高等数学教学课件2011第三节格林公式及其应用.pptx

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1、.),(.),().2();(,).1(dxdyyPdxyxPDyxPDLxDDL 则则上偏导数连续上偏导数连续在在函数函数如图所示如图所示的正向边界的正向边界是是型区域型区域是是设设证明证明dxyxPdxyxPdxyxPdxyxPdxyxPEACEBCABL ),(),(),(),(),(dxxxPba)(,(1 )()(210),(bbdyybP abdxxxP)(,(2 )()(120),(aadyyaP dxxxPba)(,(1 badxxxP)(,(2 .)(,()(,(21dxxxPxxPba 、引理引理1 baLdxxxPxxPdxyxP.)(,()(,(),(21 baLdxx

2、xPxxPdxyxP.)(,()(,(),(21 )()(21xxbaDdyyPdxdxdyyP baxxdxyxP),()()(21 badxxxPxxP)(,()(,(12 badxxxPxxP)(,()(,(21 dxyxPL ),(.),(dxdyyPdxyxPDL .,:)1(1则结论依然正确则结论依然正确的正向边界的正向边界是是是有界闭区域是有界闭区域可推广为可推广为的条件的条件实际上引理实际上引理DLD.),(dxdyyPdxyxPDL :说说明明如如下下:).1(是单连通的情况是单连通的情况假设假设D:).2(是复连通的情况是复连通的情况假设假设D.dxdyyPD .dxdyy

3、PD .),(dxdyyPdxyxPDL .),(,:dxdyyPdxyxPDLDDL 则则的正向边界的正向边界是是是有界闭区域是有界闭区域设设即即dxdyxQdyyxQDyxQDLyDLD ),(.),().2()( ;,).1(则则上偏导数连续上偏导数连续在在函数函数如图所示如图所示的正向边界的正向边界是是型区域型区域是是设设.,:)1(2正确正确的正向边界则结论依然的正向边界则结论依然是是是有界闭区域是有界闭区域可推广为可推广为的条件的条件实际上引理实际上引理DLD.1的的证证明明类类似似证证明明与与引引理理、引理引理2格林公式：格林公式：.)(),(),(.),(),().2(;,).

4、1(dxdyyPxQdyyxQdxyxPDyxQyxPDLDDL 则则上有连续的偏导数上有连续的偏导数在在函数函数曲线曲线的分段光滑的正向边界的分段光滑的正向边界是是是有界闭区域是有界闭区域设设、格格林林公公式式定定理理)(证明证明dxdyyPdxyxPDL ),(1由由引引理理dxdyxQdyyxQDL ),(2由由引引理理dxdyyPxQdyyxQdxyxPDL ),(),(用第二型曲线积分表示区域的面积公式：用第二型曲线积分表示区域的面积公式： LLLydxxdyDAxdyDAydxDADADDLD21)().3()().2()().1(),(,则则的面积为的面积为的正向边界曲线的正向边

5、界曲线是是是有界闭区域是有界闭区域设设证明证明0),(;),(:).1( yxQyyxP令令 LLdyyxQdxyxPydx),(),(dxdyyPxQD )(:由由格格林林公公式式).(DAdxdyD xyxQyxP ),(0),(:).2(令令 LLdyyxQdxyxPxdy),(),(dxdyyPxQD )(:由由格格林林公公式式).(DAdxdyD )3()2(),1(.)(21ydxxdyDAL 、例例1.)0()(2轴所围面积轴所围面积和和用曲线积分求抛物线用曲线积分求抛物线Oxaaxyx .; 0, 0:2axxaxxy 令令attyatxtyx22, 设设0;:221 aatt

6、yatxLayxxL 0;0:2解解 2121)(LLydxxdyDA ydxxdyydxxdyLL212121 dxxdtatattattataa022220)00(21)()(21dtatattatata2)()21(21220 dttadtataa 020221)(21.66203aata .,).2(;).1(,22按逆时针方向按逆时针方向包含原点包含原点不包含原点不包含原点向曲线向曲线为不经过原点的封闭有为不经过原点的封闭有其中其中计算计算LLLyxydxxdyL 、例例2解解.;:2222yxxQyxyP 令令 LLdyyxQdxyxPyxydxxdy),(),(22dxdyyPx

7、QD )(由由格格林林公公式式)(是是逆逆时时针针方方向向假假设设L;)()(2222222yxxyyxxxxQ .)()(2222222yxxyyxyyyP . 00)(22 dxdydxdyyPxQyxydxxdyDDL,是是顺顺时时针针方方向向时时当当L. 00)(22 dxdydxdyyPxQyxydxxdyDDL;).1(不包含原点不包含原点L),(1142011星期一星期一第八周第八周日日月月年年按逆时针方向按逆时针方向包含原点包含原点 ,).2(L cLcLdyyxQdxyxPyxydxxdyyxydxxdy),(),(2222dxdyyPxQD )(由由格格林林公公式式. 00

