三维立体与二维投影.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流三维立体与二维投影.精品文档.三维立体与二维投影 三维和二维之间存在着一种重要关系，这就是立体和投影的关系。三维立体被光线照射，会在二维的面上投下它的阴影，即投影。投影的形状取决于原来立体的形状。比如说，一个球体的投影是一个圆或者椭圆。不过，如果投影是一个圆面，就不能反推形成这个投影的那个立体肯定是一个球。原来的立体可能是一个圆柱，也可能是一个圆锥。投影显示的只是从某一个方向照射所得到的形状。换句话说，投影截取到的仅仅是原来立体所具有的部分信息，而不是全部信息，所显示的原来立体的样子是“不完全”的。古希腊的哲学家柏拉图（公元前427前347）

2、曾在公元前360年发表过一部叫做理想国的著作，其中写有一个非常著名的“洞窟比喻”。从小就囚禁在洞窟内的囚徒只看见过映照在洞壁上的影子，他以为那影子就是全部世界，终其一生也不知道投下那影子的立体的真实样子。柏拉图用这个比喻来表达他的一个思想，即只凭经验来思考什么是真实的人，就犹如这名囚徒。“我们只看见了投影”。柏拉图用这句话来劝诫人们，要把目光从洞壁转向洞外，才能求得“真知”（柏拉图称之为“理想”）。柏拉图的这些话，对于人类挑战“宇宙究竟有多少维”这个大课题，也具有十分重要的意义。柏拉图说：“我们看见的这个世界也许是一个投影”小结柏拉图的“洞窟比喻”柏拉图在其理想国一书中所写的“洞窟比喻”的大致

3、意思如下：“从小就被囚禁在洞窟中的囚徒只能看见洞壁（无法看到后面）。他们以为洞壁上的影子就是全部世界，把影子当成真实的物体。只有解除囚禁，把目光投向洞窟的外面，才有可能求得真知（理想）。”投影显示的仅仅是立体的“横断面”设想一个【平头改锥（螺丝刀）】的头部，光线从上向下照射时（沿着z轴方向），得到的投影是一个【圆】；光线从后向前照射时（沿着y轴方向），得到的投影是一个【正方形】；光线从左向右照射时（沿着x轴方向），得到的投影是一个【三角形】。也就是说，投影只截取到物体所具有的信息中属于较低维度的一部分信息。例如“测量身高”，是将三维降低为一维的投影。我们所见到的是否是真实的立体？位于眼球深处的

4、“视网膜”是接受来自外界光线的一个屏幕。左右眼球相隔一定的距离，因此，同一物体映照在左眼和右眼视网膜上的二维图像并不相同。大脑会根据这种微小的差异补上远近信息。我们看到的三维图像其实是大脑重新构建的一种“间接三维图像”。从上面两幅图中能看出什么？二维世界与三维世界又有什么不同呢？二维世界是一个面，如前面所介绍的，这上面可以有三角形、四边形和圆等具有面积的各种图形（平面图形）。上升到三维空间，则又有了体积的“立体”平面图形有各种不同的形状，立体，也是有立方体、球、三角锥、圆锥、正四面体等等各式各样的形状。立体有一个在二维不可能有，必须是在三维才具有的特性，那就是，立体可以具有“贯通的孔洞（管子）

5、”。轮胎的形状（环）就是具有贯通孔洞的一个立体。有手柄的茶杯，也是一个有贯通孔洞（穿进手指的部分）的立体。二维世界的图形是绝不可能有贯通孔洞的。例如正方形，你可以从它的上边向下剜去一部分，得到一个“凹”字的图形。但是若向下剜得太深，穿过了正方形的下边，你得到的经不会是一个图形，而是把原来的正方形分割成了两个长方形。在三维可以有“环”和“扭结”立体“有体积”，此外还具有二维所没有的其他特性。比如说，三维中的具有贯通孔洞的图形（环，如轮胎的形状），还有通过穿插所形成的扭结图形（例如，国人过年过节时所喜爱的立体穿插的红色【中国结】），这些都是在二维中所不可能有的。由此可见，立体要比平面图形复杂得多。

