线性代数孙玲琍215初等变换与初等矩阵.pptx

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1、上一页下一页退 出(elementary operation) 一、矩阵的初等变换一、矩阵的初等变换 上一页下一页退 出等等价价，与与则则称称BA. BA记记作作: :. .矩矩阵阵等等价价2，成成经经过过有有限限次次初初等等变变换换变变如如果果矩矩阵阵BA上一页下一页退 出3.定定义义： ；阶阶梯梯下下方方全全为为0)1；阶阶梯梯口口元元素素非非0)2;)3 每每级级阶阶梯梯只只有有一一行行阶阶宽宽不不限限。)4 00000210001710011013(1)行阶梯阵行阶梯阵 上一页下一页退 出 00000210001710011013 00000210001010010011(2) 行最简

2、形行最简形(1) 行阶梯阵行阶梯阵 ；阶阶梯梯下下方方全全为为0)1;)3 每每级级阶阶梯梯只只有有一一行行阶阶宽宽不不限限。)4；阶阶梯梯口口元元素素非非0)201所在列的其它元都为所在列的其它元都为，且它，且它阶梯口元素为阶梯口元素为上一页下一页退 出（3）标准形标准形:nmrOOOI 初初等等变变换换nmAnmrOOOI .零零行行的的行行数数就就是是行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中非非r上一页下一页退 出 121312150A 200150121阶梯形阶梯形 100010001最简形最简形标准形标准形上一页下一页退 出例例2 将下面矩阵化为行阶梯形，行最简形，标准形将下面矩阵化为行阶梯形，

3、行最简形，标准形. . 17533164221421001111A 00000142001421001111 0000021210000010211001 00000001000001000001上一页下一页退 出 555222111100001010 555222111100010003 555222111100010201 555222111111 555222333 555111222上一页下一页退 出);,(jiI);(kiI).(,(kjiI例例：31krr 10001001k)(3 , 1(kI 100010001二、初等方阵二、初等方阵 13kcc 或或.方方阵阵称称为为初初等等

4、方方阵阵经经一一次次初初等等变变换换得得到到的的I.初初等等方方阵阵三三种种初初等等变变换换对对应应三三个个上一页下一页退 出.)1 初初等等方方阵阵都都是是可可逆逆的的IkiIkiI )()1(:如如 10000001k 100010001k 100010001性性质质：上一页下一页退 出例例： 100030001 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaa 3433323124232221141312113333aaaaaaaaaaaa)2相相当当于于；用用相相应应的的初初等等方方阵阵左左乘乘A行变换行变换进进行行一一次次对对A相相当当于于。用用相相应应的的初

5、初等等方方阵阵右右乘乘A列变换列变换进进行行一一次次对对A nnA可逆可逆 OOOIr? r上一页下一页退 出3)任何可逆阵都可表示为有限个初等方阵的乘积任何可逆阵都可表示为有限个初等方阵的乘积. . 的的充充要要条条件件是是：矩矩阵阵：注注BAnm1 ，阶可逆方阵及阶可逆方阵存在QnPm.BPAQ 使使的的充充要要条条件件是是：经经初初等等行行变变换换化化为为：注注BA2.BPAP ，使使存存在在可可逆逆方方阵阵”？矩矩阵阵等等价价如如何何用用初初等等方方阵阵表表示示“上一页下一页退 出初初等等方方阵阵均均可可逆逆； 1 1) )性质归纳性质归纳. .阵阵的的乘乘积积可可表表示示为为有有限限

6、个个初初等等方方可可逆逆方方阵阵均均 3 3) )2相相当当于于；用用相相应应的的初初等等方方阵阵左左乘乘A行变换行变换进进行行一一次次对对A相相当当于于。用用相相应应的的初初等等方方阵阵右右乘乘A列变换列变换进进行行一一次次对对A上一页下一页退 出.12IAPPPl .112 AIPPPl得得求求逆逆阵阵的的方方法法：三、初等方阵的应用三、初等方阵的应用)(IA)(1 AI上一页下一页退 出解解 100343010122001321)(IA 00132102 5 2 21rr 012520102 1 103)1(r 23rr 1002 6 3 01133rr 122rr 001111 .34

7、31223211 AA，求，求设设1例例上一页下一页退 出312rr 325rr 111100563020231001221)(r 11110025323010231001 111253232311A21rr 012520102 1 103)1(r 23rr 001111 上一页下一页退 出 4613513411A答案：答案：例例2用初等行变换求用初等行变换求的逆阵的逆阵 121011322A课堂练习课堂练习上一页下一页退 出.,:.,1 ABBBAA并求并求可逆可逆证明证明矩阵记为矩阵记为与第三行互换后所得的与第三行互换后所得的的第一行的第一行将将是三阶可逆矩阵是三阶可逆矩阵设设补充拔高题补充拔高题 0010101001AB上一页下一页退 出一一、初初等等变变换换：. 3;. 2;. 1jiijikrrkrrr 二二、初初等等方方阵阵：);,(jiI);( kiI).(,(kjiI)(IA)(1 AI三三、初初等等方方阵阵的的应应用用：2.5 小结小结