8、 dxdyD02sincos: tytxc令令 cLyxydxxdyyxydxxdy2222 dttttttt0222)sin()cos()cos(sin)sin(cos dttt 2022222sincos.220 dt.)1 , 1()1 , 1(11,)cos()12(2一段一段到到上从上从曲线曲线是是其中其中计算计算BAxyLdyyxedxxyeLyy 、例例3解解. 111:1 yxxL令令由由格格林林公公式式 dxdyxyeyxedyyxedxxyeyyDxyLLyy)12()cos()cos()12(1dxdyxeeDyy )12(012 Dxdxdy.),(的奇函数的奇函数是是

9、被积函数被积函数轴对称轴对称关于关于xxyD dyyxedxxyedyyxedxxyeLyyLyy)cos()12()cos()12(1dxxexe0)1cos()12(11 .2)12(11edxex .), 0(cos)0 ,(,)()3()3(2223的一段余弦曲线的一段余弦曲线到到曲线曲线沿沿是由是由其中其中计算计算 BxyALyxdyxydxxyL 、例例4解解.202: xyxxL令令由由格格林林公公式式 dxdyyxxyyyxxyxyxdyxydxxyDLL)(3()(3()()3()3(333 dxdyyxyxxyyxyxyxxyyxD)()(3)3()(3)()(3)3()(

10、3623623 dxdyyxxyyxxyyxD4)()3(3)(3)3(3)(3dxdyyxxyyxxyyxD 4)(333. 0)(034 dxdyyxD. 0)()3()3(3 LLyxdyxydxxy LLyxdyxydxxyyxdyxydxxy33)()3()3()()3()3( LLdyxydxxydyxydxxy)3()3()()3()3(3832 220: xyxxL dxxxx)1)(4()3(2202383 .42823 dx2083 二、平面上第二型曲线积分与路径无关的条件二、平面上第二型曲线积分与路径无关的条件.,为平面单连通区域为平面单连通区域则称则称内内都在都在成的区

11、域成的区域中任何简单闭曲线所围中任何简单闭曲线所围若若是平面连通区域是平面连通区域设设GGGG.:,),( BAABLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxGFLBALQdyPdxLGFGQPGQPF常常记为常常记为与路径无关与路径无关称第二型曲线积分称第二型曲线积分上的保守场上的保守场为为则称则称经过的形状无关经过的形状无关而与而与的位置有关的位置有关与终点与终点的起点的起点仅与曲线仅与曲线的第二型曲线积分的第二型曲线积分线线内任何光滑有向曲内任何光滑有向曲沿沿若若上连续上连续的偏导数在的偏导数在向量场向量场上的上的是定义在平面连通区域是定义在平面连通区域设向量值函数设向量值函数).,()(

12、,),(,),(的原函数的原函数为为微分微分的全的全是是亦称亦称函数函数位位的势的势称为称为上的势场上的势场是是则称则称或或或或使得使得函数函数若存在若存在上的向量场上的向量场是定义在平面区域是定义在平面区域设设QdyPdxuuQdyPdxFuGFQPQdyPdxduFgraduuGQPFyuxu 、定义定义1、定义定义2、定义定义3).,().4();().3(;),(0).2(;),( ,).1(,),(QdyPdxduuFQdyPdxQdyPdxFGLQdyPdxGyxxQyPGQPGQPFBAABL 使得使得存在存在是势场是势场即即是保守场是保守场内任一简单闭曲线内任一简单闭曲线是是圈

13、积分为零圈积分为零则下述四个命题等价则下述四个命题等价一阶偏导数连续一阶偏导数连续内内在在上的向量场上的向量场是平面单连通区域是平面单连通区域设设、四个等价命题四个等价命题定理定理)(证明证明GyxxQyP ),( ,).1()(0).2( LQdyPdx圈积分为零圈积分为零要要证证明明:由由格格林林公公式式得得)1, 1,()( 是是顺顺时时针针时时当当是是逆逆时时针针时时当当LLdxdyyPxQQdyPdxDL. 00 dxdyQdyPdxDL )(0).2(圈积分为零圈积分为零 LQdyPdx).3(是保守场是保守场F要要证证明明证明证明).4().3(是势场是势场是保守场是保守场FF要

