北京市第八中学2020届高三数学下学期自主测试试题（二）（PDF）答案.pdf

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1、北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第1 页/ 共6页 高三数学 20200321 双周练 参考答案及评分参考参考答案及评分参考 202003 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分 1140 129 132；(3, 2 3) 1463 155；2 55 注：第注：第 13、15 题第一空题第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分分. 三、解答题共三、解答题共 6 小小题，共题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证

2、明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共（本小题共 14 分）分） 解： （）因为2( )3sincossin222xxxf x=+ 31 cossin22xx=+ 311sincos222xx=+ 1sin()62x=+. .5 分 因为( )f x的最小正周期为2，即22T=， 所以=. .7 分 （）因为0,02x， 所以6626x. .10 分 若( )f x在区间0,2上取到最大值32，只需262， 所以43. .14 分 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案 D C A D A B B C C A 北京八中 2020 高三第二学期双周练(

3、二) 高三数学双周练(二)试题答案 第2 页/ 共6页 17.（本小题共（本小题共 14 分）分） 解： （）设高一年级有a人，高二年级有b人. 采用分层抽样，有75,33612 33612ab=. 所以高一年级有196人，高二年级有140人. .4 分 （II）从上表可知，从高二抽取的 5 名学生中，编号为 1，2，5 的学生是“运动达人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. .7 分 （III）的所有可能取值为1,2,3. .8 分 1232353(1)10C CPC=,2132353(2)5C CPC=,33351(3)10CPC=. 所以的分布列为

4、1 2 3 P 310 35 110 故的期望3319( )123105105E= + =. .14 分 18 （本小题共 （本小题共 14 分）分） （）证明:因为PAD是正三角形，O是AD的中点，所以 POAD. 又因为CD平面PAD，PO平面PAD，所以POCD. DCDAD=，CDAD，平面ABCD， 所以PO面ABCD. 4 分 （）如图，以O点为原点分别以OA、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则)32 , 0 , 0(),0 , 4 , 0(),0 , 0 , 2(),0 , 4 , 2(),0 , 4 , 2(),0 , 0 , 2(),0 , 0 ,

5、0(PGDCBAO， )3, 0 , 1(),3, 2 , 1(FE，)3, 2 , 1 (),0 , 2, 0(=EGEF， 设平面EFG的法向量为),(zyxm = =+=, 032, 02zyxy 令1=z，则 ) 10 , 3(，=m， 6 分 又平面ABCD的法向量) 1 , 0 , 0(=n，7 分 OzyxEFGPCDBA北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第3 页/ 共6页 设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为， 所以21|cos=nmnm. 所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为3. 9 分 （）假设线段PA上存在点M，使得直线

6、GM与平面EFG所成角为6， 设 1 , 0, =PAPM， PAGPPMGPGM+=+=， 所以)1 (32 , 4,2(=GM. 11 分 所以76423,cos|6sin2+=mGM， 13 分 整理得02322=+，无解， 所以，不存在这样的点M. 14 分 19.（本小题共（本小题共 14 分）分） 解： （）由椭圆的定义，得12|24PFPFa+=，2a = .2 分 将点( 2,1)P的坐标代入 22214xyb+=， 得 22114b+=， 解得2b = 所以，椭圆C的方程是22142xy+= .5 分 （）依题意，得( 2, 1)Q 设()00,M xy，则有220024xy

7、+=，02x ，01y .6 分 直线MP的方程为 0011(2)2yyxx =， 令0y =，得00021yxxy=， .8 分 所以 00021yxOEy= 直线MQ的方程为0011(2)2yyxx+ =， 北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第4 页/ 共6页 令0y =，得00021yxxy+=+， .10 分 所以 00021yxOFy+=+ 所以220000002000222=111yxyxyxOEOFyyy+ 2200202(42)=1yyy .12 分 = 4 所以OEOF为定值 .14 分 20 （本小题共 （本小题共 15 分）分）

8、解： （）因为函数( )lnf xxx=， 所以1( )lnln1fxxxxx=+=+, (1)ln1 11f=+ =. 又因为(1)0f=， 所以曲线( )yf x=在点(1,(1)f处的切线方程为1yx= . 4 分 （）函数( )lnf xxx=定义域为(0,)+， 由（）可知，( )ln1fxx=+. 令( )0fx =解得1ex =. 6 分 ( )f x与( )fx在区间(0,)+上的情况如下： x 1(0, )e 1e 1()e+， ( )fx 0 + ( )f x 极小值 所以，( )f x的单调递增区间是1()e+，； ( )f x的单调递减区间是1(0, )e. 10 分

9、北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第5 页/ 共6页 （）当1eex时，“( )1f xax”等价于“1lnaxx+”. 11 分 令1( )lng xxx=+，1 ,eex， 22111( )xg xxxx=，1 ,eex. 当1( ,1)ex时，( )0g x ，所以( )g x在区间1( ,1)e单调递减. 当(1,e)x时，( )0g x ，所以( )g x在区间(1,e)单调递增. 13 分 而1( )lneee 11.5eg=+= ， 11(e)lne11.5eeg=+= +. 所以( )g x在区间1 ,ee上的最大值为1( )e 1eg

10、=. 所以当e 1a 时，对于任意1 ,eex，都有( )1f xax. 15 分 21 （本小题共（本小题共 14 分）分） 解:（）由条件知AS1，必有A1，又naaa21均为整数，11=a. 2 分 AS2，由AS的定义及naaa21均为整数，必有A2，22=a. 4 分 （）必要性：由“naaa,21成等差数列”及11=a,22=a 得), 2 , 1(niiai=此时, 3 , 2 , 1nA=满足题目要求 从而) 1(21321+=+=nnnSA. 6 分 充分性：由条件知,21naaa且均为正整数，可得), 3 , 2 , 1(niiai= 故) 1(21321+=+nnnSA，

11、当且仅当), 3 , 2 , 1(niiai=时，上式等号成立. 于是当) 1(21+=nnSA时，), 3 , 2 , 1(niiai=，从而naaa,21成等差数列. 所以“naaa,21成等差数列”的充要条件是“) 1(21+=nnSA”. 8 分 （）由于含有n个元素的非空子集个数有12 n，故当10=n时，10231210=， 此时A的非空子集的元素之和最多表示1023个不同的整数m，不符合要求. 北京八中 2020 高三第二学期双周练(二) 高三数学双周练(二)试题答案 第6 页/ 共6页 而用11个元素的集合1024,512,256,128,64,32,16, 8 , 4 , 2

12、 , 1=A的非空子集的元素之和可以表示2047,2046, 3 , 2 , 1共2047个正整数. 因此当2020=AS时，n的最小值为 11. 10 分 当2020=AS时，n的最小值为 11.记102110aaaS+= 则20201110=+aS并且11101aS+. 事实上若11101aS+，11111022020aaS+=，则101011a，10101110 aS， 所以1010=m时无法用集合A的非空子集的元素之和表示，与题意不符. 于是122020111110+=aaS，得2202111a，*11Na ，所以101011a. 当101011=a时1010,499,256,128,64,32,16, 8 , 4 , 2 , 1=A满足题意 所以当2020=AS时，n的最小值为 11，此时na的最大值1010. 14 分