小学奥数—数论之同余问题.pdf

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1、实用文案数论数论-同余问题同余问题余数问题是我们数论知识非常重要的一大板块，许多名校小升初考试中，各大杯赛中经常会考到，所以序号本讲内容堆学生来讲是非常重要的。定理 1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被数 a 整除，那么它们的和，就不能被整数 a 整除。如：35 除以 5,7 余 0，除以 3 余 2；63 除以 3,7 余 0，除以 5 余 3；30 除以 3,5 余 0，除以 7 余 2。则 35+63+30 除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2。定理 2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数

2、） 。一、带余除法的定义及性质：一、带余除法的定义及性质：一般地，如果 a 是整数，b 是整数（b0）,若有 ab=qr，也就是 abqr,0rb；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。这里：(1)当r 0时：我们称 a 可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或完全商(2)当r 0时：我们称 a 不可以被 b 整除，q 称为 a 除以 b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有 a 本，这个 a 就可以理解为被除数，现在要求按照 b 本一捆打包，那么 b 就是除数的角色，经过打包后共打包了 c 捆，那么这个 c 就是商，最后还剩余 d 本，这个 d 就是余数

3、。这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中 4 个量的关系。并且可以看出余数一定要比除数小。二、三大余数定理：二、三大余数定理：1.1.余数的加法定理余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。文案大全实用文案例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16=39 除以 5 的余数等于 4，即两个余数的和 3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，故 23+19=42 除以 5 的余数等于 3+4=7 除以 5 的余数，即2

4、.2.2.余数的乘法定理余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于 a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 2316 除以 5 的余数等于 31=3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以2319 除以 5 的余数等于 34 除以 5 的余数，即2.3.3.同余定理同余定理若两个整数 a、b 被自然数 m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同余，用式子表示为：ab ( modm )，左边的式子叫做同余式。同余

5、式读作：a 同余于 b，模 m。由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数 a，b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则a，b 的差一定能被 m 整除用式子表示为：如果有 ab ( mod m )，那么一定有 abmk,k 是整数，即 m|(ab)三、弃九法原理：三、弃九法原理：在公元前 9 世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本花拉子米算术 ，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式12341898189226789671789028899231234 除以 9 的余数为 1

6、1898 除以 9 的余数为 818922 除以 9 的余数为 4678967 除以 9 的余数为 7178902 除以 9 的余数为 0这些余数的和除以 9 的余数为 2而等式右边和除以 9 的余数为 3，那么上面这个算式一定是错的。上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理，即如果这个等式是正确的，那么左边几个加数除以 9 的余数的和再除以 9 的余数一定与等式右边和除以9 的余数相同。而我们在求一个自然数除以9 所得的余数时，常常不用去列除法竖式进行计算，只要计算这个自然数的各个位数字之和除以 9 的余数就可以了，在算的时候往往就是一个9 一个 9 的找并且划去，所以这种方文

7、案大全实用文案法被称作“弃九法” 。所以我们总结出弃九发原理：任何一个整数模9 同余于它的各数位上数字之和。以后我们求一个整数被 9 除的余数，只要先计算这个整数各数位上数字之和，再求这个和被9 除的余数即可。利用十进制的这个特性，不仅可以检验几个数相加，对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确，但不能保证一定正确。例如：检验算式 9+9=9 时，等式两边的除以 9 的余数都是 0，但是显然算式是错误的但是反过来，如果一个算式一定是正确的，那么它的等式2 两端一定满足弃九法的规律。这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式迷问题。四、中国剩余

8、定理：四、中国剩余定理：1.1.中国古代趣题：中国古代趣题：中国数学名著孙子算经里有这样的问题： “今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰： “二十三。 ”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵” 。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3 人一列余 1 人、5 人一列余 2 人、7 人一列余 4 人、13 人一列余 6 人。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5 人一列、9 人一列、13 人一列、17 人一列都剩 3 人，则兵有多少？首先我们先求 5、9、13、1

