复变函数Taylor级数与罗朗级数学习教案.ppt

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1、1 为了证明定理1，首先介绍下面两个引理一、有关逐项积分的两个引理引理1（函数项级数的逐项积分）设函数 和 沿曲线 可积，且在 上处处有如果存在收敛的正项级数 使得(sh de)在 上有那么 2 2 泰勒泰勒(ti l)(Taylor)(ti l)(Taylor)级数级数CC( )nf z(0,1,2,)n 0( )( )nng zfz 01nAAAC|( )|,nnf zA (0,1,2,)n ( )g z0( )( )nnCCg z dzfz dz 第1页/共47页第一页，共48页。2证明： 由于 收敛，因此(ync)当 时，必有于是设曲线 的长度为 ，当 时，有这就证明了该引理。0nnA

2、 n 120nnnRAA CLn 0( )( )nnnCCg z dzfz dz 11( )( ) |kkknknCCfzdzfzdz 11( )kknknCCf zdsAds 0nLR 第2页/共47页第二页，共48页。3引理2 若 在正向(zhn xin)圆周 上连续，则（1）对该圆内任一点z有 (2）对该圆外任一点z有 f 0:Czr 0100( )( )()()()nnnCCffddzzzz 0110( )( )()()()mmmCCffddzzzz 第3页/共47页第三页，共48页。4证明： （1）令 ，由于 ， 因此由等比级数(dn b j sh)的求和公式得：对任意满足 的点成立

3、。 由引理1，只须对最后所得的函数项级数找出满足引理条件的正项级数A0+A1+ +An+，然后逐项积分就可得到所证结果。00|zzz 0zr 0:Czr 0z z 010000000( )()( )( )( )1()()1nnnfz zfffz zzzz zzzz 1 第4页/共47页第四页，共48页。5 事实上，由函数f ()的连续性，可设|f ()|在圆周(yunzhu)|-z0|=r上的上界为正数M，则对于固定的点z，在该圆周(yunzhu)上处处有而 是收敛的，故所证等式成立。010( )(),()nnnfzzMzr 0nnMr 第5页/共47页第五页，共48页。6（2）当z 在圆周外

4、时，显然 对圆周 上的点 成立(chngl)。这时有同样由引理1可得所证等式。00|1|zzz 0:Czr 0z z 0:Czr 00( )( )()ffzzz z 1001000( )()( )1()1nnnfzfzz zz zz z 第6页/共47页第六页，共48页。7定理1 设函数f(z)在圆盘 内解析，那么在U内有 证明：设 。以 为中心在 内作一圆 ，使得 z 属于其内部，此时由柯西积分公式有又因 在C上解析，也一定连续，所以(suy)由引理2的结论（1）得 0:|UzzR ( )20000000( )( )( )( )( )()()()1!2!nnf zfzfzf zf zz zz

5、 zz zn ) 1 . 2 (zU 0zUC1( )( )2Cff zdiz ( )f 第7页/共47页第七页，共48页。8由于(yuy)z是U内的任意一点，证毕。( )f z 01001( )()()2()nnnCfdzziz ( )000()()!nnnfzzzn 0z z c U注注 定理定理1中的幂级数称为函数中的幂级数称为函数f (z) 在点在点z0的的Taylor级数展开式级数展开式，可以写为可以写为 其其中中cn为展开式的为展开式的Taylor系数系数，可表示为，可表示为,)()( 00nnnzzczf),( )()(!)()(21021100 ndzzzzfinzfcCnnn

6、 第8页/共47页第八页，共48页。9定理2 函数 在 解析的充分必要条件是它在 的某个邻域有幂级数展开式。 系1 幂级数就是它的和函数 在收敛(shulin)圆盘中的Taylor展开式，即系2 (幂级数展开式的唯一性)在定理1中，幂级数的和函数f(z)在收敛(shulin)圆盘U内不可能有另一幂级数展开式。0z0z()000()(),!nnfzcfzcn 0,1,2,n ( )f z( )f z第9页/共47页第九页，共48页。10三三. .初等函数初等函数(hnsh)(hnsh)的泰的泰勒展开式勒展开式1 直接展开(zhn ki)法：先求出 ，然后应用泰勒定理写出泰勒级数及其收敛半径。 指

