河南省郑州市第一中学2020届高三数学12月联考试题 理（PDF）答案.pdf

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1、20 届（高三）届（高三）12 月联考理科数学试题参考答案月联考理科数学试题参考答案 第卷第卷 （选择题，共（选择题，共 60 分）分） 一选择题：一选择题： 本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B A C B B C A D C C 第卷第卷 （非选择题，共（非选择题，共 90 分）分） 二填空题：二填空题： 本大题共本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13. 43; 14.216; 15. 413，; 16. 三解答题：三解答题： 本大题共本大题共 6 小题解答应写出文字说明，证明过程或演算

2、步骤小题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17 (1)证明：因为112321nnnnnaSSSn+=， 所以 12(21)21nnnSSn+=，所以122121nnSSnn+=+ 又11a =，所以1101S= 数列21nSn是以 1 为首项，2 为公比的等比数列6 分 (2)由(1)知，1221nnSn=，所以1(21) 2nnSn= 所以 211 3 25 2(21) 2nnTn= + + +， 故 2321 23 25 2(21) 2nnTn= + + + -，得211 2 (222)(21) 2nnnTn= + + 221 2(21) 2(32 ) 231 2nnnnn= + =

3、， 所以 (23) 23nnTn=+ 12 分 18. 解： （1）当2 2PB =时， 平面PAD 平面ABCD， 1 分 证明如下：在PAB中，因为2,2 2ABPAPB=，所以ABPB2 分 又ABAD，ADPAA=，所以AB 平面PAD， 3 分 又AB 平面ABCD，所以平面PAD 平面ABCD； 4 分 764（2）分别取线段,AD BC的中点,O E，连接,PO OE，因为ADP为等边三角形，O为AD的中点，所 以POAD，,O E为,AD BC的中点，所以/OEAB, 又ABAD，所以OEAD，故POE为二面角PADB的平面角，所以150POE=， 6 分 如图， 分别以,OA

4、 OE的方向以及垂直于平面ABCD向上的方向作为, ,x y z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，因为3OP=，150POE=，所以33(0,)22P，(1,0,0)A，(1,2,0)B，( 1,1,0)C . 可得(0,2,0)AB =，7353(1,),( 1,)2222PBPC= ,，8 分 设( , , )x y z=n为 平 面PBC的 一 个 法 向 量 ， 则 有0,0PBPC=nn， 即7302253022xyzxyz+= +=，令1x =，来源:学+科+网 可得(1, 2, 4 3)=n， 10 分 设AB与平面PBC所成角为，则有|sin|ABAB=nn 22242

5、1( 2)( 4 3)=+ + 253= 所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为2 5353.12 分 19. 解：(1)依题设12(,0),( ,0)AaA a，则1(1,0)FAa= ，2(1,0)FAa= 由121FA FA= ，得：(1)(1)1aa =， 解得22a =，又因为1c =，所以2222 1 1bac= = 所以椭圆C的方程为2212xy+= 4 分 (2)圆 C 上存在点 E 使得四边形 ADBE 为菱形 依题意设直线l的方程为(1)yk x=，设1122( ,), (,)A x yB x y，弦AB的中点为00(,)M x y， 联立22(1)12yk xxy=+=

6、，得：2222(21)4220kxk xk+=， 则2212122242(1),2121kkxxx xkk+=+， 所以212022221xxkxk+=+，002(1)21kyk xk= +， 则直线MD的方程为22212()2121kkyxkkk+= +， 令0y =，得2221Dkxk=+，则22(,0)21kDk +， 若四边形ADBE为菱形，则0022EDEDxxxyyy+=+=， 所以2023221EDkxxxk=+，022221EDkyyyk= +， 若点E在椭圆C上，则22222132()()142121kkkk+ =+， 即4222982(21)kkk+=+， 整理得42k =

7、，解得42k = ， 所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形 12 分 20.解：(1)由已知频数表得：() = 35 5200+ 45 30200+ 55 40200+ 65 50200 +75 45200+ 85 20200+ 95 10200= 65, () = (35 65)2 0.025 + (45 65)2 0.15 + (55 65)2 0.2 +(65 65)2 0.25 + (75 65)2 0.225 +(85 65)2 0.1 + (95 65)2 0.05 = 210, 由196 2 225,则14 210,所以 14, 则 X 服从正态分布(65,14), 所以

8、(51 93) = ( + 2) =(2+2)+(+)2=0.9545+0.68272= 0.8186；6 分 (2)显然,( (0) = 1；4 分 （2）( )xfxeax= 由,得 2对一切 0恒成立, 当 = 1 时 , 可 得 , 所 以 若 存 在 , 则 正 整 数a的 值 只 能 取1,26 分 下 面 证 明 当 = 2 时 , 不 等 式 恒 成 立 , 设( )22lnxeg xxxx=， 由() 2+ 1 2 , 0( 0), 当0 2时, 即()在(0,2)上是减函数,在(2,+)上是增函数, () (2) =14(2 4 42) 14(2.72 4 42) 14(3

9、 16) 0, 当 = 2时,不等式恒成立, 所以a的最大值是212 分 22解：(1)由32sin=+得22 sin3+=， 将222sinxyy=+=代入上式中， 得曲线C的普通方程为22230 xyy+ =4 分 (2)将l的参数方程2cos ,1sin,xtyt= += +(t为参数)代入曲线C的普通方程，消去, x y得 得24(sincos )40tt+= 因为直线l与曲线C有两个不同的交点， 所以216(sincos )160 =，因为22sincos1+=， 所以sincos0， 又0，所以2， 设方程的两根为12,t t，则121 24(cossin )0,40tttt+=，

10、 所以120,0tt， 所以1212| |()4(sincos)4 2sin()4AMANtttt+=+= +=， 由2得， 3444，所以2sin()124， 从而44 2sin()4 24， 即|AMAN+的取值范围是(4,4 2 10 分 23解：（1）(1)( 1) |1|1| 1ffaa+= +， 若1a时，则111aa + +，即21，即1a时恒成立； 若11a 时，则1(1)1aa+，解得12a ，所以112a ； 若1a 时，则1(1)1aa +，即21 不成立，此时不等式无解 综上所述，a的取值范围是1(,)2 5 分 （ 2 ） 由 题 意 知 ， 不 等 式 对 于,(, )x ya 恒 成 立 ， 等 价 于maxmin5( )(|)4f xyya+， 当(, )xa 时，222( )()24aaf xxaxx= += +， 所以2max( )( )24aaf xf=， 又因为555| |()()| |444yyayyaa+=+，当且仅当5()()04yya+即54ya时，等号成立， 所以min55(|)44yyaa+=+，所以2544aa+，解得15a ， 结合0a ，所以a的取值范围是(0,5 10 分