【3年中考2年模拟】（福建专版）2013年中考数学 热点题型 7.4观察归纳题（pdf） 新人教版.pdf

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1、?三大问题的第二个是三等分一个角的问题对于某些角， 如 、 角进行三等分并不难， 但是否所有角都可以三等分呢？例如 ， 若能三等分则可以画出 的角， 那么正十八边形及正九边形也都可以作出来了（ 注： 圆内接正十八边形每一边所对的圆心角为 ）其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的 观察归纳题题型特点 考查知识分为两类： 一是数字或字母规律探索性问题； 二是几何图形中规律探索性问题 通过观察、 试验、 归纳、 类比等活动获得数学猜想， 并能对所做出的猜想进行验证， 能进行一些简单的严密的逻辑推理论证， 并有条理地表达自己的证明 借助已有现象或推理过程的质疑， 考查推理意识和质疑能力

2、命题趋势通过观察、 试验、 归纳、 类比等活动， 探索事物的内在规律，考查学生的逻辑推理能力， 一般以选择题、 填空题或解答题为主要题型， 成为近几年来的中考热点【 例】（ 湖南岳阳） 图中各圆的三个数之间都有相同的规律， 据此规律， 第狀个圆中，犿（ 用含狀的代数式表示）【 命题意图分析】本题主要考查学生通过观察、 归纳、 类比等活动， 探索事物的内在规律， 本题属图形及数字变化规律题型【 解答】 ， ， ， ， 第狀个数为 （狀 ） ， ， ， 第狀个数为： （狀 ）第狀个圆中，犿 （狀） （狀） （狀 ） （狀 ） 狀 故答案为狀 【 方法点拨】根据 ， ， ， 得出， ， 第狀个数为

3、（狀 ） ， ， ， 第狀个数为 （狀 ） ， 即可得出第狀个圆中犿的值【 误区警示】本题的解题技巧在于纵向比较数字， ， 在这个数字间寻找规律， 最终求出犿的值误区在于有些同学横向比较数字，及， 之间的联系 （ 四川自贡） 一质点犘从距原点个单位的点犕处向原点方向跳动， 第一次跳动到犗犕的中点犕处， 第二次从犕跳到犗犕的中点犕处， 第三次从点犕跳到犗犕的中点犕处， 如此不断跳动下去， 则第狀次跳动后， 该质点到原点犗的距离为（）（ 第题）狀 狀 （ 第题）（ ）狀 狀 （ 山东枣庄） 如图， 矩形犃 犅 犆 犇的对角线犃 犆 ，犅 犆， 则图中五个小矩形的周长之和为（） （ 广东深圳） 如图

4、， 已知犕 犗 犖 ， 点犃、犃、犃在射线犗 犖上， 点犅、犅、犅在射线犗犕上，犃犅犃、犃犅犃、犃犅犃均为等边三角形， 若犗 犃， 则犃犅犃的边长为（）（ 第题） （ 湖南常德） 若图（） 中的线段长为， 将此线段三等分， 并以中间的一段为边作等边三角形， 然后去掉这一段， 得到图（） ， 再将图（） 中的每一段作类似变形， 得到图（） ， 按上述方法继续下去得到图（） ， 则图（） 中的折线的总长度为（）?第三个问题是倍立方埃拉托塞尼（ 公元前 年公元前 年） 曾经在记述一个神话时提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍， 有人主张将每边长加倍， 但我们都知道那是错误的， 因为

5、体积已经变成原来的倍这些问题困扰数学家一千多年都不得其解， 而实际上这三大问题都不可能用直尺、 圆规经有限步骤解决（ 第题） （ 湖北武汉） 若一列数犪，犪，犪， ， 其中犪，犪狀 犪狀 （狀为不小于的整数） ， 则犪的值为（） （ 浙江嘉兴） 一个纸环链， 纸环按“ 红黄绿蓝紫” 的顺序重复排列， 截去其中的一部分， 剩下部分如图所示， 则被截去部分纸环的个数可能是（）（ 第题） （ 山东日照） 观察图中正方形四个顶点所标的数字规律， 可知数 应标在（）（ 第题）第 个正方形的左下角 第 个正方形的右下角第 个正方形的左上角第 个正方形的右下角 （ 山东德州） 图（） 是一个边长为的等边三角