7、数函数在 处的泰勒（Taylor）展开(zhn ki)式 下列函数在 处的泰勒展开(zhn ki)式00z 00z 01(3)1nnzz (| | 1)z 101) 1()1ln() 5 ( nnnznz(| | 1)z ( )0( )!nnfzcn 201(1)1!2!znnzezzn )|(| z210( 1)(2)sin(21)!nnnzzn )|(| z20( 1)(4)cos(2 )!nnnzzn )|(| z第10页/共47页第十页，共48页。11 为实常数当 时，上式只有(zhyu)有限项，并且是在整个复平面上成立。 )1()1)(6(zLnez nnznn 1!) 1() 1(

8、1 (| | 1)z 0,1,2 第11页/共47页第十一页，共48页。12 间接展开法：它是根据函数在一点的泰勒级 数展开式的唯一性给出的。在这里指从上面6个 初等函数的泰勒级数展开式出发(chf)，利用幂级数的 变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算等求 出其出泰勒级数及其收敛半径。 如：应用 ，令 ，得011nn (| 1) 2z 2201( 1)1nnnzz (| | 1)z 第12页/共47页第十二页，共48页。13 例例1 1 试将试将 在点在点 展成展成(zhn (zhn chn)chn)泰勒级数。泰勒级数。( )2zf zz 1z 第13页/共47页第十三页，共48页。14解解

9、 因为因为(yn wi) (yn wi) 是是 2z ( )f z11( 2)3z 可在可在 内展成泰勒内展成泰勒(ti l)(ti l)级数，级数，有有11213zzzz 11(1)3(1)3zzz 11113(1)3(1)33zzz 11100( 1) (1)( 1) (1)33nnnnnnnnzz 1111(1)2( 1),1333nnnnzz 例例1 1 试将试将 在点在点 展成泰勒展成泰勒(ti l)(ti l)级数。级数。( )2zf zz 1z 的唯一有限奇点，所以的唯一有限奇点，所以第14页/共47页第十四页，共48页。15例2 求下列函数在点 处的泰勒(ti l)级数展开式及

10、其收敛半径。（1） （2）（3） （4）0zi 101( )f zz 112( )()fzziz3( )sinfzz 3104()( )zif zz 第15页/共47页第十五页，共48页。16例2 求下列函数(hnsh)在点 处的泰勒级数展开式及其收敛半径。（1） （2）（3） （4）解 （1） 在 处为唯一的奇点，并且当 时，函数(hnsh) ，所以函数(hnsh)在 处的泰勒级数展开式的收敛半径为 |z1-z0|=|0-i|=1 ，从而在 |z-i|r1R12Cc1 102 f(z)Rz-zR设设在在圆圆环环域域内内处处处处解解析析，,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(

11、21 10其中其中),1,0( nC为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线. 0z为罗朗系数为罗朗系数(xsh). 那那末末在在D D内内可可展展开开成成罗罗朗朗级级数数f(z)第26页/共47页第二十六页，共48页。27：1201200 01212c ,cc ,c 为为以以z z 为为中中心心、包包含含在在环环域域r z-z Rr z-z R内内的的圆圆周周，且且z z位位于于由由c ,cc ,c 构构成成的的环环域域内内。这这里里由Cauchy积分(jfn)公式，对环内任意的z 有211()1()( )22CCfffzddiziz 211()1()22CCffd

12、diziz 证明证明(zhngmng)：2201001( )()()2()kkkCfIdzziz 1101101( )()2()kkkCfIdzziz 110101( )()()2()kkkCfdzziz 21II 21II 由复闭路(b l)定理可知：0( )|frzR 由由于于在在内内解解析析，1212z,IICC和和 中中的的积积分分路路径径、可可改改为为环环内内任任一一不不经经过过 的的圆圆周周C C 可可得得0101( )( )()()2()kkkCff zdzziz 证毕第27页/共47页第二十七页，共48页。28 i) i)罗朗级数罗朗级数(j sh)(j sh)中的正幂项系数不

13、能记为：中的正幂项系数不能记为： ( )01()!nncfzn ()000()()!nnnfzzzn 3) 与泰勒级数(j sh)比较0101( )()()2()nnnCfdzziz ii)ii)罗朗级数是泰勒罗朗级数是泰勒(ti l)(ti l)级数的级数的推广推广. .说明说明:函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的罗朗展开式罗朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的罗朗罗朗(Laurent)(Laurent)级数级数. . nnnzzczf)()(0 1) 2) 某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的， 这就是 f (z) 的罗朗级数. 01001( )( )()()2(