9、7 之最小公倍数 9945（注：因为5、9、13、17 为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积） ，然后再加 3，得 9948（人） 。孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。2.2.核心思想和方法：核心思想和方法：对于这一类问题， 我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法， 下面我们就以 孙子算经中的问题为例，分析此方法:今有物，不知

10、其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7 后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3 余 1，并且还是 5 和 7 的公倍数。先由57 35，即 5 和 7 的最小公倍数出发，先看35 除以 3 余 2，不符合要求，那么就继续看5 和7 的“下一个”倍数352 70是否可以，很显然 70 除以 3 余 1文案大全实用文案类似的，我们再构造一个除以5 余 1，同时又是 3 和 7 的公倍数的数字，显然21 可以符合要求。最后再构造除以 7 余 1，同时又是 3，5 公倍数的数字，45 符合

11、要求，那么所求的自然数可以这样计算：270321245k3,5,7 233k3,5,7，其中 k 是从 1 开始的自然数。也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数” ，那么我们可以计算27032124523,5,7 23得到所求如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,我们只要对最小的 23 加上3,5,7即可，即 23+105=128。例题精讲：【模块一：带余除法的定义和性质】【例【例 1 1】 ( (第五届小学数学报竞赛决赛第五届小学数学报竞赛决赛) )用某自然数用某自然数

12、a去除去除1992，得到商是，得到商是 4646，余数是，余数是r，求，求a和和r【解解析析】因为1992是a的46倍还多r,得到1992 46 43.14，得1992 46 43，所以a 43， 14r 14【巩巩固固】 ( (清华附中小升初分班考试清华附中小升初分班考试) )甲、乙两数的和是甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商，甲数除以乙数商11余余32，求甲、乙两数，求甲、乙两数【解解析析】(法 1)因为 甲乙1132，所以 甲乙乙1132乙乙12321088；则乙 (108832)12 88，甲1088乙1000(法 2)将余数先去掉变成整除性问题，利用倍数关系来做：从1088中减

13、掉32以后，1056就应当是乙数的(111)倍，所以得到乙数10561288，甲数1088881000【巩巩固固】一一个两位数除个两位数除 310310，余数是，余数是 3737，求这样的两位数。，求这样的两位数。【解解析析】本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把余数问题-即“不整除问题”转化为整除问题。方法为用被除数减去余数，即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个“除数与余数的差” ，也可以得到一个除数的倍数。本题中 310-37=273，说明 273 是所求余数的倍数，而 273=3713，所求的两位数约数还要满足比 37 大，符合条件的有 39，91.【例【例

14、 1 1】 ( (2003年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题) )有两个自然数相除，商是有两个自然数相除，商是17，余数是，余数是13，已知被除数、，已知被除数、除数、商与余数之和为除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？，则被除数是多少？【解解析析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968【巩巩固固】用用一个自然数去除另一个自然数，商为一个自然数去除另一个自然数，商为 4040，余数是，余

15、数是 16.16.被除数、除数、商、余数的和是被除数、除数、商、余数的和是 933933，求，求这这 2 2 个自然数各是多少？个自然数各是多少？文案大全实用文案【解解析析】本题为带余除法定义式的基本题型。根据题意设两个自然数分别为x,y，可以得到x 40y16x 856,解方程组得，即这两个自然数分别是856，21.x y4016 933y 21【例【例 2 2】 (2000(2000 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题 ) )三个不同的自然数的和为三个不同的自然数的和为20012001，它们分别除以，它们分别除以19,23,3119,23,31 所得的商相同，

16、所得的余数也相同，这三个数是所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_，_，_。【解解析析】设所得的商为a，除数为b(19a b)(23a b)(31a b) 2001，73a 3b 2001，由b 19，可求得a 27，b 10所以，这三个数分别是19a b 523，23a b 631，31a b 847。【巩巩固固】( (20042004 年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题) )一个自然数，除以一个自然数，除以 1111 时所得到的商和余数是相等时所得到的商和余数是相等的，除以的，除以 9 9 时所得到的商是余数的时所得到的商是余数的 3 3 倍，这个自