6、形和一个菱形的组合图形， 菱形边长为等边三角形边长的一半， 以此为基本单位， 可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（ 如图（） ） ， 依此规律继续拼下去（ 如图（） ） ， ， 则第狀个图形的周长是（）（ 第题） 狀 狀 狀 狀 二、填空题 （ 福建龙岩） 如图， 依次以三角形、 四边形、 、狀边形的各顶点为圆心画半径为的圆， 且圆与圆之间两两不相交把三角形与各圆重叠部分面积之和记为犛， 四边形与各圆重叠部分面积之和记为犛， ，狀边形与各圆重叠部分面积之和记为犛狀， 则犛 的值为（ 结果保留）（ 第题） （ 广东） 如图（） ， 将一个正六边形各边延长， 构成一个正六角星形犃 犉 犅 犇 犆

7、 犈， 它的面积为； 取犃 犅 犆和犇 犈 犉各边中点， 连结成正六角星形犃犉犅犇犆犈， 如图（） 中阴影部分； 取犃犅犆和犇犈犉各边中点， 连结成正六角星形犃犉犅犇犆犈， 如图（） 中阴影部分； ， 如此下去， 则正六角星形犃犉犅犇犆犈的面积为（ 第 题） （ 四川巴中） 观察下面一列数：， ， ， 根据你发现的规律， 第 个数是 （ 四川资阳） 观察分析下列方程：狓狓；狓狓 ；狓 狓 请利用它们所蕴含的规律， 求关于狓的方程狓狀狀狓 狀（狀为正整数） 的根， 你的答案是： （ 辽宁丹东） 将一些形状相同的小五角星如图所示的规律摆放， 据此规律， 第 个图形有个五角星（ 第 题） （ 辽宁本

8、溪） 如图是一组由菱形和矩形组成的有规律的图案， 第个图中菱形的面积为犛（犛为常数） ， 第个图中阴影部分是由连结菱形各边中点得到的矩形和再连结矩形各边中点得到的菱形产生的， 依此类推， 则第狀个图中阴影部分的面积可以用含狀的代数式表示为（狀， 且狀是正整数）?一是有 棵树， 每行四棵， 古罗马、 古希腊在 世纪就完成了 行的排列， 世纪高斯猜想能排 行， 世纪美国劳埃德完成此猜想， 世纪末两位电子计算机高手完成 行纪录， 跨入 世纪还会有新突破吗？（ 第 题）（ 第 题） （ 四川达州） 将边长分别为， ， ， 的正方形置于直角坐标系第一象限， 如图中方式叠放， 则按图示规律排列的所有阴影部

9、分的面积之和为 （ 贵州遵义） 在猜数字游戏中，小明写出如下一组数：， ， ， ， ， 小亮猜想出第六个数字是 ， 根据此规律， 第狀个数是 （ 广东肇庆） 观察下列一组数：， ， ，它们是按一定规律排列的， 那么这一组数的第犽个数是 （ 福建莆田） 如图， 在平面直角坐标系中，犃（，） ，犅（ ，） ，犆（ ， ） ，犇（，）把一条长为 个单位长度且没有弹性的细线（ 线的粗细忽略不计） 的一端固定在点犃处， 并按犃犅犆犇犃的规律紧绕在四边形犃 犅 犆 犇的边上， 则细线另一端所在位置的点的坐标是（ 第 题）（ 第 题） （ 山东济南） 如图， 矩形犅 犆 犇 犈的各边分别平行于狓轴或狔轴，