14、)nnnCff zdzziz 第28页/共47页第二十八页，共48页。29 罗朗级数的性质 定理 若函数 在圆环D: 内解析， 则该函数的罗朗级数展开式在D内处处绝对收敛、可以逐项微分和积分(jfn)，其积分(jfn)路径为内的任何简单闭路。 102|RzzR( )f z第29页/共47页第二十九页，共48页。30二、函数二、函数(hnsh)(hnsh)的的LaurentLaurent展开式展开式 (1) 直接(zhji)展开法利用定理公式计算系数nc101( )d(0 ,1 ,2 ,)2()nnCfcniz 然后(rnhu)写出.)()(0nnnzzczf 缺点: 计算往往很麻烦, 不常用方

15、法 : 1. 直接法 2. 间接法 第30页/共47页第三十页，共48页。31(2) 间接间接(jin ji)展开法展开法 根据罗朗级数(j sh)的正、负幂项组成的的级数(j sh)的唯一性, 用代数运算、代换、求导和积分以及(yj)已有的Taylor展开式等方法去展开 .优点 : 简捷 、快速 ，所以常用第31页/共47页第三十一页，共48页。32例1 求 及 在 内的罗朗展开式。 2sin zzsin zz0 |z 242sin(1)13 !5 !(21) !nnzzzzzn 3212sin1(1)3 !5 !(21) !nnzzzzzzn 解：解：此时用此时用sinz 的的Taylor

16、展式展式,)!()(sin 012121nnnznz第32页/共47页第三十二页，共48页。33例例2 2 : )2)(1(1)( 在圆环域在圆环域函数函数 zzzf1);011z;21)2 z.2)3 z内解析(ji x),(ji x),把 f(z) f(z) 在这些(zhxi)(zhxi)区域内展成LaurentLaurent级数. .解解11( ),12f zzz1) 011 , z 在在内内11 ,z 由由于于011(1)21(1)nnzzz ( )f z 所所以以01(1)1nnzz 211(1)(1)1zzz 第33页/共47页第三十三页，共48页。34 , 21 )2内内在在 z

17、12oxyzzz111111 21111zzz1 z由11 z2 z12 z且仍有 2112121zz nnzzz22212122)( zf于是于是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn第34页/共47页第三十四页，共48页。35, 2 )3内内在在 z2oxy2 z由12 z此时zzz211121 24211zzz, 121 zz此时此时仍有zzz111111 21111zzz)( zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz21( )1(1)(1)1f zzzz 137).(f234zzzz第35页/共47页第三十五页，共48页。36

18、说明说明(shumng):1. 函数)(zf在以0z为中心的圆环域内的罗朗级数中尽管含有0zz 的负幂项, 而且0z又是这些项的奇点, 但是0z可能是函数)(zf的奇点,也可能)(zf的奇点.不是2. 给定了函数)(zf与复平面内的一点0z以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开式 (包括泰勒展开式作为它的特例).回答(hud)：不矛盾 .问题(wnt)：这与罗朗展开式的唯一性是否相矛盾?朗展开式是唯一的)(唯一性 : 指函数在某一个给定的圆环域内的罗第36页/共47页第三十六页，共48页。37例例3 3 分别将下列函数在指定点分别将下列函数在指定点 的去心邻域内展开的去心邻域内展开(z

19、hn (zhn ki)ki)成成LaurentLaurent级数级数0z（1 1） 22sin zz00z 2222220sin1cos(2 )11( 1) (2 )222(2 )!nnnzzzzzzzn 利用三角公式利用三角公式22sin1cos(2 )zz和和cos(2 ) z 的的Taylor级数展开式可得当级数展开式可得当 02z 化简得化简得21212221sin( 1)2(2 )!nnnnzzzn (0)z 该展开式不含有该展开式不含有(hn yu)(hn yu)负幂项负幂项. . 第37页/共47页第三十七页，共48页。38(1)0,22lnln()ln21:z -iz+ i -