17、然数是倍，这个自然数是_【解解析析】设这个自然数除以 11 余a(0 a 11)， 除以 9 余b(0 b 9)， 则有11a a 93bb， 即3a 7b，只有a 7，b 3，所以这个自然数为127 84。【例【例 3 3】 (1997(1997 年我爱数学少年数学夏令营试题年我爱数学少年数学夏令营试题) )有有 4848 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 5人如果把书全部分给第一组，那么每人人如果把书全部分给第一组，那么每人 4 4 本，有剩余；每人本，有剩余；每人 5 5 本，书不够如果把书全分给本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人

18、第二组，那么每人 3 3 本，有剩余；每人本，有剩余；每人 4 4 本，书不够问：第二组有多少人本，书不够问：第二组有多少人? ?【解解析析】由484 12，485 9.6知，一组是 10 或 11 人同理可知48316，484 12知，二组是13、14 或 15 人，因为二组比一组多5 人，所以二组只能是 15 人，一组 10 人【巩巩固固】一一个两位数除以个两位数除以 1313 的商是的商是 6 6，除以，除以 1111所得的余数是所得的余数是 6 6，求这个两位数，求这个两位数【解解析析】因为一个两位数除以 13 的商是 6， 所以这个两位数一定大于136 78， 并且小于13(61)

19、91；又因为这个两位数除以 11 余 6，而 78 除以 11 余 1，这个两位数为78583【模块二：三大余数定理的应用】【例【例 4 4】 有一个大于有一个大于 1 1 的整数，除的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数所得的余数相同，求这个数. .【解析】【解析】这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数1014556，594514，(56,14) 14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14。【巩巩固固】有有一个整数，

20、除一个整数，除 39,51,14739,51,147 所得的余数都是所得的余数都是 3 3，求这个数，求这个数. .【解析】【解析】(法 1)39336，1473144，(36,144) 12，12 的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为 3 要小于除数，这个数是4,6,12；(法 2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数5139 12，14739108，(12,108)12，所以这个数是4,6,12【巩巩固固】在在小于小于 10001000 的自然数中，分别除以的自然数中，分别除以 1818 及及 3333 所得余数相同的数有

21、多少个所得余数相同的数有多少个?(?(余数可以为余数可以为 0)0)【解析】【解析】我们知道 18，33 的最小公倍数为18，33=198，所以每 198 个数一次文案大全实用文案1198 之间只有 1，2，3，17，198(余 O)这 18 个数除以 18 及 33 所得的余数相同，而 999198=59，所以共有 518+9=99 个这样的数【巩巩固固】( (20082008 年仁华考题年仁华考题) )一个三位数除以一个三位数除以 1717 和和 1919 都有余数，并且除以都有余数，并且除以1717 后所得的商与余数的和等于后所得的商与余数的和等于它除以它除以 1919 后所得到的商与余

22、数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？后所得到的商与余数的和那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？【解析】【解析】设这个三位数为s， 它除以17和19的商分别为a和b， 余数分别为m和n， 则s 1 7a m 1 9b n根据题意可知am bn，所以s a m s b n，即16a 18b，得8a 9b所以a是 981的倍数，b是 8 的倍数此时，由am bn知nm a b a a a99由于s为三位数，最小为 100，最大为 999，所以10017am999，而1 m 16，所以17a 117am999，10017a m 17a 16，得到5 a 58，而a是 9 的倍

23、数，所以a最小为 9，最大为 541当a 54时，nm a 6，而n 18，所以m 12，故此时s最大为175412930；91当a 9时，nm a 1，由于m1，所以此时s最小为17911549所以这样的三位数中最大的是930，最小的是 154【例【例 5 5】 两位自然数两位自然数ab与与ba除以除以 7 7 都余都余 1 1，并且，并且a b，求，求abbaabba能被 7 整除，【解析】【解析】即(10a b)能被 7 整除 所以只能有a b 7， 那么ab（ 10b a) 9 （a b）可能为 92 和 81，验算可得当ab 92时，ba 29满足题目要求，abba 9229 266

