小学奥数4-5-2 长方体与正方体(二).pdf

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1、长方体与正方体（二）长方体与正方体（二）对于小学几何而言， 立体图形的表面积和体积计算， 既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力， 所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查例题精讲例题精讲如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱HGEDFCcbAaB在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等(叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形)长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体 2(ab bc ca)；长方体的体积：V长方体 abc正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形如果

2、它的棱长为a，那么：S正方体 6a2，V正方体 a3长方体与正方体的体积立体图形的体积计算常用公式：立体图形的体积计算常用公式：立体图形示例体积公式相关要素1长方体V abhV Sh三要素：a、b、h二要素：S、h一要素：a二要素：S、hV a3正方体不规则形体的体积常用方法：不规则形体的体积常用方法：化虚为实法切片转化法先补后去法实际操作法画图建模法V Sh【例【例 1 1】一一个长方体的棱长之和是个长方体的棱长之和是 2828 厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都厘米，而长方体的长宽高的长度各不相同，并且都是整厘米数，则长方体的体积等于是整厘米数，则长方体的体积等于立方厘米。立方厘

3、米。【例【例 2 2】将将几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（几个大小相同的正方体木块放成一堆，从正面看到的视图是图（a a） ，从左向，从左向右看到的视图是图（右看到的视图是图（b b） ，从上向下看到的视图是图（，从上向下看到的视图是图（c c） ，则这堆木块最多共有，则这堆木块最多共有_块。块。2【例【例 3 3】一一根长方体木料，体积是根长方体木料，体积是0.078立方米已知这根木料长立方米已知这根木料长1.3米宽为米宽为 3 分米，分米，高该是多少分米高该是多少分米? ?孙健同学把高错算为孙健同学把高错算为3分米分米 这样，这样， 这根木料的体积要比这根木料的体积

4、要比0.078立方米多多少立方米多多少? ?【例【例 4 4】如如图，图，两个同样的铁环连在一起长两个同样的铁环连在一起长 2828 厘米，厘米，每个铁环长每个铁环长 1616 厘米。厘米。8 8 个这样的铁个这样的铁环依此连在一起长环依此连在一起长厘米。厘米。【例【例 5 5】某某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱，并用尼龙编织条 ( (如图所示如图所示) )在在三个方向上的加固三个方向上的加固所用尼龙编织条分别为所用尼龙编织条分别为 365 厘米，厘米，405 厘米，厘米，485 厘米厘米若若每个尼龙加固时接头重叠都是每个尼龙加固时

5、接头重叠都是 5 厘米问这个长方体包装箱的体积是多少立方厘米问这个长方体包装箱的体积是多少立方米米? ?高宽长【例【例 6 6】某某工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为工人用木板钉成一个长方体邮件包装箱，并用三根长度分别为235235 厘米、厘米、445445厘米、厘米、515515 厘米的尼龙带进行加固厘米的尼龙带进行加固（如下图）（如下图） ，若每根尼龙带加固时截头重叠都若每根尼龙带加固时截头重叠都是是 5 5 厘米，那么这个长方体包装箱的体积是立方厘米，那么这个长方体包装箱的体积是立方米。米。3【例【例 7 7】一一个长方体的表面积是个长方体的表面积是33.66平方分米

6、，平方分米，其中一个面的长是其中一个面的长是2.3分米，分米，宽是宽是2.1分分米，它的体积是米，它的体积是_立方分米立方分米. .【例【例 8 8】把把一根长一根长2.4米的长方体木料锯成米的长方体木料锯成 5 段段( (如图如图) )，表面积比原来增加了，表面积比原来增加了 96 平方厘平方厘米这根木料原来的体积是米这根木料原来的体积是_立方厘米立方厘米2.4米【例【例 9 9】一一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半( (如图如图) )将这个长方体切成将这个长方体切成 12个小长方体，这些小长方体的表面之和为个小长方体，这些小长方体的表面之和为

