不定积分的定义及直接积分法.pptx

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1、3.1.1 原函数的概念原函数的概念定义3.1 设函数f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x),使得对任意xI,均有.)()()()(dxxfxdFxfxF或则称函数F(x) 为f(x) 在区间I上的一个原函数.原函数的两点说明 (1)如果函数f(x)在区间I内连续，则f(x)在区间I内存在原函数. (2) 如果函数F(x)是f(x)在区间I内的一个原函数，即 ，则f(x)的所有原函数可表示为 )()( xfxFF(x)+C(其中C为任意常数）3.1.2 不定积分的概念不定积分的概念定义定义3.2 函数函数f(x)的全体原函数的全体原函数F(x) + C称为称为f (x)的的不定积分

2、不定积分，记为，记为 dxxf)(. .积分号积分号被积函数被积函数积分变量积分变量被积表达式被积表达式任意常数任意常数CxFdxxf )()(案例案例3.13.1 求求.3dxx344xx解解 因为因为所以 44x是 3x的一个原函数，因此Cxdxx443案例案例3.23.2 求求解解 因为因为因此dxx211211)(arcsinxx所以 是 的一个原函数，xarcsin211xCxdxxarcsin112案例案例3.3 求求.1 dxx解解 当当x0时时,由于由于,1)(lnxx所以所以xln是是 在在x1), 0( 内的一个原函数内的一个原函数.因此，在因此，在 内，内，), 0( .

3、ln1Cxdxx 当当 x0 及及 x0 内的结果合起来，可写作内的结果合起来，可写作.|ln1Cxdxx ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.结论：结论：3.1.3 不定积分的性质不定积分的性质 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd 性质性质1性质性质2dxxgxf)()(;)()( dxxgdxxf（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）dxxkf)(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k性质性质3性质性质4案例案例3.4 求求 dxxx)sin4

4、(3解解 dxxx)sin4(3xdxdxxsin43xdxdxxsin434xCxcos例如例如 xx 11.11Cxdxx 既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 3.1.4 3.1.4 基本积分公式基本积分公式类似地可以得到其他积分公式类似地可以得到其他积分公式.下面我们把下面我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫做基本积分表常叫做基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;|ln)3(Cxxdx dxx2

5、11)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCxxdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax 任务7-2：直接积分法 案例案例3.5 求求dxxx321直接积分法直接积分法直接应用公式、性质或经过简单的代数、直接应用公式、性质或经过简单的代数、三角恒等变形后积分三角恒等变形后积分解解 dxx37根据积分公式（根据积分公式

6、（2）Cxdxx 11 Cx1371371Cx3443案例案例3.6 求求dxxx)221(2解解 dxx2dxx12dx2x1|ln2xCx2案例案例3.7 求求.)1 (23dxxx解解dxxxxxdxxx23223331)1 (dxxxx)331(2xdxdxdxxdxx3132Cxxxx2213|ln31案例案例3.8 求求.3dxexx解解 因为因为,)3(3xxxee 所以可把所以可把3e看作看作a，并利用积分公式，并利用积分公式 ，便得，便得Ceedxedxexxxx)3ln()3()3(3.3ln13Cexx案例案例3.9 求求.2cos2dxx解解dxx2cos2cos21x

7、dxdxdxx)cos1 (21dxx)cos1 (21.)sin(21Cxxxxxxxxxxxxxxxx2cossin211cos2sincoscsccot1sectan1cossin22sin1sincos2222222222案例案例3.10 求求 .tan2xdx解解dxxxdx) 1(sectan22.tanCxx （2）三角恒等式变形）三角恒等式变形 dxxdx2secxxxxxxxxxxxxxx2cossin211cos2sincoscsccot1sectan1cossin22sin1sincos2222222222案例案例3.11 求求.dxxx221解解dxxxdxxx22221111dxx)111 (2.arctanCxx加项减项加项减项dxxdx211案例案例3.12 求求.)(dxxx2211解解dxxxxxdxxx)()()(2222221111dxxx)111(22.arctanCxx1加项减项加项减项dxxdxx22111案例案例3.13设曲线经过点设曲线经过点 (0,3)且曲线上任一点(x,y) 处的切线斜率为 xe，试求曲线方程.解解 设曲线方程为设曲线方程为y=f(x), 由题意知 xexf)( 即f(x)是 xe的一个原函数 故 Cedxexfxx)(再将x=0,y=3代入 Ceyx得C=2 于是所求的曲线方程是： 2xey