24、8【巩巩固固】学学校新买来校新买来 118118 个乒乓球，个乒乓球， 6767 个乒乓球拍和个乒乓球拍和 3333 个乒乓球网，个乒乓球网， 如果将这三种物品平分给每个班级，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？【解析】【解析】所求班级数是除以118,67,33余数相同的数那么可知该数应该为11867 51和673334的公约数，所求答案为 17【巩巩固固】( (20002000 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题) )在除在除 1351113511，1390313903 及及 1

25、458914589 时能剩下相同余数的最大整数时能剩下相同余数的最大整数是是_【解析】【解析】因为1390313511 392,1458913903 686，由于 13511，13903，14589 要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除(392,686) 98，所以所求的最大整数是98【例【例 6 6】 (2003(2003 年南京市少年数学智力冬令营试题年南京市少年数学智力冬令营试题) )22003与与20032的和除以的和除以 7 7 的余数是的余数是_【解析】【解析】找规律用7 除 2，22，23，24，25，26，的余数分别是 2，4，1，2，4，1，2，4

26、，1，,2的个数是 3 的倍数时，用7 除的余数为 1；2 的个数是 3 的倍数多 1 时，用7 除的余数为 2；2 的个数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为 4因为22003 236672，所以22003除以 7 余 4又两个数文案大全实用文案的积除以 7 的余数，与两个数分别除以7 所得余数的积相同而2003 除以 7 余 1，所以20032除以 7 余 1故22003与20032的和除以 7 的余数是415【巩巩固固】( (20042004 年南京市少年数学智力冬令营试题年南京市少年数学智力冬令营试题) )在在 19951995，19981998，20002000，200120

27、01，20032003 中，若其中几个数中，若其中几个数的和被的和被 9 9 除余除余 7 7，则将这几个数归为一组这样的数组共有，则将这几个数归为一组这样的数组共有_组组【解析】【解析】1995，1998，2000，2001，2003 除以 9 的余数依次是 6，0，2，3，5因为25 250 7，2536 02536 79，所以这样的数组共有下面4 个：2000,2003，1998,2000,2003，2000,2003,2001,1995，1998,2000,2003,2001,1995【例【例 7 7】 (2005(2005 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题) )有

28、一个整数，用它去除有一个整数，用它去除 7070，110110，160160 所得到的所得到的 3 3 个余数个余数之和是之和是 5050，那么这个整数是，那么这个整数是_【解析】【解析】(70110160)50 290，50316.2，除数应当是 290 的大于 17 小于 70 的约数，只可能是 29 和 58，110581.52，52 50，所以除数不是 587029 2.12，110293.23，160295.15，12 231550，所以除数是29【巩巩固固】 (2002(2002 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题) )用自然数用自然数 n n 去除去除 6363

29、，9191，129129 得到的三个余数之和为得到的三个余数之和为2525，那么，那么 n=_n=_【解析】【解析】 n 能整除63 91129 25 258因为2538.1，所以 n 是 258 大于 8 的约数显然，n不能大于 63符合条件的只有 43【巩巩固固】号号码分别为码分别为 101,126,173,193101,126,173,193 的的 4 4 个运动员进行乒乓球比赛个运动员进行乒乓球比赛, ,规定每两人比赛的盘数是他们号码规定每两人比赛的盘数是他们号码的和被的和被 3 3 除所得的余数除所得的余数. .那么打球盘数最多的运动员打了多少盘那么打球盘数最多的运动员打了多少盘?

