复数与复变函数教学学习教案.pptx
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1、 第一章 复数(fsh)(fsh)与复变函数1.1 1.1 复数及其运算1.2 1.2 复平面(pngmin)(pngmin)上的曲线和区域1.3 1.3 复变函数1.4 1.4 复变函数的极限和连续性第1页/共47页第一页,共48页。 1.1 1.1 复数(fsh)(fsh)及其运算一、复数(fsh)的概念1、产生(chnshng)背景的数称为复数,其中称为虚单位,iyxz1iyx,NoImage)Im(zy z2、定义:形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。第2页/共47页第二页,共48页。二、复数(fsh)的表示法1 1、( (复平面上的) )点表示(biosh) -(biosh)
2、-用坐标平面上的点r(1)此时的坐标面(称为复平面(pngmin))与直角坐标平面(pngmin)的区别与联系。yx),(yxPxy(2)zxiy复数与点(x,y)构成一一对应关系,复数z=x+iy由(x,y)唯一确定。第3页/共47页第三页,共48页。2 2、( (复平面(pngmin)(pngmin)上的) )向量表示-OMyxMiyxz),(点22|yxrz| zrOM(1)模 的长度 ,记为 ,则(2)辐角( ) 与 轴正向的夹角 (周期性)0zoxOM( )cos ,sinArg zxryr记,则第4页/共47页第四页,共48页。辐角主值: :a( )arg( )rg zz满足的辐角
3、值(仅有一个),记作arg(z). 即:-), 2, 1, 0k(k2)zarg()z(Arg0z时,无意义的辐角不确定,:)0(0Argz 其中主值)arg(z的确定方法见教材P3(1.1.6)式或借助复数向量表示.第5页/共47页第五页,共48页。3 3、三角(snjio)(snjio)(或极坐标)表示- -)sin(cosiriyxz,|22yxzrxyarctan,cosrx sinry 由得4izre、 指 数 表 示 sinicosei欧拉公式5、代数表示- iyxz第6页/共47页第六页,共48页。 复数的各种表示可相互转换(zhunhun)在不同的运算中可选择不同表示式进行运算
4、。NSPyzZx6*、复球面表示- 将扩充复平面中 | z的所有复数唯一表示为一个点,则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。 第7页/共47页第七页,共48页。三、复数(fsh)的运算1、相等两个(lin )复数,当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商(分母不为0)代数式、三角(snjio)式、指数式,iyxzzxiy。3、共轭复数及运算性质)Re(22zxzz),Im(22ziyizz222)Im()Re(|zzzzzzzyxoyyx第8页/共47页第八页,共48页。四、复数(fsh)(fsh)的n n次方根1(cossin ),22(cossin)(0,1,1)nnzr
5、ikkwzrinnkn若则wnr0k的n个值恰为以原点为中心,的内接正边形的顶点,当时,为半径的圆周n0w称为主值。第9页/共47页第九页,共48页。答疑(d y)解惑 答:不能,实数能比较大小,是因为实数是有序的;而复数是无序的,所以不能比较大小。 假设复数有大小,其大小关系(gun x)应与实数中大小关系(gun x)保持一致,(因为实数是复数的特例),不妨取0和i加以讨论:1 1、复数能否(nn fu)(nn fu)比较大小,为什么?0,0,010,iii ii 设则得显然矛盾注:复数的模、实部和虚部都是实数,辐角也是实数,可比较大小。i第10页/共47页第十页,共48页。2 2、复数可
6、以(ky)(ky)用向量表示,则复数的运算与向量的 运算是否相同? 答:有相同之处,但也有不同之处。 加减(ji jin)和数乘运算相同,乘积运算不同,向量运算有数量积、向量积和混合积,复数则没有;复数运算有乘除及乘幂、方根,但向量没有;乘积运算的几何意义不同。第11页/共47页第十一页,共48页。典型(dinxng)例题例1 1、判断下列命题(mng t)(mng t)是否正确?(1 1)(2 2)(3 3)7512ii )57arg()21arg(ii)57Re()57Im(ii( )( )( )第12页/共47页第十二页,共48页。例2 2、求下列复数的模与辐角(1) (2) (3) (
7、4) i 3i231iii25104ni231第13页/共47页第十三页,共48页。解(1 1)22(3)( 1)2,15arg( )arctan63zz (1)22321131313z 32arctan)arg(z,132133)23)(23(23231iiiii (2 2)第14页/共47页第十四页,共48页。,3144102510iiiiiii,103) 1(|22z3arctan)arg(z(3),1|z,23)arg(knz(23nkk满足的 )313cossin233niinnei313arg( )arctan 3)23iiez(模为1,(4)第15页/共47页第十五页,共48页。
8、例3 3、求满足下列条件(tiojin)(tiojin)的复数z z:(1)(3)izz2|,3)2arg(z(2) 且且3,zai2|2|z65)2arg(z第16页/共47页第十六页,共48页。zxiy解:(1) 设:则222xiyxyi22321.4xxyyxi3由,得,故z=42(2)3,23212zaizaia 则a 的值为(- 3, 3)内任一实数,故满足条件的z有无穷多个.第17页/共47页第十七页,共48页。132ri2322r212r i11113(3)2cossin3322zrirri设22255312cossin6622zrirr i 1122rz则124,4 3 rr第
9、18页/共47页第十八页,共48页。0123zzz123zzz例4 4 求方程的根。并将分解因式。1) 1)(1(423zzzzz解 ,101z 0而的根为z014z则的其余三个根即为所求014z420sin420cos14kikz得由第19页/共47页第十九页,共48页。iizk23sin23cos,33时0sin0cos1i10sin0cos,00izk时iizk2sin2cos,11时1sincos,22izk时3210, 1,zzzii 根为321()(1)()zzzzi zzi 且第20页/共47页第二十页,共48页。1.2 1.2 复平面上的曲线(qxin)(qxin)和区域一、复
10、平面(pngmin)上的曲线方程0),(yxF)()(tyytxx平面曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式。第21页/共47页第二十一页,共48页。i 2zzy ,2zzx0),(yxF由代入知曲线C的方程可改写成复数形式0)2,2(izzzzFiyxz)()()(tiytxtz)(tzz 若令,而,则曲线C的参数方程等价于复数形式 。第22页/共47页第二十二页,共48页。1( )( )( ) ()( ), ( )( )z tx tiy tatbx ty ttz t 、连续曲线设,其中是实变量 的连续函数,则表示复平面上的连续曲线C。二、简单(jindn)曲线与光滑曲线222 , ( )(
11、)0( )( )( )ta bx ty tz tz az bC 、光滑曲线若对,有,则称为光滑曲线。称和为曲线 的起点和终点。12121213,( )( )( )atb atbttz tz tz tC、若对,当而有时,点称为曲线 的重点。没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当(Jardan)曲线。(识别曲线的类型教材P9)第23页/共47页第二十三页,共48页。三、区域(qy) (qy) 1、去心邻域)(0zN3、区域(qy)及分类2、内点与开集区域(qy)连通的开集。有洞或有瑕点有洞或有瑕点多连通域多连通域无瑕点无瑕点无洞无洞单连通域单连通域、第24页/共47页第二十四页,共48页。属于(sh
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