7、600 平方分米求这个大长方体的体平方分米求这个大长方体的体积积4【例【例 1010】有有三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积三个大小一样的正方体，将接触的面用胶粘接在一起成图示的形状，表面积比原来减少了比原来减少了 16 平方厘米平方厘米. .求所成形体的体积求所成形体的体积. .【例【例 1111】小小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最多用了侧面看如右下图，那么他最多用了_块木块，最少用了块木块，最少用了_ _ _块木块。块木块。【例【例

8、1212】边边长为长为5的正方形，被分割成的正方形，被分割成5 5的小方格。每个小方格上堆放边长为的小方格。每个小方格上堆放边长为1cm的的正方体积木，个数如图所示。在每个积木外露的面上贴一张红纸，其它面（与正方体积木，个数如图所示。在每个积木外露的面上贴一张红纸，其它面（与其它积木块或方格纸相接的面）不贴。共贴其它积木块或方格纸相接的面）不贴。共贴张红纸。恰贴张红纸。恰贴3张红纸的张红纸的有有块积木。块积木。51234543453142234251151231【例【例 1313】有有一个长方体，长是宽的一个长方体，长是宽的 2 倍，宽是高的倍，宽是高的 3 倍；长的倍；长的1与高的与高的1之

9、和比宽多之和比宽多 123厘米这个长方体的体积是厘米这个长方体的体积是立方厘米立方厘米【巩固】一个长方体的各条棱长的和是【巩固】一个长方体的各条棱长的和是 48 厘米，并且它的长是宽的厘米，并且它的长是宽的 2 倍，高与宽相等，倍，高与宽相等，那么这个长方体的体积是那么这个长方体的体积是_ 立方厘米立方厘米【例【例 1414】把把 11 块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是288cm 3，则大长方体的表面积为多少？，则大长方体的表面积为多少？6【例【例 1515】有有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是

10、大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别是 6 米、米、3 米、米、2 米把两米把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了堆碎石分别沉没在中、小水池的水里，两个水池的水面分别升高了 6 厘米和厘米和 4厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘厘米如果将这两堆碎石都沉没在大水池的水里，大水池的水面升高了多少厘米？米？【例【例 1616】一一个正方体容器，容器内部边长为个正方体容器，容器内部边长为 24 厘米，存有若干水，水深厘米，存有若干水，水深17.2厘米，现厘米，现将一些碎铁块放入容器中，铁块沉入水底，水面上升将一些碎铁块放入容器中，铁块沉入水

11、底，水面上升2.5厘米，如果将这些铁厘米，如果将这些铁块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新放入池中，则水面升高几厘米？块铸成一个和容器等高的实心圆柱，重新放入池中，则水面升高几厘米？【例【例 1717】如如图，有一个棱长为图，有一个棱长为 10 厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个厘米的正方体铁块，现已在每两个对面的中央钻一个边长为边长为 4 厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱）厘米的正方形孔（边平行于正方体的棱） ，且穿透另有一长方体容，且穿透另有一长方体容器，从内部量，长、宽、高分别为器，从内部量，长、宽、高分别为 15 厘米、厘米、12 厘米、厘米、9 厘米，内部有水，水厘米，

12、内部有水，水深深 3 厘米若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为厘米若将正方体铁块平放入长方体容器中，则铁块在水下部分的体积为立方厘米立方厘米7【例【例 1818】把把 1 个棱长是个棱长是 3 厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长厘米的正方体分割成若干个小的正方体，这些小正方体的棱长必须是整厘米数如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成必须是整厘米数如果这些小正方体的体积不要求都相等，那么最少可分割成个小正方体个小正方体【巩固】有一个长方体的盒子，从里面量长【巩固】有一个长方体的盒子，从里面量长 40 厘米，宽厘米，宽 12 厘米，高厘米，高