30、?【解析】【解析】本题可以体现出加法余数定理的巧用。计算101，126，173，193 除以 3 的余数分别为 2，0，2，1。那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2，0，2，1 两两相加除以 3 即可。显然126 运动员打 5 盘是最多的。【例【例 8 8】 (2002(2002 年小学生数学报数学邀请赛试题年小学生数学报数学邀请赛试题) )六名小学生分别带着六名小学生分别带着 1414 元、元、1717 元、元、1818 元、元、2121 元、元、2626 元、元、3737 元钱，一起到新华书店购买成语大词典元钱，一起到新华书店购买成语大词典 一看定价才发现有一看定价才发现有 5 5 个人

31、带的钱不够，个人带的钱不够，但是其中甲、但是其中甲、 乙、乙、 丙丙 3 3 人的钱凑在一起恰好可买人的钱凑在一起恰好可买 2 2 本，本， 丁、丁、 戊戊 2 2 人的钱凑在一起恰好可买人的钱凑在一起恰好可买 1 1 本本 这这种成语大词典的定价是种成语大词典的定价是_元元【解析】【解析】六名小学生共带钱 133 元133 除以 3 余 1，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买 3 本，所以文案大全实用文案他们五人带的钱数是 3 的倍数，另一人带的钱除以3 余 1易知，这个钱数只能是37 元，所以每本成语大词典的定价是(141718 21 26)332 (元) 【巩巩固固】( (2000200

32、0 年全国小学数学奥林匹克试题年全国小学数学奥林匹克试题) )商店里有六箱货物，分别重商店里有六箱货物，分别重1515，1616，1818，1919，2020，3131 千克，千克，两个顾客买走了其中的五箱两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的 2 2 倍，倍，那么商店剩下的那么商店剩下的一箱货物重量是一箱货物重量是_千克千克【解析】【解析】两个顾客买的货物重量是3的倍数剩下的一箱货物重量除以3 应当余 2， 只能是(15161819 2031)(1 2) 1193 39.2，20千克【例【例 9 9】 求求246113560471

33、1的余数的余数【解析】【解析】因为246111 223.8，1351112.3，604711549.8，根据同余定理(三)，2461135604711的余数等于83811的余数，而838192，1921117.5，所以2461135604711的余数为 5【巩巩固固】( (华罗庚金杯赛模拟试题华罗庚金杯赛模拟试题) )求求478296351除以除以 1717 的余数的余数【解析】【解析】 先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17 的余数，再求余数之积除以 17 的余数478,296,351除以 17 的余数分别为 2，7 和 11，(2711)17 9.1【巩巩固固】 求求3

34、1997的最后两位数的最后两位数【解析】【解析】即考虑31997除以 100 的余数由于100 425，由于33 27除以 25 余 2，所以39除以 25 余 8，310除以 25 余 24，那么320除以 25 余 1；又因为32除以 4 余 1，则320除以 4 余 1；即3201能被 4和 25 整除，而 4 与 25 互质，所以3201能被 100 整除，即320除以 100 余 1，由于1997 209917，所以31997除以 100 的余数即等于317除以 100 的余数，而36 729除以 100 余29，35 243除以 100 余 43，317 (36)235，所以317

35、除以 100 的余数等于292943除以 100的余数，而29294336163除以 100 余 63，所以31997除以 100 余 63，即31997的最后两位数为63【巩巩固固】2222除以除以 1313 所得余数是所得余数是_._. 2000个2【解析】【解析】我们发现 222222 整除 13，20006 余 2，所以答案为 2213 余 9。【巩巩固固】求求14389除以除以 7 7 的余数的余数文案大全实用文案【解析】【解析】法一：由于143 3mod7 (143 被 7 除余 3)，所以14389 389mod7 (14389被 7 除所得余数与389被 7 除所得余数相等)而

36、36 729，729 1mod7（729 除以 7 的余数为 1） ，所以389 363614个3635 35 5mod7故14389除以 7 的余数为 5.法二：计算389被 7 除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表：31323334353637mod73264513于是余数以 6 为周期变化所以389 35 5mod7【巩巩固固】（20072007 年实验中学考题）年实验中学考题）12 2232【解析】【解析】由于12 2232 20012 2002除以除以 7 7 的余数是多少？的余数是多少？ 20012 20022200220034005而 1001 是 7 的倍数，100120