14、要证证明明 xyxuyxxux ),(),(lim0.,),(),(),(),(),(00的的二二元元函函数数是是是是保保守守场场yxdyyxQdxyxPyxuFyxyx 证明证明 ),(),(),(),(00000),(),(),(),(1limyxyxyxxyxxdyyxQdxyxPdyyxQdxyxPx )0),(),(1lim0dxyxQyxPxxxxx dxyxPxxxxx),(1lim0)10(,),(1lim0 xyxxPxx积分中值定理积分中值定理).,(),(lim0yxPyxxPx );,(yxPxu ).,(yxQyu 同理同理),(1342011星期三星期三第八周第八周

15、日日月月年年);,(yxPxu ).,(yxQyu 同理同理.),(),(dyyxQdxyxPdu .),(),(是是势势场场yxQyxPF ).(),(),(),(),(),(00原原函函数数是是势势函函数数 yxyxdyyxQdxyxPyxu;),( ,).1().4(GyxxQyPF 是势场是势场要要证证明明证明证明是是势势场场),(),(yxQyxPF dyyxQdxyxPyxduyxu),(),(),(:),( 使得使得).,(),(yxQyuyxPxu ;2连连续续 yPyxu.2连续连续 xQxyuxyuyxu 22.),( ,GyxxQyP 证证毕毕.,),(:),(:.),:

16、(:),(),(),(),(0000是任意常数是任意常数的全体原函数为的全体原函数为的一个原函数为的一个原函数为存在存在原函数原函数的的则则常常验证条件常常验证条件一个条件一个条件满足上述定理的任何满足上述定理的任何从上述定理证明中可得从上述定理证明中可得CCQdyPdxyxuQdyPdxQdyPdxyxuQdyPdxuQdyPdxxQyPyxyxyxyx .),(),(),(),(),(),(),(),(,),( ,000000000),(),(0),(),(的原函数的原函数是是或或则则连续连续若若dyyxQdxyxPdyyxQdxyxPQdyPdxyxudyyxQdxyxPQdyPdxyx

17、uGyxyPxQyPxQyyxxyxyxyyxxyxyx 性性质质、 ),(),(00),(),(),(yxyxdyyxQdxyxPyxu ),(),(),(),(0000yxyxyxyxQdyPdxQdyPdx yyxxdyyxQdxyxP00),(00),(0.),(),(000 xxyydyyxQdxyxP同理同理.),(),(),(00000),(),(dyyxQdxyxPQdyPdxyxuyyxxyxyx 证明证明莱莱布布尼尼兹兹公公式式牛牛顿顿 ).,(),(),(),(),(,),(),(),(;),( ,),(0011),(),(),(),(11001100yxUyxUyxUd

18、yyxQdxyxPdyyxQdxyxPyxUGyxxQyPGQPGQPFyxyxyxyx 则则某原函数某原函数的的是是且且偏导数连续偏导数连续内一阶内一阶在在上的向量场上的向量场是平面单连通区域是平面单连通区域设设证明证明的的原原函函数数都都是是和和dyyxQdxyxPyxUdyyxQdxyxPyxyx),(),(),(),(),(),(),(00 )(),(),(),(),(),(00是是常常数数CCyxUdyyxQdxyxPyxyx ),(0),(),(),(0000),(),(0000yxUCCyxUdyyxQdxyxPyxyx CyxUdyyxQdxyxPyxyx ),(),(),()

19、,(),(00).,(),(00yxUyxU .),(),(),(),(),(),(),(0011),(),(11001100yxyxyxyxyxUyxUyxUdyyxQdxyxP .,)0(),(2222的势函数的势函数并求并求上的势场上的势场是右半平面是右半平面证明证明 FxyxxyxyF、例例5解解.),(),(),(),(),(),(:,),(;000000CdyyxQdxyxPyxuCdyyxQdxyxPyxuQPFyPxQyyxxyyxx 或或且势函数为且势函数为是势场是势场那么那么如果如果;)(2222222222222)()(2yxxyyxxyxyxxx ;)(22222222

20、22222)()(2yxxyyxyyxyxyy )()(2222yxyyyxxx Cyxxdyyxydxyxuyx22),()0, 1(22),( Cyxxdyxdxxy10222200Cdyxyxy 02)(1.arctanarctan0CxyCxyy .)8 , 4()0 , 0(2,cossin2的一段的一段到点到点上从点上从点是曲线是曲线其中其中计算计算BAxxyLydyeydxeLxx 、例例6解解.cos)sin(;cos)cos(yeyeyeyexyxxxx yxxxyeye)sin()cos( 。与与路路径径无无关关 Lxxydyeydxecossin Lxxydyeydxec