13、 7 厘米，在这个盒厘米，在这个盒子里放长子里放长 5 厘米，宽厘米，宽 4 厘米，高厘米，高 3 厘米的长方体木块最多可放厘米的长方体木块最多可放块块343444333【例【例 1919】有有甲、乙、丙甲、乙、丙 3 种大小的正方体木块，棱长比是种大小的正方体木块，棱长比是1: 2:3如果用这三种正方体如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？多少？8【例【例 2020】用用112、113、122三种小木块拼成三种小木块拼成333的正方体现有足够多的的正方体现有足够多的122

14、的小木块，的小木块，还有还有 14 块块113的小木块，的小木块，如果要拼成如果要拼成 10 个个333的正的正方体，则最少需要方体，则最少需要112的小木块的小木块_块块【例【例 2121】把一个长方体形状的木料分割成把一个长方体形状的木料分割成 3 小块，使这小块，使这3 小块的体积相等已知这长方小块的体积相等已知这长方体的长为体的长为 15 厘米，宽为厘米，宽为 12 厘米，高为厘米，高为 9 厘米分割时要求只能锯两次，如图厘米分割时要求只能锯两次，如图1 就是一种分割线的图除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，就是一种分割线的图除这种分割的方法外，还可有其他不同的分割方法，请把

15、分割线分别画在图请把分割线分别画在图 2 的各图中的各图中图图 19图图 2【例【例 2222】如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体 . .这三个这三个长方体的表面积比是长方体的表面积比是3: 4:5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：比：【例【例 2323】如如图从长为图从长为 13 厘米，宽为厘米，宽为 9 厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长厘米的长方形硬纸板的四角去掉边长 2 厘米的正厘米的正方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米？

16、方形，然后，沿虚线折叠成长方体容器这个容器的体积是多少立方厘米？102913【巩固】现有一张长【巩固】现有一张长 40 厘米、宽厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是 5 厘米的厘米的长方体无盖铁皮盒长方体无盖铁皮盒( (焊接处及铁皮厚度不计，焊接处及铁皮厚度不计， 容积越大越好容积越大越好) )， 你做出的铁皮盒容你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米积是多少立方厘米? ?10301035焊上焊上焊上焊上20【例【例 2424】一一个长、宽、高分别为个长、宽、高分别为21厘米、厘米、15厘米、厘米、12厘米的长方形厘米的长方形. .现从它的上面尽可

17、现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？厘米？11【例【例 2525】小小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如下图左下图左, ,从上面看如下图右那么这个几何体至少用了从上面看如下图右那么这个几何体至少用了块木块块木块【巩固】右图是由【巩固】右图是由

18、22 个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？由两个小正方体组成的长方体有多少个？【例【例 2626】有有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻 ( (有公共有公共面面) )的积木颜色不同，标的积木颜色不同，标A的为黑色，图中共有黑色积木多少块？的为黑色，图中共有黑色积木多少块？12A【巩固】这个图形，是否能够由【巩固】这个图形，是否能够由112的长方体搭构而成？的长方体搭构而成？【巩固】有许多相同的立方体

19、，每个立方体的六个面上都写着同一个数字【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字( (不同的立方体不同的立方体可以写相同的数字可以写相同的数字) )先将写着先将写着 2 的立方体与写着的立方体与写着 1 的立方体的三个面相邻，再将的立方体的三个面相邻，再将写着写着 3 的立方体写着的立方体写着 2 的立方体相邻的立方体相邻( (见左下图见左下图) ) 依这样构成右下图所示的立方依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少体，它的六个面上的所有数字之和是多少? ?3233232311322312311113【例【例 2727】如如下图，用若干块单位正方体积

20、木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体下图，用若干块单位正方体积木堆成一个立体，小明正确地画出了这个立体的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？的正视图、俯视图和侧视图，问：所堆的立体的体积至少是多少？正视图俯视图侧视图【例【例 2828】用用一些棱长是一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，的小正方体码放成一个立体图形，从上向下看这个立体图形，如下图如下图a，从正面看这个立体图形，如下图，从正面看这个立体图形，如下图b，则这个立体图形的表面积最多，则这个立体图形的表面积最多是是_ab【例【例 2929】 用棱长为用棱长为 1 的小立方体粘合而