37、031335，6 20012 20022除以 7 的余数是 0；所以这个乘积也是 7 的倍数，故12 2232【巩巩固固】31303031被被13除所得的余数是多少？除所得的余数是多少？【解析】【解析】31 被 13 除所得的余数为 5，当 n 取 1，2，3，12， 8， 1时5n被 13 除所得余数分别是 5，12，8，1，5，以 4 为周期循环出现， 所以530被 13 除的余数与52被 13 除的余数相同， 余 12， 则3130除以 13 的余数为 12；30 被 13 除所得的余数是 4，当n 取 1，2，3，10，1，4，3，12，9，10，时，4n被 13 除所得的余数分别是

38、4，3，12，9，以 6 为周期循环出现，所以431被 13 除所得的余数等于41被 13除所得的余数，即 4，故3031除以 13 的余数为 4；所以31303031被 13 除所得的余数是12 4133【巩巩固固】( (20082008 年奥数网杯年奥数网杯) )已知已知a 200820082008个20082008，问：，问：a除以除以 1313 所得的余数是多少？所得的余数是多少？【解析】【解析】2008 除以 13 余 6，10000 除以 13 余 3，注意到20082008 2008100002008；200820082008 20082008100002008；文案大全实用文案

39、2008200820082008 200820082008100002008；根据这样的递推规律求出余数的变化规律：20082008除以13余6361311， 200820082008除以13余113639 0， 即 200820082008是 13 的倍数而2008除以 3 余 1，所以a 200820082008个20082008除以 13 的余数与2008除以 13 的余数相同，为 6.【巩巩固固】777 77除以除以 4141 的余数是多少？的余数是多少？1996个7【解析】【解析】找规律：741 7，7741 36，77741 39，777741 28，7777741 0，所以 77

40、777 是 41 的倍数，而199653991，所以777 77可以分1996个7成 399 段 77777 和 1 个 7 组成，那么它除以 41 的余数为 7【巩巩固固】11 2233 44 20052005除以除以 1010 所得的余数为多少？所得的余数为多少？【解析】【解析】求结果除以 10 的余数即求其个位数字从1 到 2005 这 2005 个数的个位数字是 10 个一循环的，而对一个数的幂方的个位数，我们知道它总是 4 个一循环的，因此把所有加数的个位数按每 20个(20 是 4 和 10 的最小公倍数)一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的首先计算11 2233 44 20

41、20的个位数字，为1 4765636901636567 490 94的个位数字，为 4，由于 2005 个加数共可分成 100 组另 5 个数，100 组的个位数字和是4100 400的个位数即 0，另外 5 个数为20012001、20022002、20032003、20042004、20052005，它们和的个位数字是14765 23的个位数 3，所以原式的个位数字是3，即除以 10 的余数是 3【例【例 10 10】求求所有的质数所有的质数 P P，使得，使得4p21与与6p21也是质数也是质数【解析】【解析】如果p 5，则4p21101，6p21151都是质数，所以5 符合题意如果P

42、不等于 5，那么 P除以 5 的余数为 1、2、3 或者 4，p2除以 5 的余数即等于12、22、32或者42除以 5 的余数，即1、4、9 或者 16 除以 5 的余数，只有 1 和 4 两种情况如果p2除以 5 的余数为 1，那么4p21除以 5 的余数等于4115除以 5 的余数，为 0，即此时4p21被 5 整除，而4p21大于 5，所以此时4p21不是质数； 如果p2除以 5 的余数为 4， 同理可知6p21不是质数， 所以 P 不等于 5，4p21与6p21至少有一个不是质数，所以只有p 5满足条件文案大全实用文案【巩巩固固】 在图表的第二行中，恰好填上在图表的第二行中，恰好填上

43、8998这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 1111 所所得的余数都是得的余数都是 3 3【解析】【解析】 因为两个数的乘积除以 11 的余数，等于因数因数8989909091919292939394949595969697979898因数因数两个数分别除以 11 的余数之积因此原题中的8998可以改换为110，这样上下两数的乘积除以11 余 3 就容易计算了我们得到下面的结果：进而得到本题的答案是：因因数数因因数数【巩巩固固】( (20002000 年年 “华杯赛”“华杯赛” 试题试题)3)3 个三位数乘积的算式个三位数乘积的算式abcb

