超静定结构的受力分析及特性.pdf

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1、超静定结构的受力分析及特性超静定结构的受力分析及特性一、超静定结构的特征及超静定次数一、超静定结构的特征及超静定次数超静定结构的静力特征是仅由静力平衡条件不能唯一地确定全部未知反力和内力。结构的多余约束数或用静力平衡条件计算全部未知反力和内力时所缺少的方程数称为 结构的超静定次数。通常采用去除多余约束的方法来确定结构的超静定次数。即去除结构的全部多余约 束，使之成为无多余约束的几何不变体系，这时所去除的约束数就是结构的超静定次数。去除约束的方法有以下几种：(一)切断一根两端铰接的直杆(或支座链杆)，相当于去除一个约束。(二)切断一根两端刚接的杆件，相当于去除三个约束。(三)切断个单铰(或支座固

2、定铰)，相当于去除二个约束;切断一个复铰(连接 n 根杆件的铰)，相当于去除 2(n1)个约束。(四)将单刚结点改为单铰节点，相当于去除一个约束;将连接 n 个杆件的复刚节点改为复铰节点，相当于去除 n1 个约束。去除一个超静定结构多余约束的方法可能有几种，但不管采用哪种方法，所得超静定次数一定相同。去除图 41a 所示超静定结构的多余约束的方法之一如图 41b 所示，去除六个多余约束后，就成为静定结构，故为超静定六次。再用其他去除多余约束的方案确定其超静定次数，结果是相同的。二、力法的基本原理二、力法的基本原理(一)力法基本结构和基本体系去除超静定结构的多余约束，代以相应的未知力 Xi (i

3、=1、2、n)，Xi 称为多余未知力或基本未知力，其方向可以任意假定。去除多余约束后的结构称为力法基本结构。力法基本结构在各多余未知力、外荷载(有时还有温度变化、支座位移等)共同作用下的体系称为力法基本体系，它是用力法计算超静定结构的基础。选取力法基本结构应注意下面两点：1.基本结构一般为静定结构，即无多余约束的几何不变体系。有时当简单超静定结构的解为已知时，也可以将它作为复杂超静定结构的基本结构，以简化计算。2.选取的基本结构应使力法典型方程中的系数和自由项的计算尽可能简便，并尽量使较多的副系数和自由项等于零。(二)力法典型方程及其意义根据原结构在荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的已

4、知位移与基本结构在各多余未知力以及与原结构相同的荷载、温度变化、支座位移等因素作用下产生的位移必须相同的条件，由叠加原理，可得 n 次超静定结构的力法典型方程为式中 Xi 为多余未知力(i=1、2、，2);ij 钆为基本结构仅由 Xj=1为多余未知力(j=1、2、n)产生的沿 Xi 方向的位移、为基本结构的柔度系数;ip、it、ic 分别为基本结构仅由荷载、温度变化、支座位移产生的沿 Xi方向的位移，为力法典型方程的自由项;i 为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下的已知位移(如结构边界处的已知支座位移条件、杆件变形后的已知位移连续条件等)。力法典型方程(41)也称为变形协调方程。其中

5、第一个方程表示基本结构在 n 个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移等共同作用下，在 Xl 作用点沿 Xl作用方向产生的位移，等于原结构的已知相应位移 1;第二个方程表示基本结构在 n 个多余未知力、荷载、温度变化、支座位移共同作用下，在 X2 作用点沿 X2 作用方向产生的位移，等于原结构的已知相应位移 2。其余各式的意义可按此类推。各多余未知力 Xi 的大小和方向必须受力法典型方程的约束，多余约束力与变形协调条件是一一对应的，故满足力法典型方程的各多余未知力的解是唯一真实的解。同一超静定结构，可以选取不同的基本体系，其相应的力法典型方程也就表达了不同的变形协调条件。不管选取哪种基本体系，求

6、得的最后内力总是相同的。图 42a 所示体系为一次超静定结构，如取图 42b 所示的基本体系，则力法典型方程为 11X1 +1p=0;如取图 42c 所示的基本体系，则力法典型方程为 11X1 +1p= X1l/EA。图 4-2对于图 42d 所示的一次超静定结构，如取图 42e、f 所示的基本体系，则相应的力法典型方程分别为 11X1 +1p=0、11X1 +1p= X1/kN。图 43a 所示一次超静定结构的支座 B 有已知的竖向位移 a，如取图 43b 所示的基本体系，力法典型方程为 11X1 = -a;如取图 43c 所示的基本体系，力法典型方程为 11X1 +1C=0。图 4-3(三

7、)系数和自由项的计算力法典型方程中的系数和自由项都是静定基本结构仅由单位力、实际荷载、温度变化、支座位移产生的位移，它们均可按上述各自的定义，用相应的位移计算公式计算。力法典型方程中的系数 ii 称为主系数，它们恒为正值;ij(i j)称为副系数，它们可为正值、负值、也可为零，根据位移互等定理有 ij=ji;各自由项的值可为正值、负值、也可为零。(四)计算超静定结构的内力由力法典型方程求出各多余未知力 Xi 后，将 Xi 和原荷载作用在基本结构上，再根 据求作静定结构内力图的方法，作出基本结构的内力图就是超静定结构的内力图。或者也 可通过下述叠加方法，计算结构的最后内力。式中 Mi、Vi、Ni

8、 分别为 Xi=1 引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力;Mp、Vp、Np 分别为荷载引起的基本结构的弯矩、剪力、轴力。对梁和刚架，通常的做法是先根据式(42)中的第一式求出各杆端弯矩，再用直杆弯矩图的叠加法作出各杆的弯矩图，然后根据弯矩图由静力平衡条件求出各杆端的剪力和轴力，并据此作出剪力图和轴力图。三、超静定结构的位移计算三、超静定结构的位移计算超静定结构的位移计算仍应用变形体系虚功原理和单位荷载法。在具体计算时，为了使计算简便，其虚设状态(即单位力状态)可采用原超静定结构的任一静定基本结构。位移计算的一般公式如下。(一)荷载作用引起的位移计算公式(二)温度变化引起的位移计算公式(三)支座位移

9、引起的位移计算公式上面三式中的 Mi、Ni、Vi 和 Ri 为虚设状态(原超静定结构的静定基本结构)的弯矩、轴力、剪力和支座反力;M、N、V、Mt、Nt、Vt、Mc、Nc、Vc 分别为原超静定结构在荷载、温度变化、支座位移作用下产生的弯矩、轴力、剪力。与静定结构一样，在符合一定的条件时，超静定结构的位移计算也可采用简化(实用)计算公式，以及采用图形相乘法代替积分计算。四、超静定结构内力图的校核四、超静定结构内力图的校核超静定结构的内力图必须同时满足静力平衡条件和原结构的变形条件。1.平衡条件校核根据求得的反力和内力，取整个结构或结构的任一部分为隔离体，校核其是否满足静 力平衡条件。2.变形条件校核根据已求得的内力计算超静定结构的位移，校核其是否与原结构的已知位移条件一致。 对于具有无铰闭合外形的结构，在荷载作用下，校核任一切断截面两侧的相对转角时，位移条件的校核公式可简化为