21、成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均的小立方体粘合而成的立体，从正面、侧面、上面看到的视图均如下图所示，那么粘成这个立体最多需要如下图所示，那么粘成这个立体最多需要块小立方体块小立方体14【例【例 3030】第第 9 届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于届华罗庚金杯少年数学邀请赛总决赛于 2004 年年 5 月月 10 日在潮州举行，北日在潮州举行，北京的选手们用京的选手们用N个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是个大小相同的小正方体木块粘贴成了一个从正面看是 2004， 从从左面看是左面看是 9 的模型的模型( (如图如图) )问：问：N最大为多少？最大为多少？N最小为多少最小为多

22、少? ?【例【例 3131】有有很多白色或黑色的棱长是很多白色或黑色的棱长是1cm的小正方体取其中的的小正方体取其中的 27 个，拼成一个棱长个，拼成一个棱长是是3cm的大正方体，每一面都各用的大正方体，每一面都各用2 个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见个黑色的小正方体拼成了相同的图案。见例图例图中正方体的每一面的图案都相同，因此，用例图例图中正方体的每一面的图案都相同，因此，用8 个或个或 9 个黑色小正方个黑色小正方体就可拼成这样的大正方体除例图的图案之外，还可以拼成每面的图案都相体就可拼成这样的大正方体除例图的图案之外，还可以拼成每面的图案都相同的大正方体同的大正方体问：在下图的问：在

23、下图的 中找出可以拼成每面都相同的图案中找出可以拼成每面都相同的图案问：在问中，可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多的用几个？问：在问中，可以按要求拼成的大正方体各用几个黑色小正方体？最多的用几个？最少的用几个？最少的用几个？15例图例图【例【例 3232】一一个长、宽、高分别为个长、宽、高分别为 12、9、7 厘米的长方体，在它的每组两两相对的面的厘米的长方体，在它的每组两两相对的面的正中央都打一个底面为正中央都打一个底面为 4 平方厘米的正方形的贯穿洞那么这个长方体剩下部平方厘米的正方形的贯穿洞那么这个长方体剩下部分的体积是分的体积是立方厘米立方厘米【例【例 3333】 如图

24、所示，一个如图所示，一个555的立方体，在一个方向上开有的立方体，在一个方向上开有115的孔，在另一个的孔，在另一个方向上开有方向上开有215的孔，的孔， 在第三个方向上开有在第三个方向上开有315的孔，的孔， 剩余部分的体积是剩余部分的体积是多少？表面积为多少？多少？表面积为多少？16【巩固】【巩固】 如图，原来的大正方体是由如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的个小正方体所构成的 其中有些小正方体已经被其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分请问剩下的部分共有请问剩下的部分共有多少个小正方体？多

25、少个小正方体？【巩固】一个由【巩固】一个由 125 个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，小正方体，把大正方体中相对的两面打通，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态右图就是抽空的状态右图中剩下的右图中剩下的小正方体有多少个？小正方体有多少个？【例【例 3434】 用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体用大小相等的无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体ABCDA1B1C1D1( (如图如图) )，大正方体内的对角线，大正方体内的对角线AC1，BD1，CA1

26、，DB1所穿的所穿的第8题小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了正方体共用了 401 个，问：无色透明小正方体用了多少个个，问：无色透明小正方体用了多少个? ?17D1A1DABB1C1C【例【例 3535】 连接正方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示）连接正方体各面的中心构成一个正八面体（如图所示） 。已知正方体之边长为。已知正方体之边长为12cm，请问正八面体之体积为多少立方厘米？，请问正八面体之体积为多少立方厘米？第4题【例【例 3636】如图如图, ,已知已知A、B、C分别

27、是相邻的三条棱的中点沿三个中点连成一个正三分别是相邻的三条棱的中点沿三个中点连成一个正三角形，把原来的立方体切掉一角如果原来的立方体棱长为角形，把原来的立方体切掉一角如果原来的立方体棱长为 8，求：，求：切掉的小部分的体积是多少？切掉的小部分的体积是多少？18剩下的大部分的体积是多少？剩下的大部分的体积是多少？ACB【例【例 3737】 如图，正方体的棱长为如图，正方体的棱长为6cm，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个正三角形形，而连接其中三个顶点形成一个正三角形正方体夹在六边形与三角形之间正方体夹在六边形与三角形之