20、 ii z+ iz+ iz+ iiz-z+ i满满足足此此函函点点不不解解析析的的数数解解, zi i 即即时时，不不解解析析。2 |zi 函函数数在在环环域域内内解解析析。11Taylor2( 1)()2ln(1)nnnziizizin 由由ln(1+ )ln(1+ )的的展展式式得得1(2 )()nnnizin lnz -i,z+ i0zi （2 2） 第38页/共47页第三十八页，共48页。39四、用Laurent级数的展开式计算积分 根据罗朗展开定理及罗朗级数的性质，得 因此，我们(w men)可以根据求出系数c-1 的值来计算积分。1( )2Cf z dzic 步骤：步骤：1.1.分

21、析分析(fnx)f(z)(fnx)f(z)的解析性，确定解析的解析性，确定解析环域；环域；2.2.在包含积分路径在包含积分路径(ljng)C(ljng)C的解析环域的解析环域里将函数展成里将函数展成LaurentLaurent级数级数13.求求c|z|=52I =ln(1+)dzz例 5第39页/共47页第三十九页，共48页。40例 619262|z|=1I =(z+ i) cosdzz+ i20,1cosziz+ i 1919解解：函函数数2(z+i)2(z+i)的的奇奇点点为为|zi 函函数数在在环环域域00内内解解析析。由由220221cos( 1) ()122coscos2(2 )!n

22、nnzizzizin 及及0 |ziLaurent 得得被被积积函函数数在在内内的的展展式式为为21902( 1) ()112( )2() 22(2 )!nnnzf zzin 2119201( 1) 22() ()2(2 )!nnnnzizin 20112,22 10!cIic 其其中中 第40页/共47页第四十页，共48页。41例7 计算(j sun)积分10822| | 2cos(10)(1)zzzIdzz 例例8 8 21| |2(1)zzeIdzz z 计算积分计算积分11zz22( )( )dd2(0)2zf zzziiz 注意注意 用用Cauchy积分公式计算上述积分更方便，即积分

23、公式计算上述积分更方便，即第41页/共47页第四十一页，共48页。42复积分计算复积分计算(j sun)的方法的方法1. ( )d ( ) ( )d ( : ( )Cf zzf z t z ttC zz t 2. ( )d0Cf zz (f(z)在在C的内部解析的内部解析) )003. ( )d( )|zzzzf zzF z (F(z)为为f(z)的原函数的原函数) )00( )4. d2()Cf zzif zzz (C为内部包含为内部包含z0的简单闭曲线的简单闭曲线, f(z)在在C的内部解析的内部解析)( ) 010!( )5. ()d(1,2,)2()nnCnf zfzznizz 16.

24、 ( )d2Cf zzic (Laurent 级数展开式级数展开式) )例例 计算积分计算积分2| | 31sin(1)zIdzzz 第42页/共47页第四十二页，共48页。43 有时用第三,四章中介绍(jisho)的有关公式来计算积分也不简便,还需要用到以后介绍(jisho)的留数和留数定理.第43页/共47页第四十三页，共48页。44复数复数(fsh)项级数项级数函数函数(hnsh)项级数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛收敛(shulin)(shulin)半径半径R R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质解解析析在在0)(zzf为复常数为复常数n

25、 )(zfnn为函数为函数 收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算Taylor 级数级数Laurent级数级数第四章 主要内容第44页/共47页第四十四页，共48页。45练练习习 21| |2(1)zzeIdzz z 计算积分计算积分11zz22( )( )dd2(0)2zf zzziiz 注意注意 用用Cauchy积分公式计算上述积分更方便，即积分公式计算上述积分更方便，即第45页/共47页第四十五页，共48页。46作业(zuy)：P134 3， 4， 6-（2）（4）第46页/共47页第四十六页，共48页。47感谢您的观看(gunkn)！第47页/共47页第四十七页，共48页。NoImage内容(nirng)总结1。足引理条件的正项级数A0+A1+。+An+。第4页/共47页。cn为展开式的Taylor系数，可表示为。变量替换，逐项微分，逐项积分和四则运算(s z yn sun)等求。应用展开式（2)(4)得。ii)罗朗级数是泰勒级数的推广.。用代数运算、代换、求导和积分以及已有的Taylor。把 f(z) 在这些区域内展成Laurent级数.。函数在各个不同的圆环域中有不同的罗朗展开。(f(z)在C的内部解析)。第46页/共47页。感谢您的观看第四十八页，共48页。