10、物体甲和物体乙分别由点犃（，） 同时出发， 沿矩形犅 犆 犇 犈的边作环绕运动， 物体甲按逆时针方向以个单位 秒匀速运动， 物体乙按顺时针方向以个单位 秒匀速运动， 则两个物体运动后的第 次相遇地点的坐标是 （ 辽宁沈阳） 有一组多项式：犪犫，犪犫，犪犫，犪犫， ， 请观察它们的构成规律， 用你发现的规律写出第 个多项式为 （ 广东湛江） 如图， 设四边形犃 犅 犆 犇是边长为的正方形， 以对角线犃 犆为边作第二个正方形犃 犆 犈 犉， 再以对角线犃 犈为边作笫三个正方形犃 犈 犌犎， 如此下去， 若正方形犃 犅 犆 犇的边长记为犪， 按上述方法所作的正方形的边长依次为犪，犪，犪， ，犪狀，

11、则犪狀（ 第 题）（ 第 题） （ 贵州六盘水） 如图是我国古代数学家杨辉最早发现的， 称为“ 杨辉三角”它的发现比西方要早五百年左右， 由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“ 杨辉三角” 中有许多规律， 如它的每一行的数字正好对应了（犪犫）狀（狀为非负整数） 的展开式中犪按次数从大到小排列的项的系数例如， （犪犫）犪犪 犫犫展开式中的系数，恰好对应图中第三行的数字； 再如（犪犫）犪 犪犫 犪 犫犫展开式中的系数，恰好对应图中第四行的数字请认真观察此图， 写出（犪犫）的展开式， （犪犫） （ 山东菏泽） 一个自然数的乘方， 可以分裂成若干个连续奇数的和例如：，和分别可以按如图所

12、示的方式“ 分裂” 成个、个和个连续奇数的和， 即 ； ； ； ； 若也按照此规律来进行“ 分裂” ， 则“ 分裂” 出的奇数中， 最大的奇数是（ 第 题） （ 湖北恩施）根据表中数的排列规律， 则犅犇 （ 广东湛江） 已知犃 ，犃 ，犃 ，犃 ， ， 观察前面的计算过程， 寻找计算规律计算犃（ 直接写出计算结果） ， 并比较犃犃 （ 填“” 或“” 或“” ） （ 四川达州） 用同样大小的小圆按如图所示的方式摆图形， 第个图形需要个小圆， 第个图形需要个小圆，第个图形需要个小圆， 第个图形需要 个小圆，按照?二是相邻两国不着同一色， 任一地图着色最少可用几色完成着色？五色已证出， 四色至今仅

13、美国阿佩尔和哈肯， 罗列了很多图谱， 通过电子计算机逐一验证完成， 全面的逻辑的人工推理证明尚待有志者这样的规律摆下去， 则第狀个图形需要小圆个（ 用含狀的代数式表示）（ 第 题） （ 山东威海） 如图， 直线犾狓轴于点（，） ， 直线犾狓轴于点（，） ， 直线犾狓轴于点（，） ， ， 直线犾狀狓轴于点（狀，）函数狔狓的图象与直线犾，犾，犾， ，犾狀分别交于点犃、犃、犃、 、犃狀函数狔 狓的图象与直线犾，犾，犾，犾狀分别交于点犅、犅、犅、 、犅狀如果犗 犃犅的面积记为犛，四 边 形犃犃犅犅的 面 积 记 作犛，四 边 形犃犃犅犅的面积记作犛， ， 四边形犃狀 犃狀犅狀犅狀 的面积记作犛狀， 那