6、在三维空间，不仅有【立体】，同时也可以有【二维的面】、【一维的线】和【零维的点】。事实上，维数较多的空间内部总是包含了维数比它要低的空间。“立体”，比平面图形复杂得多三维的这个特性对于我们人类实在是太重要了。要知道，我们人体就是一个“具有贯通孔洞的立体”。这个贯通的孔洞你当然马上就可以想到，那就是从口向下直延伸至肛门的消化道。从受精卵到形成胎儿的身体，这个过程叫做“发育”。在人体发育过程中有一件非常重要的事情，那就是在大量细胞聚集形成的胚胎上向开出一个孔洞（肛门），然后逐渐向内延伸，直到在贯通处形成口。如果是二维世界的话，这个孔洞一贯通，人体就会被分为两半。在这种意义上，人的诞生还要多亏三维世

7、界有这样一个特性呢。小结三维世界中的“立体”长方体、球、环、圆锥、有扭结（立体穿插）的立体人体与“维”人是身体有贯通的消化道的生物（也有像海葵那样的没有贯通消化道的生物）。贯通身体的消化道，这只能是在三维世界可以有，而在二维世界不可能有的结构。这是因为，在二维身体上开一个贯通消化道的话，身体就会被分割成两半。二维人无法形成消化道（人体会被消化道分割成两半）三维人形成消化道扩展阅读：“二维”的特性辅助资料：克莱因瓶莫比乌斯带Soliton一维世界和二维世界有什么不同呢？在一维世界（线），两个区域A和B，可加以比较的量只有它们的长度。然而在二维世界就不同了。二维世界（面）中的两个区域A和B，可以比

8、较它们的面积。不仅如此，除了面积，还可以比较两个区域的另一个特征，这就是“形状”。在二维世界，有三角形、四边形、圆、椭圆等等，甚至曲线所包围不规则图形，而一维世界就不会有这种种“形状”利用二维所具有的这种性质我们可以玩拼图游戏。把一幅图画剪开成若干部分（拼块），要求把它们重新拼合成一幅完整的图画。在这种拼图游戏中，游戏者必须注意观察每一个拼块的形状，想想应该把哪一个拼块与哪一个拼块拼接，反复尝试。如果来玩“一维版”的这种游戏的话，那就是把一根绳子截断成长短不同的若干小段，再尝试把它们重新连接成一根绳子。玩这种“一维版”游戏肯定索然无味。每一小段绳子虽然长度不同，但是每一形状，无论把它们按照什么

9、顺序连接，都可以连接成一整根绳子。研究形状的数学叫做“几何学”，这是在一维不会有的一门数学，只有二维才会有几何学。除了形状，还有“角度”、“旋转”等，也都是在二维世界才具有意义的概念。在一维世界只能进行“速滑溜冰”，而无法进行“花样溜冰”。“二维”，有了“形状”小结：“维”与“形状”一维（线）上的一个区域只有“长度”这一个量，此外再没有其他信息。二维（面）上的一个区域有“面积”这个量，同时也就有了关于“形状”的信息。形状是在二维和二维以上的世界才有的概念。拼图游戏与“维”把一根绳子截断成若干小段，然后重新将它们连接成整根绳子。玩这种游戏（一维版拼图游戏），无论怎样连接都能成功，一点也引不起兴趣

10、。拼图游戏的趣味在于要判断“形状”，只有在二维和二维以上的世界才会有好玩的拼图游戏。一维拼图游戏和二维拼图游戏条形码是在水平方向并列着许多黑白条纹的暗码，其中隐藏着数字和文字信息。近年来又出现了一种比条形码更加复杂的“二维码”，在水平方向和垂直方向都隐藏有信息。因此，二维码隐藏的信息要比条形码多得多。例如，我国的火车票防伪技术，几年前采用的是“一维”的条形码技术，而现在，则采用了“二维码”技术。“维”的定义 “维”（dimension）是用来描述空间或图形的广延性或者复杂程度的一个概念。这个“维”的概念，早在公元前的古人经已经有了。被尊为“几何学鼻祖”的古希腊数学家欧几里德（活跃在公元前300

