风险管理公式汇总(共9页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上风险管理公式与模型汇总 第一章 风险管理基础1. 概率 （第24 页）概率是对不确定性事件进行描述的有效的数学工具，是对不确定性事件发生可能性的一种度量。风险是未来结果的不确定性，概率是度量风险的基础。2. 随机事件与随机变量 （第25 页）在每次随机试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件。随机变量是用数值来表示随机事件的结果。3. 随机变量的数字特征 （第2627 页）关于随机变量的数字特征，最常用的概念是期望、方差和标准差。（1） 期望（亦称为期望值、均值）是随机变量的概率加权和，反映了随机变量的平均值。在金融领域中，资产收益率的期望是指投资者持有的资产在

2、下一时期所预期能够获得的平均收益率。（2） 方差反映了随机变量偏离其期望值的程度。标准差（波动率）是随机变量方差的平方根。在金融领域中，方差和标准差是用来衡量资产风险的指标，是风险的代名词。通俗地说，方差越大，随机变量取值偏离均值的程度越大，不稳定性也越大，即风险越大。4. 离散型随机变量 （第2526 页）（1） 如果随机变量x 的所有可能值只有有限多个或可列多个，即为离散型随机变量。离散型随机变量的一切可能值及与其取值相应的概率，称做离散型随机变量的概率分布。（2） 期望 =Nii i E x x p1( ) （1）其中： i p 为随机变量取值为i x 的概率E(x) 反映了随机变量x

3、的平均值（3） 方差 = Ni i Var x x E x pi 1( ) ( )2 （2） 其中： i p 为随机变量取值为i x 的概率Var(x) 反映了随机变量x 偏离E(x) 的程度，即风险我们可以通过下面这道例题来具体体会上述多个概念。例题：假定某股票下一年可能出现5 种情况，每种情况对应概率和收益率如下表所示：概率 0.05 0.25 0.40 0.25 0.05收益率 50% 30% 10% -10% -30%􀁹 该股票的下一年的收益率是一个随机变量，只能取5 个数值，50%、30%、10%、10、30%。􀁹 因为收益率只能取5 个值，该随机

4、变量为离散型随机变量。􀁹 该离散型随机变量的取值50%、30%、10%、10、30%相对应的概率分别为0.05、0.25、0.40、0.25、0.05，则收益率概率的分布如下：0.05 30%0.25 10%0.40 10%0.25 30%0.05 50%f x􀁹 收益率的期望E(x) = 0.0550%0.2530%0.4010%0.25(-10%)0.05(-30%)= 10%􀁹 收益率的方差Var(x) = (50%10%)20.05(30%10%)20.25(10%10%)20.40(10%10%)20.25(30%10%)20.0

5、5 = 0.0365. 连续型随机变量 （第26 页）（1） 如果随机变量x 的所有可能值由一个或若干个(有限或无限)实数轴上的区间组成，则为连续型随机变量。连续型随机变量的可能取值有无限多个。我们也可以这样理解：“如果变量可以取到某一区间内任意值，即变量的取值是连续的，那么这个随机变量就是连续型随机变量。”如果存在一个非负可积函数f (x) ，对任意实数a 和b （ a b ），都有：（2） = baP(a X b) f (x)dx （3）则称f (x) 为随机变量的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 （3） 期望 + E(x) = xf (x)dx （4）其中： f (x) 为随机变量

6、x 的概率密度函数E(x) 反映了随机变量x 的平均值（4） 方差 + Var(x) = x E(x)2 f (x)dx （5）其中： f (x) 为随机变量x 的概率密度函数Var(x) 反映了随机变量x 偏离E(x) 的程度，即风险6. 常用统计分布的概率密度函数（概率函数）及其期望、方差 （第2729 页）（1） 均匀分布（连续型）􀁹 概率密度函数（6）􀁹 期望 E(x) = (a + b) / 2 （7）􀁹 方差 Var(x) = (b a)2 /12 （8）（2） 二项分布（离散型）􀁹 概率函数 P X k Ck

7、 pk p n k k nn = = (1 ) , = 0, 1, 2, , （9）􀁹 期望 E(X ) = np （10）􀁹 方差 Var(X ) = np(1 p) （11）（3） 正态分布（连续型）􀁹 概率密度函数 = + （12）􀁹 期望 E(x) = （13）􀁹 方差 Var(x) = 2 （14）例如：可用正态分布来描述股票价格（或资产组合）每日对数收益率的分布。􀁹 正态分布概率密度函数曲线的性质：a. 正态分布概率密度函数曲线呈现中间高、两边低、左右对称的形态b. 正态随机