28、间的立体图形有的立体图形有个面，它的体积是个面，它的体积是cm3【巩固】如图，原正方体的棱长为【巩固】如图，原正方体的棱长为 12 厘米，沿图中的线将正方体切掉正面的部分，求剩厘米，沿图中的线将正方体切掉正面的部分，求剩下不规则立体图形的体积下不规则立体图形的体积第9题【例【例 3838】如图，是一个正方体，将正方体的如图，是一个正方体，将正方体的A、C、B、D四个顶点两两连接就构成四个顶点两两连接就构成一个正四面体，已知正方体的边长为一个正四面体，已知正方体的边长为 3，求正四面体的体积，求正四面体的体积. .19ACABDBDC【例【例 3939】 一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点

29、，沿这三条棱的三个中点，从一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积 ( (如下图所如下图所示示) )和正方体体积的比是多少？和正方体体积的比是多少？【例【例 4040】选项中有选项中有 4 个立方体，其中是用左边图形折成的是个立方体，其中是用左边图形折成的是( )( )ABCD20【例【例 4141】图图 1 是下面是下面的表面展开图的表面展开图甲正方体；甲正方体；乙正方体；乙正方体；丙正方体；丙正方体；甲正方体或丙正方体甲正方体或丙正方体甲乙丙【例【例

30、 4242】图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于图中是一个直三棱柱的表面展开图，其中，黄色和绿色的部分都是边长等于 1的正方形问这个直三棱柱的体积是多少？的正方形问这个直三棱柱的体积是多少？21黄绿111【例【例 4343】如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形如图是一个四棱锥的展开图，该展开图由正三角形和正方形构成，其中正方形的面积为的面积为 8 平方厘米，那么该四棱锥的体积为多少？平方厘米，那么该四棱锥的体积为多少？【例【例 4444】如如图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型图，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型( (沿

31、虚线折，沿实线粘沿虚线折，沿实线粘) )这这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？22【例【例 4545】 右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中是边长为右图是个有底无盖的容器的平面展开图，其中是边长为 18 厘米的正方形，厘米的正方形，是同样大的等腰直角三角形，是同样大的等腰直角三角形， 是同样大的等边三角形是同样大的等边三角形 那么，那么，这个容器的容积是这个容器的容积是毫升毫升【例【例 4646】如图左边为某个容器的展开图，右边的正六边形是该容器的盖子，该容器所有如图左边为某个容器的展开图，右边的正六边形是该容器的盖子，该容器所有23表面都

32、是正多边形表面都是正多边形( (正方形、正三角形、正六边形正方形、正三角形、正六边形) )，其中正方形的面积为，其中正方形的面积为 18，那么该容器的容积为多少？那么该容器的容积为多少？【例【例 4747】 右图中的是同样的小等边三角形，也是等边三角形且边长为右图中的是同样的小等边三角形，也是等边三角形且边长为的的 2 倍，是同样的等腰直角三角形，是正方形那么，以倍，是同样的等腰直角三角形，是正方形那么，以为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体图为平面展开图的立体图形的体积是以为平面展开图的立体图形体积的形体积的倍倍24【例【例 4848】图和图是以正方形和等边三角形为面的立体图形

33、的展开图，图和图是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图， 图中所有的边图中所有的边长都相同请问：图能围起来的立体图形的体积是图能围起来的立体图形长都相同请问：图能围起来的立体图形的体积是图能围起来的立体图形的体积的几倍？的体积的几倍？图图图图【例【例 4949】有有甲、乙、丙甲、乙、丙3 3 种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的种大小不同的正方体木块，其中甲的棱长是乙的棱长的1，乙，乙225的棱长是丙的棱长的的棱长是丙的棱长的2如果用甲、乙、丙如果用甲、乙、丙3 3 种木块拼成一个体积尽可能小的种木块拼成一个体积尽可能小的3大正体，每种至少用一块，那么最少需要这大正体，每种至