11、年前后），在其几何原本一书中就对点、线、面和立体等给出了严格的定义：立体的截口（末端）是“面”面的截口（末端）是“线”线的截口（末端）是“点”古希腊的哲学家亚里士多德（活跃在公元前350年前后），则在其所著的论天一书中写道：“立体已经达到极致，不会有超过三维的高次维存在。”许多人都知道“我思故我在”这句名言，正是说这话的法国哲学家笛卡尔（莱恩笛卡尔，15961650）确立了“坐标”的概念。笛卡尔对“维”所下的定义是：“确定位置所必需的数值的个数。”据传说，笛卡尔是在注视房间里飞行的昆虫时想到了确定昆虫的位置必须要用到3个数值。根据笛卡尔的坐标概念来对“维”下定义，“维”是“确定位置所必需的数值

12、的个数”。维的个数与能够将一个点在其上移动的坐标轴的数目（自由度）是一致的。按照笛卡尔的定义，那么，在没有大小的“点”的内部无所谓位置，因而点是零维。零维的“点”确定某一位置只需要零个数值（不需要确定位置）自由度为零（不能向任何方向移动）“直线”有几维呢？只要知道了直线上某一点到被选定为基准的另一点的距离，即只需一个数值，就可以确定该点的位置，因而直线是一维。不限于直线，曲线也是如此，所以曲线也是一维。一维的“线”确定某一位置必须要1个数值（例如，x=2）自由度为1（只能在x轴方向移动）“方格纸”，只要知道了纸面上任意一点所在的纵线和横线的标度两个数值，就确定了该点的位置，因而是二维。球形的“

13、地球表面”也是这样，用纬度和经度两个数值就能够确定地球表面任一点的位置，因而也是二维。二维的“面”确定某一位置必须要二个数值（例如,x=4,y=3）自由度为2 （能够在x方向和y方向移动）二维的“球面”确定某一位置必须要两个数值（例如，纬度30.经度40）自由度为2 （能够在纬度方向和经度方向移动）那么，我们生活在其中的这个空间有几维呢？飞机或导航系统所使用的GPS（全球定位系统）要用纬度、经度和标高三个数值来确定当前所在的位置。即使太阳系和银河系这样的大尺度空间，只要坐标选择合适，也可以用三个数值来表示空间中的位置。由此可以说我们生活在其中的这个空间有三维。三维的“空间”确定某一位置必须要3

14、个数值（例如，x6，y3，z3）自由度为3 （能够在x轴方向，y轴方向和z轴方向移动）什么是“维”？ 爱因斯坦指出，我们这个宇宙是一个“四维时空”，在具有长、宽、高三维的空间之上，还需要加上时间这个“第四维”。爱因斯坦的这种宇宙观也受到了挑战，有几种突破性的理论如今正在备受科学家们的关注，其要点为：“宇宙也许还存在着第五维”这些理论现在受到特别关注并非没有理由：2008年一台最新的加速器已投入运行，2010年该加速器所进行的一系列实验，引起了科学界的广泛关注。如果那个看不见摸不着的“第五维”一旦得到证实，对人类观念造成的冲击绝不会亚于哥白尼的地动说和爱因斯坦的相对论。根据近年来对书籍、报刊、网

15、络等有关各方汇集的资料，尝试性地探讨下列命题：宇宙究竟有几维？“维”（dimension）是用来描述空间或图形的广延性或者复杂程度的一个概念。这个“维”的概念，早在公元前的古人经已经有了。被尊为“几何学鼻祖”的古希腊数学家欧几里德（活跃在公元前300年前后），在其几何原本一书中就对点、线、面和立体等给出了严格的定义：立体的截口（末端）是“面”面的截口（末端）是“线”线的截口（末端）是“点”古希腊的哲学家亚里士多德（活跃在公元前350年前后），则在其所著的论天一书中写道：“立体已经达到极致，不会有超过三维的高次维存在。”许多人都知道“我思故我在”这句名言，正是说这话的法国哲学家笛卡尔（莱恩笛卡尔