14、么犛 （ 第 题） （ 江苏南京） 甲、 乙、 丙、 丁四位同学围成一圈依序循环报数， 规定：甲、 乙、 丙、 丁首次报出的数依次为， 接着甲报、乙报按此规律， 后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大， 当报到的数是 时， 报数结束；若报出的数为的倍数， 则报该数的同学需拍手一次在此过程中， 甲同学需要拍手的次数为 （ 广东模拟） 如图所示， 直线狔狓 与狔轴相交于点犃， 以犗 犃为边作正方形犗 犃犅犆， 记作第一个正方形； 然后延长犆犅与直线狔狓 相交于点犃， 再以犆犃为边作正方形犆犃犅犆， 记作第二个正方形； 同样延长犆犅与直线狔狓相交于点犃， 再以犆犃为边作正方形犆犃犅犆， 记作第三个

15、正方形； ， 依此类推， 则第狀个正方形的边长为（ 第 题） （ 哈尔滨模拟） 某体育馆用大小相同的长方形木块镶嵌地面， 第一次铺块， 如图（） ； 第二次把第一次铺的完全围起来， 如图（） ， 第三次把第二次铺的完全围起来， 如图（） ； 以此方法， 第狀次铺完后， 用字母狀表示第狀次镶嵌所使用的木块数为（ 第 题） （ 江苏常州模拟） 已知， 直线狔狀狀 狓槡 狀 （狀为正整数） 与两坐标轴围成的三角形面积为犛狀， 则犛犛犛犛 （ 江苏盐城模拟） 如图， 已知犗 犘犃、犃犘犃、犃犘犃、 均为等腰直角三角形， 直角顶点犘、犘、犘、 在函数狔狓（狓 ） 图象上， 点犃、犃、犃、 在狓轴的正半轴

16、上， 则点犘 的横坐标为（ 第 题）三、解答题 （ 山东济宁） 问题情境：用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放， 则第 个图共有多少枚棋子？（ 第 题（） ）建立模型：有些规律问题可以借助函数思想来探讨， 具体步骤： 第一步，确定变量； 第二步： 在直角坐标系中画出函数图象； 第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式； 第四步： 把另外的某一点代入验证， 若成立， 则用这个关系式去求解解决问题：根据以上步骤， 请你解答“ 问题情境”（ 第 题（） ） （ 四川资阳） 已知犪，犫是正实数， 那么犪犫槡犪 犫是恒成立的（） 由（槡犪槡犫） 恒成立， 说明犪犫槡犪 犫恒成立；（） 填空： 已知犪

17、，犫，犮是正实数， 由犪犫槡犪 犫恒成立， 猜测：犪犫犮也恒成立；（） 如图， 已知犃 犅是直径， 点犘是弧上异于点犃和点犅的一点，犘 犆犃 犅， 垂足为犆，犃 犆犪，犅 犆犫， 由此图说明犪犫槡犪 犫恒成立（ 第 题） （ 山东济宁） 观察下面的变形规律： ； ； ； 解答下面的问题：（） 若狀为正整数， 请你猜想狀（狀 ）；（） 证明你猜想的结论；（） 求和： （ 湖南邵阳） 数学课堂上， 徐老师出示了一道试题：如图（） 所示， 在正三角形犃 犅 犆中，犕是边犅 犆（ 不含端点犅、犆） 上任意一点，犘是犅 犆延长线上一点，犖是犃 犆 犘的平分线上一点， 若犃犕犖 ， 求证：犃犕犕犖（） 经

18、过思考， 小明展示了一种正确的证明过程， 请你将证明过程补充完整（ 第 题）证明： 在犃 犅上截取犈 犃犕 犆， 连结犈犕， 得犃 犈犕 犃犕 犅 犃犕犖， 犃犕 犅犅，犃犕犖犅 ， 又犆 犖平分犃 犆 犘， 犃 犆 犘 犕 犆 犖 又犅 犃犅 犆，犈 犃犕 犆，犅 犃犈 犃犅 犆犕 犆， 即犅 犈犅犕犅 犈犕为等边三角形 由得犕 犆 犖 在犃 犈犕和犕 犆 犖中，犃 犈犕犕 犆 犖（ ）犃犕犕犖（） 若将试题中的“ 正三角形犃 犅 犆” 改为“ 正方形犃犅犆犇”（ 如图（） ） ，犖是犇犆犘的平分线上一点， 则当犃犕犖 时， 结论犃犕犕犖是否还成立（ 直接给出答案， 不需要证明）（） 若将题

