广东省深圳市2020届高三数学第二次线上统一测试（4月）试题 理（PDF）参考答案.pdf

《广东省深圳市2020届高三数学第二次线上统一测试（4月）试题 理（PDF）参考答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省深圳市2020届高三数学第二次线上统一测试（4月）试题 理（PDF）参考答案.pdf（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 1 页 共 10页 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试 理科数学试题答案及评分参考 一、选择题 1. B 2. C 3. A 4. C 5. D 6. D 7. A 8. A 9. D 10. B 11. B 12. A 二、填空题： 13. 14 14. 32 15. 1427 16. 63 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17（本小题满分 12 分） 在ABC中，内角A、B、C对边分别是a、b、c，已知2sinsinsinBAC= （1）求证：03B； （2）求22sinsi

2、n12ACB+的取值范围. 解：解：（1）由正弦定理可得 2sinsinsinabcRABC=， sin2aAR=，sin2bBR=，sin2cCR=， 2 分 2sinsinsinBAC=， 2bac=，4 分 222cos2acbBac+=2122acacac=， 而0B 03B. 6 分 绝密绝密启封并使用完毕前启封并使用完毕前 试题类型：试题类型：A 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 2 页 共 10页 （2）22sinsin12ACB+ cos()sinA CB=+ cossinBB=+2sin()4B=+， 8 分 由（1）知03B， 7

3、4412B+， 10 分 12sin()24B + 即22sinsin12ACB+的取值范是2, 1 (. 12 分 18(本小题满分 12 分) 如图所示，四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，/ /ADBC，1SAABBCCD=，2AD = （1）在棱SD上是否存在一点P,使得/ /CP平面SAB?请证明你的结论； （2）求平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值 证明证明：（1）当点P为棱SD的中点时, / /CP平面SAB.证明如下: 取SA的中点F,连结FP、FB、PC，则 / /FPAD且12FPAD=，2 分 / /ADBC，112BCAD=， / /FPBC且FPBC=， 四

4、边形FBCP为平行四边形，4 分 / /CPBF， CP 平面SAB，BF 平面SAB， / /CP平面SAB 6 分 （2）在平面ABCD内过点A作直线AD垂线Ax， SA平面ABCD， SAAD，SAAx， 直线AS、Ax和AD两两垂直， 以点A为原点，分别以直线Ax、AD和AS为x、y和z建立如图所示的直角坐标系， 过点B作BEAD交直线AD于E， A D B C S x z y E P F 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 3 页 共 10页 / /ADBC，1ABBCCD=，2AD =， 12AE =，32BE =， 从而可得(0,0,0)

5、A，3 1(,0)22B，3 3(,0)22C，(0,2,0)D，(0,0,1)S，则 (0,0,1)AS =，3 1(,0)22AB =，(0,2, 1)SD=，31(,0)22DC =，8 分 设平面SAB的法向量为1111( ,)nx y z=，平面SCD的法向量为2222(,)nxy z=，则 110,0,nASnAB=220,0,nSDnDC= 1110,310,22zxy=+=222220,310,22yzxy= 取13x =，23x =，可得 1( 3, 3,0)n =，2( 3,3,6)n =， 10 分 121212cos,| |n nn nnn=22222( 3, 3,0)

6、 ( 3,3,6)14( 3)( 3)( 3)36= + +, 平面SAB和平面SCD所成锐二面角的余弦值为14. 12 分 19（本小题满分 12 分） 已知椭圆22:1124xyC+=，A、B分别是椭圆C长轴的左、右端点，M为椭圆上的动点. （1）求AMB的最大值，并证明你的结论； （2）设直线AM的斜率为k，且11(,)23k ，求直线BM的斜率的取值范围. 解：解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设00(,)M xy00( 2 32 3,02)xy. 过点M作MHx轴，垂足为H，则0(,0)H x0(02)y， 1 分 于是，有 002 3|tan|xAHAMHMHy+=，002 3|ta

7、n|xBHBMHMHy=， 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 4 页 共 10页 tantan()AMBAMHBMH=+tantan1tantanAMHBMHAMHBMH+=022004 312yxy=+，3 分 点00(,)M xy在椭圆C上， 22001124xy+=，2200123xy=， 02 3tanAMBy= ， 5 分 而002y， 02 3tan3AMBy= ， 点0AMB， AMB的最大值为23，此时02y =，即点M为椭圆C的上顶点. 根据椭圆的对称性，当点M为椭圆C的短轴的顶点时，AMB取最大值，其最大值为23. 7 分 （2）

