数列1.1. 等差数列的定义等差数列的定义如果一个数列从第二项起，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前每一项与它的前一项的差都等于一个常数，一项的差都等于一个常数，这个数列就叫等这个数列就叫等差数列，这个常数叫做公差，记为差数列，这个常数叫做公差，记为d，即，即d anan1等差数列的一般形式为等差数列的一般形式为a1,a1d,a12d,a1(n1)d,2.2.等差数列的通项公式等差数

7、列的通项公式设设an是首项为是首项为a1，公差为，公差为d的等差数列，的等差数列，则这个数列的通项公式为则这个数列的通项公式为an a1(n1)d实用文案标准文档3.3.等差数列的前等差数列的前n项和公式项和公式设设an是首项为是首项为a1， 公差为公差为d的等差数列，的等差数列，Sn为其前为其前n项和，则项和，则(a1an)Snn21或或Sn na1n(n1)d24.4.等差中项等差中项如果如果A,B,C称等差数列，称等差数列，B就称为就称为A与与C的的AC等差中项，则等差中项，则B 2注：一般证明一个数列是等差数列时，经常注：一般证明一个数列是等差数列时，经常是按它们的定义证明是按它们的定

8、义证明an1an d为常量为常量5.5. 等差数列的性质等差数列的性质实用文案标准文档（1 1）在等差数列中，间隔相同抽出的项来）在等差数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等差数按照原来的顺序组成新的数列仍是等差数列列. .对于等差数列对于等差数列a1,a2,a3,数列数列a1,a3,a5,列列a2,a4,a6,an,a2n1,a2n也是等差数列，数也是等差数列，数也是等差数列也是等差数列也是等差数列也是等差数列数列数列a1,a5,a9,a13例例2 2如如 在在 等等 差差 数数 列列an中中 ， 已已 知知a2 4,a79，求，求a12解解 析析 ：a2,a7,a12构

9、构 成成 等等 差差 数数 列列 ， 因因 为为a7a294 5，所所以以a12 a759514（2 2）对等差数列）对等差数列an，若，若m,n,s,t均为正整均为正整数，且数，且m n s t，则，则aman asat如如实用文案标准文档a1a9 a2a8 a3a7 a4a6 2a5例例 3 3 在等差数列在等差数列an中，中， 已知已知a2a810，求求a5解析：解析： 因为因为a2a8 a5a5， 即即2a5 a2a8,(a2a8)10 5所以，所以，a522例例4 4设设an为为 等等 差差 数数 列列 , , 其其 中中a59,a1539，则，则a10（A A）2424（B B）1

10、27127（C C） 30 30 （D D）3333解析解析: :解法一解法一由由 等等 差差 数数 列列an的的 通通 项项 公公 式式 a14d 9an a1(n1)d知知a114d 39a1 3得所以a10 a19d 24d 3解法二解法二所以所以a5,a10,a15也是等差数也是等差数an为等差数列，为等差数列，列，所以，列，所以，a10是是a5与与a15的等差中项，的等差中项，实用文案标准文档a5a15939a10 2422例例 5 5 在等差数列在等差数列an中，中， 如果如果a2 2,a35，则则S10_解析：解析：d a3a2 52 3， 由由a2 a1d,得得a1 a2d 2

11、3 11S1010a110(101)d2110(1)10(101)31252例例 6 6 等差数列等差数列an中，中， 若若a4a5a690则则其前其前9项的和项的和S9（）A.A.300 B. B.270 C. C.540 D. D.135解析：解析：an是等差数列，所以是等差数列，所以a4a6 2a5，由由a4a5a690得得3a590，a530实用文案标准文档(a1an)(a1a9)n得，得，S99，由由Sn22又又a1a9 2a5，所以所以(a1a9)2a5S99 9 309 27022，选，选 B B历年试题历年试题（20132013 年试题）年试题）等差数列等差数列an中，若中，若

12、a1 2,a3 6，则，则a2A. 3 B. 4 C. 8 D. 12A. 3 B. 4 C. 8 D. 12a1a326 4解析：解析：a222（20122012 年试题）年试题）已知一个等差数列的首项为已知一个等差数列的首项为1，公差为，公差为3，那，那么该数列的前么该数列的前5项和为（项和为（） A. A.35 B. B.30 C. C.20 D. D.10实用文案标准文档1解析：由解析：由Sn na1n(n1)d得得21S5 515(51)3 352选选 A A（20112011 年试题）年试题）已知等差数列已知等差数列an的首项与公差相等，的首项与公差相等，an的前的前n项的和记作项

13、的和记作Sn，且，且S20840. .（ ） 求数列求数列an的首项的首项a1及通项公式；及通项公式；解析解析: : （ ） 已知等差数列已知等差数列an的公差的公差d a1又又（ ）数列数列an的前多少项的和等于的前多少项的和等于84? ?20(201)S20 20a1d 20a1190d 210a12即即210a1840，所以，所以，a1 4又又d a1，即，即d 4，所以，所以，an a1(n1)d 4(n1)4 4n即数列即数列an的通项公式为的通项公式为an 4n实用文案标准文档（ ）设）设Sn84， 又又(a1an)(44n)2Snn n 2n 2n，222即即2n 2n 84，

