切线的性质与判定.pptx

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1、思考思考: :直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系? ? 如何判定直线和圆的位置关系如何判定直线和圆的位置关系? ?ol此图表达了直线和圆的什么位置关系此图表达了直线和圆的什么位置关系? 牛牛文库文档分享通过本节的学习，我们知道直线和圆有三种不同的通过本节的学习，我们知道直线和圆有三种不同的位置关系：相离、相切、相交。其中相切应是关注的重点。位置关系：相离、相切、相交。其中相切应是关注的重点。当直线和圆有唯一的公共点时，叫做直线和圆相切当直线和圆有唯一的公共点时，叫做直线和圆相切. 此时，直此时，直线叫做圆的切线，这种位置关系具有一条重要的性质，即线叫做圆的切线，这种位置关系具有一条重要的性质

2、，即“直线直线l和和 O相切相切 dr”。这就是说，如果圆心到直线这就是说，如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆相切、反之，也成立。因此，的距离等于半径，那么直线和圆相切、反之，也成立。因此，在在 O中，经过半径中，经过半径OA的外端的外端A，作直线作直线lOA，则圆心则圆心O到到直线直线l的距离等于半径的距离等于半径r，故故l必和必和 O相切。这一事实就是下面相切。这一事实就是下面的定理：的定理：切线的判定定理：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线半径的直线是圆的切线 牛牛文库文档分享说明：说明：在此定理中，题设是在此定理中，题设

3、是“经过半径的外端经过半径的外端”和和“垂直于垂直于这条半径这条半径”，结论为，结论为“直线是圆的切线直线是圆的切线”，两个条件缺一不，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线，可，否则就不是圆的切线，下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线：切线： 牛牛文库文档分享：(1)题目中题目中“半径半径”已有，只需证已有，只需证“垂直垂直”即可得直线与圆相切。即可得直线与圆相切。例例1已知：如图，已知：如图，AB是是 O的直径，的直径，D在在AB的延长线上，的延长线上，BDOB，C在在圆上，圆上，CAB30，求证：求证：DC是是 O的切线。的切

4、线。 证明：连证明：连OC、BC，AOOC，OCAA30BOC60，BOC是等边三角形是等边三角形BDOBBC，DBCD30DCO90DCOCDC是是 O的切线。的切线。关于切线的判定问题，常见类型有：关于切线的判定问题，常见类型有： 牛牛文库文档分享(2)题目中“垂直”已有，只需证“距离等于半径”，即可得直线与圆相切。例2已知：如图, O的半径为4cm，OAOB，OCAB于C，OB4 cm，OA2 cm，求证：AB与 O相切。 证明：OAOB，OCABAOB是直角三角形又OA2 cm，OB4 cmAB 10根据三角形面积公式有：ABOCOAOBOC 4(cm)，OC是 O的半径。直线AB经过

5、半径OC的外端C，并且垂直于半径OC所以AB与 O相切。 牛牛文库文档分享(3)题目的条件中“垂直”和“距离等于半径”都没有明确显示出来，就必须先作出“垂直”，再证“距离等于半径”。例3如图,ABC内接于 O，BC，小圆与AB相切，求证：AC为小圆的切线。 证明：作OEAC于E，ODAB于D设小圆的半径为r。BC，ABAC，ODOE又AB与大圆相切，ODr，OEr故由切线判定定理知，AC为小圆切线。 牛牛文库文档分享1判断： (1)经过半径的一个端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切 (2)若一条直线与圆的半径垂直，则这条直线是圆的切线 (3)以直角边为半径的圆一定与另一条直角边相切。 (4)

6、以等腰三角形斜边的中点为圆心，直角边的一半为半径的圆，与两条直角边相切。2下列命题中的假命题是： A和圆有唯一公共点的直线是圆的切线 B过直径一端且垂直于这直径的直线是圆的切线 C点A在直线l上， O半径为r，若OAr时，则l是 O的切线 D O的直径为a，则O点直线的距离为d，若d a时，则l是 O 的切线。 牛牛文库文档分享3如图，AB是 O的直径，PB是 O的切线，PA交 O于点C，若AB6 cm，PB8cm，则AC，PCcm。 4已知：如图, O的直径长6cm，OAOB5cm，AB8cm，求证：AB 与 O相切。 5已知：如图，ABCD为直角梯形，ABBC，CDADBC，求证：以CD

7、为直径的圆与AB相切。 分析：要证明以CD为直径的圆与AB相切，只要证明圆心O到AB的距离等 于 O直径的一半即可。 牛牛文库文档分享 本讲着重介绍了本讲着重介绍了“切线的判定定理切线的判定定理”利用此定理判定一条直线是否为利用此定理判定一条直线是否为圆的切线时，必须注意直线是否符合题设的两个条件，二者缺一不可圆的切线时，必须注意直线是否符合题设的两个条件，二者缺一不可. 要判定一条直线是圆的切线，我们已学过三种方法要判定一条直线是圆的切线，我们已学过三种方法.判定方法判定方法根据根据方法方法1和圆有唯一公共点的和圆有唯一公共点的直线是圆的切线直线是圆的切线切线定义切线定义方法方法2和圆心距离

8、和圆心距离d等于圆等于圆的半径的半径r的直线是圆的直线是圆的切线的切线直线直线l和和 O相相切切 dr方法方法3过半径外端且和半径过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切垂直的直线是圆的切线线切线判定定理切线判定定理 牛牛文库文档分享 在证明一条直线是圆的切线时，常常要添加辅助线，一般有以下两种情况：在证明一条直线是圆的切线时，常常要添加辅助线，一般有以下两种情况：(1)如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这点的半径，并证明直线如果已知直线过圆上某一点，则可作出过这点的半径，并证明直线 与这条半径垂直。与这条半径垂直。(2)若已知直线和圆的公共点没有确定，这时应过圆心作已知直线的垂若已知直线和圆的

9、公共点没有确定，这时应过圆心作已知直线的垂 线，再证明圆心到直线的距离等于半径。线，再证明圆心到直线的距离等于半径。同圆的切线垂直于经过切点的半径，若题中有切线，就有直角三角形存同圆的切线垂直于经过切点的半径，若题中有切线，就有直角三角形存在。因此解直角三角形与解切线有关的问题有着直接的联系和应用应予在。因此解直角三角形与解切线有关的问题有着直接的联系和应用应予以关注。以关注。 牛牛文库文档分享1已知：在ABC中，ABAC，以AB为直径作 O交BC于D，DEAC于E， 如图，求证：DE是 O的切线。动画演示 分析：因为DE经过 O上的点D，所以要证明DE为切线，可连结OD， 再证明DEOD。

10、牛牛文库文档分享2如图(10)，已知在ABC中，ADBC于D，AD BC，E和F分别为AB和 AC的中点，EF与AD交于G，以EF为直径作 O，求证： O与BC相切。 分析：要证明以EF为直径的 O与BC相切，只要过O作OHBC于H，证 明OH等于直径EF的一半。 动画演示 3如图，ABC内接于 O，P、B、C在一直线上，且PA2PBPC， 求证：PA是 O的切线。 分析：PA过 O上一点A，要证PA为切线，只要证PAAO，为此，作 直径AD，并连结CD，只要证PAAD即可。 牛牛文库文档分享4如图，已知AB是 O的直径，点E在 O外，AE交 O于C，CD是 O 的切线，交BE于点D，且DEDB，求证：BE是 O的切线。 5如图，ADC内接于 O，AB是 O的直径，且EACD。求证： AE是 O的切线。 分析：要证AE是 O的切线，只要证OAAE，即证OAE90 牛牛文库文档分享