8、设直线BM的斜率为k，00(,)M xy，则 002 3ykx=+，002 3ykx =， 202012yk kx=， 又22001124xy+=，2200123xy=， 13k k= ， 10 分 11(,)23k ， 213k， 故直线BM的斜率的取值范围为2(,1)3. 12 分 20（本小题满分 10 分） 已知函数( )ln(1)f xx=+,( )exg x =（e为自然对数的底数） 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 5 页 共 10页 （1）讨论函数( )( )xaxf xx+=在定义域内极值点的个数； （2）设直线l为函数( )f x

9、的图象上一点00(,)A xy处的切线，证明：在区间(0,)+上存在唯一的0 x，使得直线l与曲线( )yg x=相切 解：解：（1）( )( )xaxf xx+=ln(1)xaxx+=+1x （且0)x ， 2221( )1(1)axaxaxxxxx+=+=， 令2( )h xxaxa=+，24aa =， 1 分 当240aa =时，即当04a时，( )0 x，此时，( )x在( 1,0)和(0,)+单调递增，无极值点； 2 分 当240aa =时，即当0a 或4a 时， 函数2( )h xxaxa=+有两个零点, 2142aaax =，2242aaax +=， （i）当0a 时， 因为22

10、21244441022aaaaaaax + =，所以2101xx ， 3 分 所以函数( )x在1( 1,)x单调递增， 在1(0)x，和2(0)x，上单调递减， 在2()x，+上单调递增，此时函数( )x有两个极值点； 4 分 （ii）当4a 时， 因为2222244441022aaaaaaax + =， 所以121xx ，此时( )0 x，( )x在( 1,0)和(0,)+单调递增，无极值点.5 分 综上所述，当0a 时，函数( )x无极值点，当0a 时，函数( )x有两个极值点.6 分 （2）因为1( )1fxx=+， 所以函数( )f x的图象上一点00(,)A xy处的切线l的方程可

11、表示为 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 6 页 共 10页 0001()1yyxxx=+， 9 分 设直线l与曲线( )yg x=相切于点11( ,e )xB x， 因为( )exg x=， 所以1100001001e,1ln(1),1e(),1xxxyxyxxx=+=+=+ 消去1x并整理，得 0001ln(1)0 xxx+=, 11 分 由（1）可知，当1a =时，函数1( )ln(1)1)xxxxx+=+ （在(0,)+单调递增， 又1(e 1)0e 1= ，222e2(e1)0e1=， 所以函数( )x在2(e 1,e1)上有唯一的零点，又

12、因为( )x在(0,)+单调递增， 所以方程0001ln(1)0 xxx+=在(0,)+上存在唯一的根， 故在区间(0,)+上存在唯一的0 x，使得直线l与曲线( )yg x=相切12 分 21（本小题满分 12 分） 2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）. （1）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他们的年龄数据，得下面的频数分布表： 由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄Z服从正态分布2( ,15.2 )N，其

13、中近似为这 100 名患者年龄的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).请估计该省新冠肺炎患者年龄在70岁以上（70）的患者比例； 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 7 页 共 10页 （2）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占10%，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者是否确诊相互独立.现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按n（120n且n是20的约数）个人一组平均分组，并将同组的n个人每人抽取的一

14、半血液混合在一起化验，若发现新冠病毒，则对该组的n个人抽取的另一半血液逐一化验，记n个人中患者的人数为nX，以化验次数的期望值为决策依据，试确定使得 20 人的化验总次数最少的n的值 参考数据参考数据：若Z),(2N，则()0.6826PZ+=， (22 )0.9544PZ+=，(33 )0.9973PY+=， 40.90.66，0.590.95，0.350.910. 解：解：(1) 2 156 25 12 35 18 4522 5522 65 12 754 852 9554.8100+ + + =， 2 分 所以(54.8 15.254.8 15.2)(39.670)0.6826PZPZ+=