34、少用一块，那么最少需要这 3 3 种木块一共多少块种木块一共多少块? ?【例【例 5050】将将一个长一个长 2828cmcm，宽，宽 1818cmcm的长方形铁片的四个角各截去一个边长为的长方形铁片的四个角各截去一个边长为 4 4cmcm的正方的正方形。再将此铁片折成一个无盖的长方形容器。容器的容积为形。再将此铁片折成一个无盖的长方形容器。容器的容积为cmcm。【例【例 5151】如如图，图， 正方体的棱长为正方体的棱长为6cm， 连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点形成一个三角形。正方体夹在六边形与三角形之间的立方而连接

35、其中三个顶点形成一个三角形。正方体夹在六边形与三角形之间的立方体图形有体图形有个面，它的体积是个面，它的体积是cm3。3 326【例【例 5252】如如图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为图，一个有底无盖圆柱体容器，从里面量直径为 1010 厘米，高为厘米，高为 1515 厘米在厘米在侧面距离底面侧面距离底面9 9厘米的地方有个洞厘米的地方有个洞 这个容器最多能装这个容器最多能装毫升水毫升水 （取取 3.143.14） 【例【例 5353】威威力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径力集团生产的某种洗衣机的外形是长方体，装衣物部分是圆柱形的桶，直径4040 厘米

36、，深厘米，深 3636 厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的厘米，已知该洗衣机装衣物的空间占洗衣机体积的2525，长方，长方体外形的长为体外形的长为 5252 厘米，宽厘米，宽 5050 厘米。问：高是多少厘米厘米。问：高是多少厘米? ?【例【例 5454】有有一种饮料的瓶身如下图所示，容积是一种饮料的瓶身如下图所示，容积是3 3 升。现在它里面装了一些饮料，正放升。现在它里面装了一些饮料，正放时饮料高度为时饮料高度为 2020 厘米，倒放时空于部分的高度为厘米，倒放时空于部分的高度为 5 5 厘米。那么瓶内现有饮料厘米。那么瓶内现有饮料升。升。27【例【例 5555】世世界上最早的灯

37、塔于公元界上最早的灯塔于公元 270270 年，塔分三层，每层都高年，塔分三层，每层都高 2727 米，底座呈正四棱米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥。上部的体积是底座的体积的柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥。上部的体积是底座的体积的_._.( (A) )【例【例 5656】一一个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸个圆锥形容器甲与一个半球形容器乙，它们圆形口的直径与容器的高的尺寸如图所示。若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？如图所示。若用甲容器取水来注满乙容器，问：至少要注水多少次？( (B) )( (C) )28【例【例 5757】一

38、一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水 （如图（如图 1 1） ，由图中的数据可推知瓶子的容由图中的数据可推知瓶子的容积是积是_立方厘米。立方厘米。 （取取 3.143.14）10106 68 84 4（单位：厘米）（单位：厘米）【例【例 5858】输输液液 100100 毫升，每分钟输毫升，每分钟输2.52.5 毫升。请你观察第毫升。请你观察第1212 分钟时吊瓶图像中的数据，分钟时吊瓶图像中的数据，回答整个吊瓶的容积是多少毫升？回答整个吊瓶的容积是多少毫升？【例【例 5959】下下图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为图是一个直圆柱形状的玻璃杯，一个长为1212 厘米

39、的直棒状细吸管厘米的直棒状细吸管( (不考虑吸不考虑吸管粗细管粗细) )放在玻璃杯内。当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可放在玻璃杯内。当吸管一端接触圆柱下底面时，另一端沿吸管最少可露出上底面边缘露出上底面边缘 2 2 厘米，最多能露出厘米，最多能露出4 4 厘米。则这个玻璃杯的容积为厘米。则这个玻璃杯的容积为_立方立方厘米。厘米。( (取取=3 14)(=3 14)(提示：直角三角形中“勾提示：直角三角形中“勾 6 6、股、股 8 8、弦、弦 1010”) )29【例【例 6060】一一个长方体的长、宽、高恰好是个长方体的长、宽、高恰好是3 3 个连续的自然数，并且它的体积的数值等