14、解得解得n 6, n 7（舍去）（舍去）所以数列所以数列an的前的前6项的和等于项的和等于84. .（20092009 年试题）年试题）面积为面积为6 6的直角三角形三边的长由小到大成的直角三角形三边的长由小到大成等差数列，公差为等差数列，公差为d，求求d的值的值; ;在以最短边的长为首项，公差为在以最短边的长为首项，公差为d的等差的等差数列中，数列中，102102 为第几项？为第几项？解析解析: :（I I）由已知条件可设直角三角形的边由已知条件可设直角三角形的边长分别为长分别为ad,a,ad,其中其中a 0,d 0,222则则(ad) a (ad)，得，得a 4d三边长分别为三边长分别为3

15、d,4d,5d1S 3d 4d 6,d 12故三角形三边长分别是故三角形三边长分别是3,4,5. .公差公差d 1实用文案标准文档(II)(II)以以 3 3 为首项，为首项，1 1 为公差的等差数列通项为公差的等差数列通项公式为公式为an3(n1), 3(n1)102,n 100故第故第100项为项为102（20082008 年试题）年试题）已知等差数列已知等差数列an中中, ,a1 9, 求数列求数列an的通项公式的通项公式; ;a3a8 0. 当当n为何值时为何值时, , 数列数列an的前的前n项和项和Sn取得最大值取得最大值, , 并求该最大值并求该最大值. .解析解析: : 设等差数

16、列设等差数列an的公差为的公差为d,由已由已知知a3a8 0,得得2a19d 0.又又已已知知a19,所以所以d 2.数数列列an的的通通项项公公式式为为an 92n1,即即an112n. 解法一：数列解法一：数列an的前的前n项和项和n22Sn9112n n 10n n525.2当当n 5时，时，Sn取得最大值取得最大值25. .解解 法法 二二 ： 由由 知知an112n,令令实用文案标准文档11an112n 0 n ,所以数列前所以数列前 5 5 项项2的的和和最最大大，最最大大值值为为5454S5 5a1d 592 25.22三、等比数列三、等比数列1.1. 等比数列的定义等比数列的定

17、义如果一个数列从第二项起，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前每一项与它的前一项的比都等于一个常数，一项的比都等于一个常数，这个数列就叫等这个数列就叫等比数列，这个常数叫做公比，记为比数列，这个常数叫做公比，记为q，即，即anq an1等比数列的一般形式为等比数列的一般形式为2n1a1,a1q,a1q ,a1q,2.2.等比数列的通项公式等比数列的通项公式实用文案标准文档设设an是首项为是首项为a1，公比为，公比为q的等比数列，的等比数列，则这个数列的通项公式为则这个数列的通项公式为an a1q3.3.等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式设设an是首项为是首项为a1， 公比为公比为q的

18、等比数列，的等比数列，Sn为其前为其前n项和，则项和，则n1a1(1q )Sn(q 1)1qna1anq或或Sn(q 1)1q4.4.等比中项等比中项如果如果A,B,C称等比数列，称等比数列，B就称为就称为A与与C的的等比中项，则等比中项，则B AC或或B AC注：一般证明一个数列是等比数列时，经常注：一般证明一个数列是等比数列时，经常实用文案2标准文档an1 q为常量为常量是按它们的定义证明是按它们的定义证明an5.5. 等比数列的性质等比数列的性质（1 1）在等比数列中，间隔相同抽出的项来）在等比数列中，间隔相同抽出的项来按照原来的顺序组成新的数列仍是等比数按照原来的顺序组成新的数列仍是等

19、比数列列. .对于等比数列对于等比数列a1,a2,a3,数列数列a1,a3,a5,列列a2,a4,a6,an,a2n1,a2n也是等比数列，数也是等比数列，数也是等比数列也是等比数列也是等比数列也是等比数列数列数列a1,a5,a9,a13例例 7 7 如在等比数列如在等比数列an中中, ,a2 6,a4 24,则则a6（） A. 8 B. 24 A. 8 B. 24 C. 96 D. 384 C. 96 D. 384解解 析析 ：a2,a4,a6是是 等等 比比 数数 列列 ， 因因 为为实用文案标准文档a6a424 4，a4a26a6 4a4 424 96，选，选 C C（2 2）对等比数列

20、）对等比数列an，若，若m,n,s,t均为正整均为正整数，且数，且mn s t，则，则aman asat如如a1a9 a2a8 a3a7 a4a6 a5例如在等比数列例如在等比数列an中，已知中，已知a1a516，求求a3解析：解析：a3 a1a516， 即即a3 16 4例例 8 8 设等比数列设等比数列an的各项都为正数，若的各项都为正数，若22a31,a59，则公比，则公比 q=q=（A A） 3 3（B B） 2 2（C C） -2 -2（D D）-3-3解解 析析 : : 由由 等等 比比 数数 列列an的的 通通 项项 公公 式式an a1q知知n1实用文案标准文档a1q 12得q