19、中的“ 正三角形犃 犅 犆” 改为“ 正多边形犃狀犅狀犆狀犇狀犡狀” ， 请你猜想： 当犃狀犕狀犖狀 时， 结论犃狀犕狀犕狀犖狀仍然成立（ 直接写出答案， 不需要证明） 解析通过对图（）（） 的观察， 可发现图（）（） 都是轴对称图形；从图形（） 可知每一条短线段的长为；从图形（） 可知每一条短线段的长为， 从而可以得出每一条短线段的长与图形序号之间的关系为（ ）狀 ；再看线段的条数， 根据轴对称只看左边， 图形（） 是两条， 图形（） 是条， 图形（） 是 条， 可以得出第（狀） 个图形线段的条数与序号狀的关系为狀 ， 所以综合起来折线的总长度为（ ）狀 狀 ， 当狀时， 折线的总长度为 解

20、析 将犪代入犪狀 犪狀 ， 得犪 ； 将犪代入犪狀 犪狀 ， 得犪 ； 将犪代入犪狀 犪狀 ， 得犪 解析 “ 红黄绿蓝紫” 有个， 是的倍数， 前面少了“ 蓝紫” ， 后面少了“ 红” ， 所以一共截去纸环个数可能是 个 解析 按的倍数向前递进， 则第 个正方形为（ 第题） 解析 寻找规律： 第一个图形周长为， 第二个图形周长为， 第三个图形周长为 ， 则第狀个图形周长为狀 解析犛 （狀 ） 犚 （ ） 解析 由三角形中位线知犇犈犉的面积为犃 犅 犆的面积的， 得正六角星形犃犉犅犇犆犈面积为正六角星形犃 犉 犅 犇 犆 犈面积的， 总结规律知正六角星形犃犉犅犇犆犈面积为 解析 寻找规律， 奇

21、数前是正号， 偶数前是负号 狓狀 或狓狀 解析 首先求得分式方程的解， 即可得规律： 方程狓犪 犫狓犪犫的根为狓犪或狓犫， 然后将狓狀狀狓 狀化为（狓）狀（狀 ）狓 狀（狀 ） ， 利用规律求解即可求得答案 解析 第个图形有小五角星 个， 第个图形有小五角星 个， 第个图形有小五角星 个， 第个图形有小五角星 个， 所以第 个图形有小五角星 个 （ ）狀 犛 解析 第个图形阴影面积是犛， 第个图形阴影面积是 犛， 由特殊可总结一般性 解析 阴影面积（ ）（ ）（ ）（ ） 狀狀 解析 分子按的乘方变化， 分母总比分子大 犽犽 解析 分子是偶数， 分母总比分子大 （ ，） 解析 此长方形的周长是

22、 ， 把 除以 还余， 所以这条长为 个单位长度细线另一端最终所在位置是点犅 （ ， ） 解析 利用行程问题中的相遇问题， 由于矩形的边长为和， 物体乙是物体甲的速度的倍， 求得每一次相遇的地点， 找出规律即可解答 犪 犫 解析 第狀个多项式为犪狀（ ）狀犫狀 （槡 ）狀 解析犪犃 犆， 且在直角犃 犅 犆中，犃 犅犅 犆犃 犆，犪槡 犪槡 同理犪槡 犪 ，犪槡 犪槡 ， 由此可知犪狀（槡 ）狀 犪（槡 ）狀 犪 犪犫 犪犫 犪 犫犫 解析由（犪犫）犪犫，（犪犫）犪 犪 犫犫， （犪犫）犪犪犫犪 犫犫，可得（犪犫）狀的各项展开式的系数除首尾两项都是外，其余各项系数都等于（犪犫）狀 的相邻两个系