40、于个连续的自然数，并且它的体积的数值等于它的所有棱长之和的数值的它的所有棱长之和的数值的 2 2 倍，那么这个长方体的表面积是（倍，那么这个长方体的表面积是（）A. 74. 74B. 148. 148C. 150. 150D. 154. 154【例【例 6161】用用棱长是棱长是 1 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，求该图形的表面积。厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，求该图形的表面积。【例【例 6262】（如右图）将高都是如右图）将高都是 1 1 米，底面半径分别为米，底面半径分别为 1.51.5 米、米、1 1 米和米和 0.50.5 米的三个圆柱米的三个圆柱组成一个物体求这个

41、物体的表面积（取组成一个物体求这个物体的表面积（取3 3） 【例【例 6363】这这里有一个圆柱和一个圆锥（如右图）里有一个圆柱和一个圆锥（如右图） ，它们的高和底面直径都标在图上，单，它们的高和底面直径都标在图上，单位是厘米。请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？位是厘米。请回答：圆锥体积与圆柱体积的比是多少？30【例【例 6464】两两个同样材料做成的球个同样材料做成的球A和和B，一个实心，一个空心。，一个实心，一个空心。A的直径为的直径为 7 7、重量为、重量为2222，B的直径为的直径为 10.610.6、重量为、重量为 33.333.3。问：哪个球是实心球。问：哪个球是实心球? ?【

42、例【例 6565】铁铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。问：路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成，尺寸如下图所示。问：该油罐车的容积是多少立方米该油罐车的容积是多少立方米?(?(=3.1416)=3.1416)【例【例 6666】某某工厂原用长工厂原用长 4 4 米，米， 宽宽l米的铁皮围成无底无顶的的正方体形状的产品存放处，米的铁皮围成无底无顶的的正方体形状的产品存放处，31恰好够放周的产品。恰好够放周的产品。现在产量增加了现在产量增加了 2727，问：问：能否还用原来的铁皮围成存能否还用原来的铁皮围成存放处，装下现在一周的产品放处，装下现在一周的产品?

43、?【例【例 6767】有有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是 1010 厘米、厘米、2020 厘米，杯中盛有适厘米，杯中盛有适量的水量的水 甲杯中沉没着一铁块，甲杯中沉没着一铁块， 当取出此铁块后，当取出此铁块后， 甲杯中的水位下降了甲杯中的水位下降了 2 2 厘米；厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢问：这时乙杯中的水位上升了然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米多少厘米? ?【例【例 6868】边边长长l米的正方体米的正方体 21002100 个，堆成了一个实心的长方体。它的高是个，堆成了一个实心的长方

44、体。它的高是 1010 米，长、米，长、宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米宽都大于高。问长方体的长与宽的和是几米? ?32【例【例 6969】下下图图a a是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直是一个密封水瓶的切面图，上半部为圆锥状，下半部为圆柱状，底面直径都是径都是 1010 厘米，水瓶高度是厘米，水瓶高度是 2626 厘米，瓶中液面的高度为厘米，瓶中液面的高度为 1212 厘米，将水瓶倒厘米，将水瓶倒置后，置后，如下图如下图b b，瓶中液面的高度是瓶中液面的高度是 1616 厘米，厘米，则水瓶的容积等于则水瓶的容积等于_立方立方厘米厘米. .（3.143.14，

45、水瓶壁厚不计），水瓶壁厚不计）【例【例 7070】一一块长方形玻璃，长截去块长方形玻璃，长截去 5 5 分米，宽截去分米，宽截去 3 3 分米，剩下的部分是正方形。已知分米，剩下的部分是正方形。已知截去的面积是截去的面积是 7171 平方分米，那么剩下的正方形的面积是平方分米，那么剩下的正方形的面积是平平方分米。方分米。【例【例 7171】如如图图 7 7，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长是的和是的周长是的和是 240240 厘米，面积的和是厘米，面积的和是 10001000 平方厘米，那么阴影部分