21、 9又因4a1q 9所以q 32列各 都是正的，例例 9 9 设设等等比比数数列列an的的公公比比q=2=2，且且a2a48则则a1a7（A A）8 8（B B）1616（C C） 32 32（D D）6464解解 析析 : :由由 等等 比比 数数 列列an的的 通通 项项 公公 式式an a1q知知n1126a1qa1q 8, a q 8a a1a7 a1q 322321421例例1010在在 等等 比比 数数 列列an中中 ， 若若a3 2S25,a4 2S35，则则an的的公公比比q _解析：解析：又又a4a3 2S35(2S25) 2(S3S2)，S3S2 a3，所以，所以a4a3

22、2a3，实用文案标准文档a4 3，填，填3即即a4 3a3,q a3例例1111已已 知知 等等 比比 数数 列列an中中 ，a210,a3 20， 那那 么么 它它 的的 前前5项项 和和S5_解解 析析 ： 由由a210,a3 20， 可可 求求 得得 公公 比比a320a210q 2，从而，从而a1 5a210q2a1(1q )5(12 )155，填，填所以所以S51q1255155例例 1212 已知等比数列已知等比数列an的各项都为正数，的各项都为正数，a1 2,前前 3 3 项的和为项的和为 1414（I I）求该数列的通项公式；）求该数列的通项公式；（IIII）设）设bn log

23、2an,求数列求数列bn的前的前 2020 项项的和的和解析解析: : （I I） 设等比数列设等比数列an的公比为的公比为q, ,则则实用文案标准文档22q2q 14所以q q6 0,q1 2,q2 3( (舍去舍去) )n所以数列的通项公式为所以数列的通项公式为an 2（IIII）bn log2an log22 n则则n22s20 b1b2b3123b20(120)20 20 2102例例 1313 设设an为等差数列为等差数列, ,且公差且公差d为正数为正数, ,已知已知a2a3a415,又a2,a31,a4成等比数列成等比数列求a1和d解析解析: : 由由an为等差数列知为等差数列知

24、a2a41015a2a4 2a3a3 523(51) a2a4解得a2 2 (a28舍去)由此得由此得d a3a252 3a1 a2d 23 1实用文案标准文档历年试题历年试题（20152015 年试题）年试题）若等比数列若等比数列an的公比为的公比为3, ,a49,则则a111A.A. B. B.93 C. C.3 D. D.27（20142014 年试题）年试题）1等比数列an中,若a28,公比为,则4a5_（20152015 年试题）年试题）1已知等差数列已知等差数列an的公差的公差d 0,a1，且，且2a1,a2,a5成等比数列成等比数列实用文案标准文档（I I）求数列）求数列an的通

25、项公式的通项公式（20132013 年试题）年试题）（IIII）若数列）若数列an的前项和的前项和Sn50，求，求n. .已已 知知 公公 比比 为为q的的 等等 比比 数数 列列an中中 , ,a2 4,a5 32（I I）求）求q；（IIII）求）求an的前的前6项和项和S6解解: :（I I）由已知得）由已知得a2q a5，即，即4q 32，解得解得q 21（IIII）a1 a2q 23321(2) S6 421(2)（20122012 年试题）年试题）已知等比数列已知等比数列an中中, ,a1a2a3 27（I I）求）求a2；实用文案6标准文档（ IIII ） 若若a1a2a313，

26、求，求an的前的前5项和项和解解析析: :（I I）因因为为an为为等等比比数数列列，所所以以a1a3 a2，又，又a1a2a3 27，可得，可得a2 27，所以所以a2 3（ IIII ） 由由a1a2a313，a2 3得得23an的的 公公 比比q 1,且且a1a310，由由a1a2a3 27,a23得得a1a39，a1a310解方程组解方程组，得，得a11或或a19a1a3 9a19a11由由a2 3，得，得或或1（舍去）（舍去）q 3q 31(13 )所以所以an的前的前5项和项和S512113（20102010 年试题）年试题）实用文案5标准文档1已知数列已知数列an中，中，a1 2

27、,an1an2（1 1）求数列）求数列an的通项公式的通项公式（2 2）求数列）求数列an前前 5 5 项的和项的和S5an11,所以是所以是解析：解析： （1 1）由已知得）由已知得an 0,an21以以 2 2 为首项，为首项，为公比的等比数列，所以为公比的等比数列，所以2n111an 2，即，即ann2225 121 231（2 2）S51812（20062006 年试题）年试题）1已知等比数列已知等比数列an中中, ,a316,公比q 2（I I）求该数列的通项公式；）求该数列的通项公式；（IIII）求该数列的前）求该数列的前 7 7 项的和项的和解析解析: : （I I）实用文案标准文档1a3 a1q 16 a1a1 64因此该数因此该数41n1列的通项公式为列的通项公式为an 64( )22（ IIII ） 该该 数数 列列 的的 前前7 7项项 的的 和和641(1)7s72127112实用文案