44、cacab 234235286 ( (其中其中a b c) )，在在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6 6 是正确的，问原式中的是正确的，问原式中的abc是是多少？多少？89899090919192929393949495959696979798989191959589899797939394949090989892929696因数因数8989909091919292939394949595969697979898因数因数3 37 71 19 95 56 62 210104 48 8【解析】【解析】由于234235

45、286 23 4 235 286 8(mod9)，abcbcacab (a b c)3(mod9)，于是(a b c)3 8(mod9)，从而(用a b c 0,1,2,.,8(mod9)代入上式检验)a bc 2,5,8(mod9)(1)，对a进行讨论：如果a 9，那么bc 2,5,8(mod9)(2)，又cab的个位数字是 6，所以bc的个位数字为4，bc可能为41、72、83、64，其中只有(b,c) (4,1),(8,3)符合(2)，经检验只有983839398328245326符合题意如果a 8， 那么bc 3,6,0(mod9)(3)， 又bc的个位数字为2或7， 则bc可能为21

46、、43、62、76、71，其中只有(b,c) (2,1)符合(3)，经检验，abc 821不合题意如果a 7， 那么bc 4,7,1(mod9)(4)， 则bc可能为42、63， 其中没有符合(4)的(b,c)如果a 6，那么b 5，c 4，abcbcacab 700600500 210000000 222334586，因此这时abc不可能符合题意综上所述，abc 983是本题唯一的解【例【例 11 11】一一个大于个大于 1 1 的数去除的数去除 290290， 235235， 200200 时，时， 得余数分别为得余数分别为a，a2，a 5， 则这个自然数是多少？则这个自然数是多少？【解析

47、】【解析】根据题意可知，这个自然数去除290，233，195 时，得到相同的余数（都为a） 既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余 0那么这个自然数是29023357的约数，又是23319538的约数，因此就是57 和 38 的公约数,因为 57和 38 的公约数只有 19 和 1，而这个数大于 1，所以这个自然数是 19文案大全实用文案【巩巩固固】一一个大于个大于 1010 的自然数去除的自然数去除 9090、164164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除后所得的两个余数的和等于这个自然数去除 220220 后所得的余后所得的余数，则这个自然数是多少？

48、数，则这个自然数是多少？【解析】【解析】这个自然数去除 90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164 254后所得的余数， 所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同， 因此这个自然数是25422034的约数，又大于 10，这个自然数只能是 17 或者是 34如果这个数是 34，那么它去除 90、164、220 后所得的余数分别是 22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17，那么他去除90、164、220 后所得的余数分别是 5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17【例【例 12 12】甲甲、乙、乙、丙三数分别为丙三数分别为 603603，93

49、9939，393393某数某数A除甲数所得余数是除甲数所得余数是A除乙数所得余数的除乙数所得余数的 2 2 倍，倍，A除乙数所得余数是除乙数所得余数是A除丙数所得余数的除丙数所得余数的 2 2 倍求倍求A等于多少？等于多少？【解析】【解析】根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：603 A K1r1939 A K2r2393 A K3r3由于r1 2r2，r2 2r3，要消去余数r1,r2,r3,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2 倍，同理，第三个式子乘以4于是我们可以得到下面的式子：603 A K1r

50、19392 A 2K22r23934 A 2K34r3这样余数就处理成相同的 最后两两相减消去余数， 意味着能被A整除93926031275，3934603969，1275,969 51 31751 的约数有 1、3、17、51，其中1、3 显然不满足，检验17 和 51 可知 17 满足，所以A等于 17【巩巩固固】一一个自然数除个自然数除 429429、791791、500500 所得的余数分别是所得的余数分别是a 5、2a、a，求这个自然数和，求这个自然数和a的值的值. .【解析】【解析】将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：42952 848，791、5002 1000，这样这些