46、的面积平方厘米，那么阴影部分的面积是是平方厘米。平方厘米。33【例【例 7272】用用若干个棱长为若干个棱长为 1 1 的小正方体铁块焊接成的几何体，从正面，侧面，上面看到的小正方体铁块焊接成的几何体，从正面，侧面，上面看到的视图均如图所示，那么这个几何体至少由的视图均如图所示，那么这个几何体至少由个小正方体铁块焊接而个小正方体铁块焊接而成。成。【例【例 7373】若若长方体的三个侧面的面积分别是长方体的三个侧面的面积分别是 6 6，8 8，1212，则长方体的体积是，则长方体的体积是。【例【例 7474】如如果一个边长为果一个边长为 2 2 厘米的正方体的体积增加厘米的正方体的体积增加 20

47、8208 立方厘米后仍是正方形，则边立方厘米后仍是正方形，则边长增加长增加_厘米。厘米。34【例【例 7575】 用用 125125 个边长为个边长为 1 1 厘米的正方体可以拼成一个边长为厘米的正方体可以拼成一个边长为 5 5 厘米的正方体，要使厘米的正方体，要使拼成的立方体的边长变为拼成的立方体的边长变为 6 6 厘米，厘米， 则需要增加边长为则需要增加边长为 1 1 厘米的正方体厘米的正方体_个。个。【例【例 7676】 沿图沿图 4 4 的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积是的虚线折叠，可以围成一个长方体，它的体积是立方厘立方厘米。米。【例【例 7777】将将 1 1，2 2，3

48、3，4 4，5 5，6 6 分别填在右图中的每个方格内，使折叠成的正方形中对分别填在右图中的每个方格内，使折叠成的正方形中对面数字的和相等。面数字的和相等。【例【例 7878】 把把 2 2、4 4、6 6、8 8、1010、1212 这六个数字依次写在一个立方体的正面、背面、两个这六个数字依次写在一个立方体的正面、背面、两个侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，如图侧面以及两个底面上，然后把立方体展开，如图 1 1，最左边的正方形上的数字，最左边的正方形上的数字是是 1212，则最右边的正方形上的数字是，则最右边的正方形上的数字是。35【例【例 7979】图图xxxx0402_050402_

49、05 表示正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是表示正方体的展开图，将它折叠成正方体，可能的图形是A A、B B、C C、D D中的中的_ 。( (填填A A、B B、C C、D D之一之一) )【例【例 8080】如如下图，一个正方体木块放在桌面上，每个面内都下图，一个正方体木块放在桌面上，每个面内都 画有若干个点，相对的两画有若干个点，相对的两个面内的点数和都是个面内的点数和都是 1313，京京看见上、左、前三个面内的点数的和诗，京京看见上、左、前三个面内的点数的和诗 1616，庆，庆庆看见上、庆看见上、 右、右、 后三个面内的点数和是后三个面内的点数和是 2424。 那么贴着桌面

50、的那个面的点数是那么贴着桌面的那个面的点数是_.【例【例 8181】下下列图形经过折叠不能围成正方体的是列图形经过折叠不能围成正方体的是_._.36【例【例 8282】如如图，图， 圆锥形容器中装有水圆锥形容器中装有水 5050 升，水面高度是圆锥高度的一半。这个容器最升，水面高度是圆锥高度的一半。这个容器最多能装水多能装水升。升。【例【例 8383】将长为将长为 5 5，宽为，宽为 3 3，高为，高为 1 1 的长方体木块的表面涂上漆，再切成的长方体木块的表面涂上漆，再切成1515 块棱长为块棱长为l l的小正方体。则三个面涂漆的小正方体有的小正方体。则三个面涂漆的小正方体有_块。块。【例【