15、， 1(39.670)1 0.6826(70)0.158715.87%22PYP Z=， 则可估计该省确诊新冠肺炎患者年龄在70岁以上的患者比例为15.87%.5 分 (2)解法一：解法一：根据题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为101，n的可能取值为 2，4，5，10， 当2 4 510n， ， ，时，110( ,)nXB n， 7 分 对于某组n个人，化验次数Y的可能取值为1，1+n， 9110nP Y =()()，91110nP Yn=+= ()()， 9991111101010nnnE Ynnn= +=+ ( )()()()()， 9 分 则20人的化验总次数为209191=2

16、0 1+1010nnf nnnnn=+ ( )()()， 经计算2 =13.8f ( )，411.8f( )，512.2f( )，1015f(). 所以，当4=n时符合题意，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少 12 分 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 8 页 共 10页 解法二：解法二：根据题意，每名密切接触者确诊的概率均为101，n的可能取值为 2，4，5，10， 当2 4 510n， ， ，时，110( ,)nXB n， 7 分 设以n个人为一组时，组内每人所需的化验次数为Y，则Y的可能取值为1n，n11+， 1910()()nP Yn=

17、，191110()()nP Yn= += ， 则191919111101010nnnE Ynnn=+= +( )()()()()， 9 分 则 20 人所需的化验次数为1920 1+10nf nn=( )()， 2 =13.8( )f，411.8f( )，512.2( )f，1015()f. 所以，符合题意的4=n，即按 4 人一组检测，可使化验总次数最少 12 分 22（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中， 直线1l：cossinxtyt=，（t为参数，02 ） ， 曲线1C：2cos4+2sinxy=，（为参数），1l与1C相切于点A，以坐标原点

18、为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C的极坐标方程及点A的极坐标； （2）已知直线2l：=6R()与圆2C：24 3 cos20+=交于B，C两点，记AOB的面积为1S，2COC的面积为2S，求1221SSSS+的值. 解：解：（1）（解解法一）法一）由题意可知，1C的直角坐标方程为22(4)4xy+=， 将cossinxy=，代入得1C的极坐标方程为28 sin120+=， 2 分 又1l的参数方程为cossinxtyt=，（t为参数，02 ）， 得1l的极坐标方程为= R（）， 3 分 将= 代入得28 sin120+=，则2(8sin )4 120 = =，又02 ，

19、2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 9 页 共 10页 解得=3，此时=2 3，所以点A的极坐标为2 33（，）， 5 分 （解解法二）法二）由题意可知，1C的直角坐标方程为22(4)4xy+=， 将cossinxy=，代入，得1C的极坐标方程为28 sin120+=， 2 分 因为1l与1C相切于点A，所以在Rt1OC A中，有2211|2 3OAOCC A=， 111|1sin|2C AAOCOC=，所以16AOC=， 4 分 由极坐标的几何意义，可得A2 33（，）. 5 分 （2）由2C的极坐标方程为24 3 cos20+=，可得2C的直角坐标

20、方程为 22(2 3)5xy+=，所以圆心2(2 3,0)C ， 6 分 设1(, )3B，2(,)3C将=6代入24 3 cos20+=， 得2620+=，所以126+=，122 =， 7 分 又因为11113=.sin()2362AS =，222213=|.sin262SOC=， 8 分 所以2212121212212112()2622162SSSS +=+=. 10 分 23（本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲 已知( )2f xxa=. （1）当1a =时，解不等式( )21f xx+； （2）若存在实数(1,)a+，使得关于x的不等式2( )+ +1f xxma有实数解，求

21、实数m的取值范围. 解：解：（1）当1a =时，即解不等式221xx+， （法一）当2x时，原不等式等价于2 21xx+，所以3x， 所以不等式( )21f xx +的解集为空集， 2 分 当2x时，原不等式等价于221xx+，解得13x， 4 分 2020 年深圳市普通高中高三年级第二次线上统一测试（理数）试题参考答案 第 10 页 共 10页 综上所述，不等式( )21f xx +的解集为1(, )3. 5 分 （法二）当12x时，不等式221xx+显然成立； 2 分 当12x时，原不等式等价于22(2)21xx+()， 即23830 xx+ ，解得1123x， 4 分 综上所述，不等式( )21f xx +的解集为1(, )3. 5 分 （2）因为222( )+ +2 + +2111f xxxaxaaaa=+，显然等号可取，6 分 又(1,)a+，故原问题等价于关于a的不等式221ama+在(1,)+上有解，8 分 又因为2222=2(1)22 2(1)26111aaaaaa+=， 当且仅当2a =时取等号， 所以6m，即(6,)m+. 10 分