23、数的和， 由此可得（犪犫）的各项系数依次为， 解 析 由， 分 裂 中 的 第 一 个 数 是： ； ， 分裂中的第一个数是： ； ，分 裂 中 的 第 一 个 数 是： ； ， 分 裂 中 的第 一个 数是： ； ， 分裂中的第一个数是： ；所以“ 分裂” 出的奇数中最大的是 （ ） 解析仔细观察每一条虚线或与虚线平行的直线上的数字从左至右相加等于最后一个数字， 犅 ， 犇 犅 ，犇 犅犇 解析犃 ，犃 ，犃 狀（狀 ） 解析， ， 则第狀个图形需要圆狀狀（狀 ） 解析 先求出犛 ， 再由相似知犛犛犛， 得犛 ， 再由相似知犛犛犛犛犛，得犛 ， 依此类推知犛 解析 将 个数据分成 组（ ）

24、， 而每组中甲均出现一次数到的倍数的机会， 所以甲一共要拍手 次 狀 解析 第个正方形边长为， 第个正方形边长为， 第个正方形边长为， 第个正方形边长为， 则第狀个正方形狀 狀 解析 第一次为个， 写成 ；第二次为 个， 写成 ；第三次为 个， 写成 ；则第狀次为狀 解析犛狀槡 狀槡 狀 狀（狀 ），犛犛犛 观察归纳题 解析犕到原点犗的距离为，犕到原点犗的距离为，犕到原点犗的距离为 解析 由勾股定理， 得犃 犅， 所以图中五个小矩形的周长之和为（犃 犅犅 犆） 解析 利用等腰三角形等边对等角的性质， 以及直角三角形 所对的直角边是斜边的一半， 得犃犃，犃犃 ，犃犃 ， 依次规律， 则犃犅犃的边

25、长为 槡槡 解析 由犘、犘、犘向狓轴作垂线， 可先求出犘（，） ， 再求出犘（槡 ，槡 ） ，犘（槡槡 ，槡槡 ） ， 则规律为犘 （槡 槡 ，槡槡 ） 以图形的序号为横坐标， 棋子的枚数为纵坐标， 描点： （，） ， （，） ， （， ） ， （， ） ， 依次连结以上各点， 所有各点在一条直线上设直线解析式为狔犽 狓犫， 把（，） ， （，） 两点坐标代入， 得犽犫 ，犽犫 ，解得犽 ，犫 所以狔 狓 验证： 当狓 时，狔 所以另外一点也在这条直线上当狓 时，狔 故第 个图有 枚棋子（ 第 题） （）（槡犪槡犫） ，犪 槡犪 犫犫 犪犫 槡犪 犫犪犫槡犪 犫（）槡犪 犫 犮理由如下：犪犫犮

26、 犪 犫 犮（犪犫犮） （犪犫犮犪 犫犫 犮犪 犮）（犪犫犮） （犪 犫 犮 犪 犫 犫 犮 犪 犮）（犪犫犮） （犪犫）（犫犮）（犮犪）犪，犫，犮是正实数，犪犫犮 犪 犫 犮 犪犫犮 犪 犫 犮同理犪犫犮槡犪 犫 犮也恒成立故答案为槡犪 犫 犮（） 如图， 连结犗 犘（ 第 题）犃 犅是直径，犃 犘 犅 又犘 犆犃 犅，犃 犆 犘犃 犘 犅 犃犅犃犃 犘 犆 犃 犘 犆犅 犃 犘 犆 犘 犅 犆犘 犆犃 犆犆 犅犘 犆犘 犆犃 犆犆 犅犪 犫犘 犆槡犪 犫又犘 犗犪犫，犘 犗犘 犆，犪犫槡犪 犫 （）狀狀 （）狀狀 狀 狀（狀 ）狀狀（狀 ）狀 狀狀（狀 ）狀（狀 ）（） 原式 （） 犕 犆 犖犃 犈犕 犆 （） 结论成立（）狀 狀