8、变量x 的观测值落在距均值为1 倍标准差范围内的概率约为0.68（68%）c. 正态随机变量x 的观测值落在距均值为2 倍标准差范围内的概率约为0.95（95%）d. 正态随机变量x 的观测值落在距均值为3 倍标准差范围内的概率约为0.9973（99.73%） （4） 标准正态分布（ = 0, = 1的正态分布）􀁹 概率密度函数 2􀁹 期望 E(x) = = 0 （16）􀁹 方差 Var(x) = 2 = 1 （17）􀁹 如果随机变量x 服从均值为 ，方差为 2 的正态分布，则变量(x ) / 服从标准正态分布。7. 收益

9、的计量 （第3033 页）（1） 绝对收益 0 R = P P 绝对 （18）（2） 百分比收益率（19）（3） 对数收益率 ln( ) ln( ) ln( )00 Pr = P P = P （20）其中： P 为期末的资产价值总额， 0 P 为期初投入的资金总额（4） 资产组合收益率 =Nip i i R W R1（21）其中： p R 为资产组合的收益率， i W 为各种资产在资产组合中所占的权重i R 为第i 种资产的百分比收益率8. 两种资产组合的标准差 （第3435 页）1 2 1 1 W W 2WW p = + + （22）其中： 1 2 W ,W 分别为两种资产在资产组合中的权重

10、， 为两种资产之间的相关系数，当1 1%），久期分析的结果准确性较差。 市场风险计量方法（续）市场风险计量方法概要外汇敞口分析衡量汇率变动对银行当前收益的影响。优点：计算简便，清晰易懂。缺点：忽略各币种汇率变动的相关性，难以揭示由各币种汇率变动的相关性所带来的汇率风险。风险价值方法（VaR）指在一定的持有期和给定的置信水平下，利率、汇率等市场风险要素发生变化时可能对某项资金头寸、资产组合或机构造成的潜在的最大损失。是银行内部模型计算市场风险加权资本要求的主要依据。巴塞尔委员会对市场风险内部模型提出了以下要求：置信水平采用99的单尾置信区间；持有期为10 个营业日；市场风险的要素价格的历史观测期

11、至少为1 年；至少每三个月更新一次数据。优点：与缺口分析、久期分析等传统的市场风险计量方法相比，VaR 可以将不同业务、不同类别的市场风险用一个确切的数值（VaR）来表示，是一种能在不同业务和风险类别之间进行比较和汇总的市场风险计量方法。同时，风险价值具有高度的概括性，简明易懂。局限性：（1）计算的风险水平不能反映资产组合的构成以及对价格波动的敏感性，需要辅之以敏感性分析和情景分析等非统计类方法；（2）未涵盖价格剧烈波动等可能会对银行造成重大损失的突发性小概率事件，需要采用压力测试对其进行补充；（3）大多数市场风险内部模型只能计量交易业务的市场风险，不能计量非交易业务的市场风险。敏感性分析指在

12、保持其他条件不变的前提下，研究单个市场风险要素（利率、汇率、股票价格和商品价格）的变化可能会对金融工具或资产组合的收益或经济价值产生的影响。优点：计算简单，便于理解。局限性：对较复杂的金融工具或资产组合，无法计量其收益或经济价值相对市场风险要素的非线性变化。情景分析是一种多因素分析方法，结合设定的各种可能情景的发生概率，研究多种因素同时作用时可能产生的影响。压力测试评估银行在极端不利的情况下的损失承受能力，主要采用敏感性分析和情景分析方法进行模拟和估计。事后检验指将市场风险计量方法或模型的估算结果与实际发生的损益进行比较，以检验计量方法或模型的准确性和可靠性，并据此对计量方法和模型进行调整和改

13、进的一种方法。 6. 风险价值VaR （第193200 页）（1） 风险价值（VaR）是指在一定的持有期和给定的置信水平下，利率、汇率等市场风险要素发生变化时可能对某项资金头寸、资产组合或机构造成的潜在的最大损失。为计算资产组合的VaR，定义0 W 表示资产组合初始投资额，R 为计算期间的投资回报率，W 为期末资产组合的价值， R 、W 都是随机变量。假设R 的均值为 ，方差为 2 ，置信水平为c ，W* 为资产组合在置信水平c 下的最小价值，W* 对应的投资回报率为R* ，则：均值( ) ( * )0VaR = E W W* = W R （94）以均值作为基准来测度风险，度量的是资产价值的相对损失零值*0*0 VaR =W W = W R （95）以初始价值为基准测度风险，度量的是资产价值的绝对损失正态分布情况下，均值VaR 和零值VaR 可以表示为：均值VaR =W t 0 （96）零值( ) 0 VaR =W t t （97）其中： t 为时间间隔， 是置信水平下的临界值 7. 计算VaR 值的方法 （第196200 页）计算VaR 值的方法概要方差协方差法又称德尔塔正态法，该方法的关键是计算资产组合协方差矩阵的度量。假设资产组合由N 种资产构成， i