16、，15961650）确立了“坐标”的概念。笛卡尔对“维”所下的定义是：“确定位置所必需的数值的个数。”据传说，笛卡尔是在注视房间里飞行的昆虫时想到了确定昆虫的位置必须要用到3个数值。根据笛卡尔的坐标概念来对“维”下定义，“维”是“确定位置所必需的数值的个数”。维的个数与能够将一个点在其上移动的坐标轴的数目（自由度）是一致的。按照笛卡尔的定义，那么，在没有大小的“点”的内部无所谓位置，因而点是零维。零维的“点”确定某一位置只需要零个数值（不需要确定位置）自由度为零（不能向任何方向移动）“直线”有几维呢？只要知道了直线上某一点到被选定为基准的另一点的距离，即只需一个数值，就可以确定该点的位置，因而

17、直线是一维。不限于直线，曲线也是如此，所以曲线也是一维。一维的“线”确定某一位置必须要1个数值（例如，x=2）自由度为1（只能在x轴方向移动）“方格纸”，只要知道了纸面上任意一点所在的纵线和横线的标度两个数值，就确定了该点的位置，因而是二维。球形的“地球表面”也是这样，用纬度和经度两个数值就能够确定地球表面任一点的位置，因而也是二维。二维的“面”确定某一位置必须要二个数值（例如,x=4,y=3）自由度为2 （能够在x方向和y方向移动）二维的“球面”确定某一位置必须要两个数值（例如，纬度30.经度40）自由度为2 （能够在纬度方向和经度方向移动）那么，我们生活在其中的这个空间有几维呢？飞机或导航

18、系统所使用的GPS（全球定位系统）要用纬度、经度和标高三个数值来确定当前所在的位置。即使太阳系和银河系这样的大尺度空间，只要坐标选择合适，也可以用三个数值来表示空间中的位置。由此可以说我们生活在其中的这个空间有三维。三维的“空间”确定某一位置必须要3个数值（例如，x6，y3，z3）自由度为3 （能够在x轴方向，y轴方向和z轴方向移动）关于空间的思考一.空间是什么 空间是什么?对于这个问题的思考,古人,今人,中国人,外国人都没有停息过,而且将来也不会停息。因为到现在为止,我们对空间的认识依然很肤浅。那么空间到底是什么呢?二.前人的思考 数学家,物理学家,天文学家都努力为揭开它的神秘面纱工作过或是

19、正在努力。尤其是理论物理学家,他们给与空间最前沿的解释。牛顿的时空观,以及爱因斯坦对时空的解释是其中两个最典型的代表。牛顿认为空间是绝对的,就像一个空的容器,它与物质是相互割裂的,与物质的运动也是没有关系的。曾经在很长一段时间里,这种思想占据着绝对的统治地位。他的这种思想和符合我们的常识,也很容易理解,就像亚里斯多德的重物先落地的道理一样,是常识欺骗了我们。对牛顿的绝对时空观进行大规模修正的是爱因斯坦的相对时空观。他认为空间,时间,物质三者是紧密相联的。三者之间符合相对论的原理。时间可以由于物体的运动而膨胀,空间则由于物质的运动而被压缩。这里的空间已经不是牛顿的绝对空间,永远不变化,而是可以变

20、化的。它随着物质运动而改变,成为一种相对的空间。他们两个对空间的表现进行了理论的阐述,也是对空间表面的认识,对其本质的认识和空间的起源没有明确的回答。对空间起源问题的思考,最多的要数天文学家,他们一边观测宇宙中发生的事情,一边思考宇宙的起源。现在,在天文学家中占主要地位的理论是大爆炸理论。这个理论认为宇宙有一个宇宙蛋的爆炸产生,现在仍然在膨胀着。对宇宙背景辐射的观测为这一理论提供的强大而有力的支持。并且,大爆炸理论因此成为最普遍接受的理论。又有一个问题出现了:既然有蛋,那么下蛋的鸡在哪里呢?这就涉及一个起源的起源问题。三.我的心中的世界 按照我们现在的认识,宏观的空间是无限的。如果我们从微观的

21、角度来看,空间是否可以无限小呢?量子力学的最小空间尺寸是10-34米,那么比10-34米更显得空间是否存在呢?如果存在,优惠是什么样子呢?向我们现在的世界?我们这个世界的规律还成立吗?物质在这么一个空间内的表现形态是什么样子? 关于空间的问题实在太多!其中有一个与物质的本质有关。我们知道，宇宙中的物质在整个宇宙中占的体积比例很小，绝大部分是空的。我们的物质也是由“松散”的粒子框架组成，说它“松散”是因为粒子(分子，原子)之间的距离相对于粒子的体积也很大。在看原子的内部就更加空了，如果把原子比作一幢大楼，那么其中的电子和原子核的体积加起来都不到一个乒乓球大。如果在这么下去，把原子核和电子再拆分，

