复合函数导数88685学习教案.pptx

《复合函数导数88685学习教案.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复合函数导数88685学习教案.pptx（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、一、多元一、多元(du yun)复合函数求复合函数求导的链式法则导的链式法则定理定理(dngl). 若若函数函数处偏导连续(linx), 在点 t 可导, 则复合函数证证: 设 t 取增量t ,则相应中间变量且有链式法则vutt机动 目录 上页 下页 返回 结束 有增量u ,v ,第1页/共22页第一页，共23页。( 全导数全导数(do sh)公式公式 )zvutt)()(22vu(t0 时,根式(gnsh)前加“”号)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 tvvztuuztzdddddd第2页/共22页第二页，共23页。若定理(dngl)中 说明说明(shumng): 例如例如(lr)

2、:易知:但复合函数偏导数连续偏导数连续减弱为偏导数存在偏导数存在, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定理结论不一定成立.第3页/共22页第三页，共23页。推广推广(tugung):1) 中间变量多于(du y)两个的情形. 例如,设下面所涉及(shj)的函数都可微 .2) 中间变量是多元函数的情形.例如,z机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共22页第四页，共23页。又如又如,当它们都具有(jyu)可微条件时, 有注意注意(zh y):这里(zhl)xzxz表示固定 y 对 x 求导,xf表示固定 v 对 x 求导口诀口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导与不同,机

3、动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共22页第五页，共23页。例例1. 设设解解:xzyzveusinxvvzyvvzveucosz机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共22页第六页，共23页。例例2.解解:xf机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第7页/共22页第七页，共23页。例例3. 设设 zt求全(qiqun)导数解解:注意：多元抽象(chuxing)复合函数求导在偏微分方程变形与机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 验证解的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号.第8页/共22页第八页，共23页。为简便(j

4、inbin)起见 , 引入记号例例4. 设设 f 具有二阶连续(linx)偏导数,求解解: 令zyx则机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共22页第九页，共23页。(当 在二、三象限时, )xyarctan例例5. 设设二阶偏导数(do sh)连续,求下列表达式在解解: 已知uryxyx极坐标系下的形式(xngsh)xu(1), 则机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第10页/共22页第十页，共23页。yu题目 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 uryxyx第11页/共22页第十一页，共23页。 已知uryxyxxururusincosxu2注意注意(zh

5、y)利用利用已有公式已有公式机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第12页/共22页第十二页，共23页。同理可得题目(tm) 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共22页第十三页，共23页。二、多元复合二、多元复合(fh)函数的函数的全微分全微分设函数(hnsh)的全微分(wi fn)为可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共22页第十四页，共23页。例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6.利用(lyng)全微分形

6、式不变性再解例1. 解解:所以(suy)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第15页/共22页第十五页，共23页。内容内容(nirng)小结小结1. 复合(fh)函数求导的链式法则“分段(fn dun)用乘,分叉用加,单路全导, 叉路偏导”例如例如, 3f2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共22页第十六页，共23页。思考思考(sko)与练习与练习解答解答(jid)提示提示:P31 题71 xzP31 题7; 8(2); P73 题11机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共22页第十七页，共23

7、页。P31 题8(2)y11f 1f )(2yx2f 机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共22页第十八页，共23页。xz1f 2f 作业作业(zuy) P31 2; 4; 6; 9; 10; 12(4); 13 P73题题 11第五节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第19页/共22页第十九页，共23页。备用备用(biyng)题题1. 已知求解解: 由两边(lingbin)对 x 求导, 得机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第20页/共22页第二十页，共23页。2. 求),(yxfz 在点)1 , 1(处可微 , 且设函数解解: 由题设(2001考研考研(ko yn)机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共22页第二十一页，共23页。感谢您的观看(gunkn)！第22页/共22页第二十二页，共23页。NoImage内容(nirng)总结一、多元复合函数求导的链式法则。在点 t 可导,。证: 设 t 取增量t ,。( 全导数公式 )。1) 中间变量多于两个的情形(qng xing). 例如,。表示固定 y 对 x 求导,。表示固定 v 对 x 求导。为简便起见 , 引入记号。例5. 设。P73 题11。两边对 x 求导, 得。处可微 , 且。第21页/共22页。感谢您的观看。第22页/共22页第二十三页，共23页。