21、ossin 408008sin)cos(dxedyyex 40808sinsinxey. 8sin)1(8sin8sin44 ee.,)1 ,()0 , 0(2:,)3sin21()cos2(:222223所做的功所做的功场力场力时时运动到点运动到点从点从点求一质点沿曲线求一质点沿曲线设有平面力场设有平面力场 FAOyxLjyxxyixyxyF 、例例7解解.cos26)cos2(;6cos2)3sin21(223222xyxyxyxyxyxyyxxyyx .是保守力是保守力 FdyyxxydxxyxyW)3sin21()cos2(22)1 ,2()0,0(23 则则的的原原函函数数是是设设,

22、),(Fyxuxyxyxucos223 dxxyxyu)cos2(23);(sin232yxyyx )(sin2322yxyyxyu 223sin21yxxy 1)( y .)(Cyy .sin),(232Cyxyyxyxu .4)sin(),(2)1 ,2()0,0(232)1 ,2()0,0( yxyyxyxuW、例例8.)(),()(, 0)0(,)(),()0,0(22 yxLdyxydxxyyxuxdyxydxxy 及及求求且且连续的导数连续的导数具有具有其中其中与路径无关与路径无关设曲线积分设曲线积分解解.2)()() )(2xyxyxyxyyx xyxy2)(: 令令.)(2)(

23、2Cxxxx .)(0)0(2xx yxyxdyydxxydyxydxxyyxu002),()0,0(2)0()(),( .2222022yxyxx .,),(),(lim),(,),(),(,0,max,),(.),(),(,.,2 , 1,),(,.,:,),(),(1011111121称为积分曲面称为积分曲面称为被积函数称为被积函数其中其中即即记作记作上的上的在曲面在曲面则称极限值为函数则称极限值为函数上述和式的极限存在上述和式的极限存在时时若若的直径的直径记记作和式作和式任取任取面的面积面的面积也表示小曲也表示小曲块小曲面块小曲面既表示第既表示第其中其中小块小块任意分割为任意分割为将曲

24、面将曲面上的有界函数上的有界函数是定义在是定义在的表达式偏导数连续的表达式偏导数连续是光滑曲面是光滑曲面设设 zyxfSfdSzyxfdSzyxfzyxfSSfSfSfniSiSSSSnzyxfiniiiiininnnniniiiiiiiiin 分分第第四四节节、第第一一类类曲曲面面积积曲面积分的概念与性质曲面积分的概念与性质对面积对面积一、第一类一、第一类)(定义、定义、,第一类曲面积分第一类曲面积分曲面积分的性质曲面积分的性质对面积对面积第一类第一类)(第一类曲面积分也有：第一类曲面积分也有：的性质的性质类似于第一类曲线积分类似于第一类曲线积分,. 5 . 4 ,. 3 ,. 2 ,. 1

25、的面积的面积中值定理中值定理单调性单调性有限可加性有限可加性线性性质线性性质 dS.),().1(),(. 6 dSzyxmzyx 的质量为的质量为则则的面密度为的面密度为若若:).2(的的重重心心坐坐标标为为 .),(),(;),(),(;),(),( dSzyxdSzyxzzdSzyxdSzyxyydSzyxdSzyxxx:)3(的的转转动动惯惯量量 .),()(;),()(;),()(;),()(2220222222 dSzyxzyxIdSzyxyxIdSzyxzxIdSzyxzyIzyx曲面积分的计算法曲面积分的计算法对面积对面积二、第一类二、第一类)(定理、定理、.),(),(1),

26、(,),(,),(),(:).2(;),().1(22dxdyyxzyxzyxzyxfdSzyxfDyxyxzzzyxfyxD 则则可以表示为可以表示为曲面曲面上连续上连续在光滑曲面在光滑曲面函数函数设设.),(),(1),(,(),(),(),(:.),(),(1),),(),(),(),(:2222dxdzzxyzxyzzxyxfdSzyxfDzxzxyydydzzyxzyxzyzyxfdSzyxfDzyzyxxDzxDzy 则则可以表示为可以表示为若若则则可以表示为可以表示为若若:同同理理可可得得证明证明.,.,.,:,.,.,:2121niniSSSSnD 相应分割相应分割曲面曲面份份分成分成将区域将区域 idxdyyxzyxzSyxi ),(),(122.),(.),(),(122iiiiiiyiixzz 积分中值定理积分中值定理.),(),(:iiiiiiiSz 令令 iniiiiSfdSzyxf 100),(lim),(max1iniS iiiyiixniiiiizzzf ),(),(1),(,(lim22100.),(),(1),(,22dxdyyxzyxzyxzyxfyxD