22、拆得越细，我们就会看到我们所依托的物质在宇宙中占据的空间越是渺小，也许分割到某种程度之后，我只将与真空相互交融，也就是物质与真空的界面将变得模糊不清。就像我们对气体液化一样，在相平衡线以外的状态时将无法区分液体与气体，他们已经不分彼此。如果这样，我们的物质世界不就是建立在一个不存在的基础之上的吗？那样真实太令人恐怖了。而实际上这种想法又有点杞人忧天，从宏观上看，物质与空间去表现出一种割裂的状态，表现了水火不相容的的性质。物质虽然占据一定的空间，但同时她也在排斥周围的空间，与周围的空间格格不入，就像木头放在水里，把周围的水排开。那么到底那种观点对呢？这需要物理学的进一步发展，对宏观世界和微观世界

23、不断的探索，最需要革命性的理论和发现。因为现在的物理学对微观世界的研究，其步伐越来越艰难，条件要求越来越苛刻，几乎走进了死胡同。近三十年来，微观和宏观的重大发现几乎没有，研究所依据的原理和工具都陈旧了，所以我们热切地呼唤一次物理学的革命。四.我们可能被欺骗了 我们认识这个世界绝大多数途径是通过我们的眼睛，借助光线来了解一个物体的形状，大小，颜色等特征。也可以通过手来直接感觉。我们不禁要问，光线和手不会欺骗我们吗？答案是肯定的，的确有些虚假的东西欺骗了我们，那么我看到的实实在在的东西就一定很实在吗？让我自己比上眼睛像一想：所看到的到底是什么样子的时候，就觉得它虽然存在，但是我却无法认识它，但我用

24、手触摸它的时候，能感到它的的确确存在，但我松开手，闭上眼睛再想的时候，突然觉得可以认识了，但是再问笔到底是什么，我又不知道了。我的意思很简单，就是但我们抛去所有的感觉来极为客观的描述物质的时候，我们会发现那时不可能描述出来的。实际上，有很多东西我们是无法由感觉来得知他们存在与否，比如无线电波，不过电波可以仪器检测到，如果一种存在（不一定是物质），踏步被人的感觉所感觉，也不转变为我们所能探测到的信号。那么我们将如何去认识他们呢？我认为空间就属于这一类。 人类认识空间是观测物质的尺度来反映空间，对于空间的实质我们去无法得知，因为空间里是空的，（这里的空间指真空）什么也没有，当然也就不会发生任何表示

25、其特征的信号。虽然我们可以用周围的事物这一空间的大小，空间的内部却无法搞清楚。所以人类要真正的认识空间，或是“空”还有很长很长的路要走。或许在未来，人类能借助第三方的力量来认识我们不能认识的世界，俗话说“它山之石可以功玉”，我们不能认识的东西，不等于别的智慧体（他们也可以不是物质的）不能认识，只要我们和他们建立联系就能认识了。五.结论 总的来说，我认为空间与物质在最微小尺度上是不分彼此的，空间与物质相互转化，并且它们有着相同的起源。我们可以认识物质，但是我们却无法认识空间的本来面目。这就是我对空间的思考。后记当沉浸在思考中的时候,尤其是在想我们生存的世界的时候,才发现我们以及我们所看到的世界是多么的渺小。真正的世界是我们所看不见的,它是无边无际的宇宙,它是每个人对世界对人生的无限的思考。我们每个人既是一个世界,也是宇宙中一颗微不足道的灰尘。 有时候想一些问题，越想越觉得世界的基础很不像我们看到那么强大，很多事情有超乎我们的想象，不是能被我们理解的，思考真的是一个使自己感觉越来越渺小的过程。而当我们思维的触角触及到世界最基本的奥秘时，又会觉得自己还有一点点的力量，还能稍稍的高兴一下。