函数、极限与连续习题及答案 (1).doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流函数、极限与连续习题及答案 (1).精品文档.第一章 函数、极限与连续(A)1区间表示不等式( ) A B C D2若，则( ) A B C D3设函数的定义域是( ) A B C D4下列函数与相等的是( ) A， B， C， D ，5下列函数中为奇函数的是( ) A B C D6若函数，则的值域为( ) A B C D7设函数()，那么为( ) A B C D 8已知在区间上单调递减，则的单调递减区间是( ) A B C D不存在 9函数与其反函数的图形对称于直线( ) A B C D10函数的反函数是( ) A B C D 11设函数，

2、则( ) A当时，是无穷大 B当时，是无穷小C当时，是无穷大 D当时，是无穷小12设在上有定义，函数在点左、右极限都存在且相等是函数在点连续的( ) A充分条件 B充分且必要条件 C必要条件 D非充分也非必要条件 13若函数在上连续，则的值为( ) A0 B1 C-1 D-2 14若函数在某点极限存在，则( ) A 在的函数值必存在且等于极限值 B在函数值必存在，但不一定等于极限值 C在的函数值可以不存在 D如果存在的话，必等于极限值15数列，是( ) A以0为极限 B以1为极限 C以为极限 D不存在在极限16( ) A B不存在 C1 D017( ) A B C0 D18无穷小量是( ) A

3、比零稍大一点的一个数 B一个很小很小的数C以零为极限的一个变量 D数零19设则的定义域为 ，= ，= 。20已知函数的定义域是，则的定义域是 。21若，则 ， 。22函数的反函数为 。23函数的最小正周期 。24设，则 。25 。26 。27 。28 。29函数的不连续点为 。30 。31函数的连续区间是 。32设，处处连续的充要条件是 。33若，复合函数的连续区间是 。34若，均为常数，则 ， 。35下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？(1)，(2)，(3)，(4)(5)，(6)36若，证明。37求下列函数的反函数(1)， (2) 38写出图1-1和图1-2所示函数

4、的解析表达式 2 1 1 -1 图1-1 图1-239设，求。40设，求。41若，求。42利用极限存在准则证明：。43求下列函数的间断点，并判别间断点的类型 (1)，(2)，(3)，(4)44设，问： (1) 存在吗？ (2) 在处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。45设， (1)求出的定义域并作出图形。 (2)当，1，2时，连续吗？ (3)写出的连续区间。46设，求出的间断点，并指出是哪一类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。47根据连续函数的性质，验证方程至少有一个根介于1和2之间。48验证方程至少有一个小于1的根。(B)1在函数的可去间断点处，

5、下面结论正确的是( ) A函数在左、右极限至少有一个不存在 B函数在左、右极限存在，但不相等 C函数在左、右极限存在相等 D函数在左、右极限都不存在2设函数，则点0是函数的( ) A第一类不连续点 B第二类不连续点 C可去不连续点 D连续点3若，则( ) A当为任意函数时，有成立 B仅当时，才有成立 C当为有界时，能使成立 D仅当为常数时，才能使成立4设及都不存在，则( ) A及一定不存在 B及一定都存在 C及中恰有一个存在，而另一个不存在 D及有可能存在5的值为( ) A1 B C不存在 D06( ) A B C0 D7按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( ) A() B ()C (

6、) D ()8当时，下列与同阶(不等价)的无穷小量是( ) A B C D 9设函数，则为( ) A30 B15 C3 D1 10设函数()的值域为，的值域为，则有( ) A B C D11在下列函数中，与表示同一函数的是( ) A， B， C， D， 12与函数的图象完全相同的函数是( ) A B C D 13若，下列各式正确的是( ) A B C D 14若数列有极限，则在的领域之外，数列中的点( ) A必不存在 B至多只有限多个 C必定有无穷多个 D可以有有限个，也可以有无限多个15任意给定，总存在，当时，则( ) A B C D 16如果与存在，则( ) A存在且 B存在，但不一定有

7、C不一定存在 D一定不存在17无穷多个无穷小量之和，则( ) A必是无穷小量 B必是无穷大量C必是有界量 D是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量18，则它的连续区间为( ) A BC D19设，则它的连续区间是( ) A B (为正整数)处C D及 处20设要使在处连续，则( ) A2 B1 C0 D-1 21设，若在上是连续函数，则( ) A0 B1 C D322点是函数的( ) A连续点 B第一类非可去间断点 C可去间断点 D第二类间断点23方程至少有一根的区间是( ) A B C D24下列各式中的极限存在的是( ) A B C D25( ) A1 B0 C-1 D不存在26 。27若

8、，则 。28函数的单调下降区间为 。29已知，则 ， 。30，则 。31函数的不连续点是 ，是第 类不连续点。32函数的不连续点是 ，是第 不连续点。33当时， 。34已知，为使在连续，则应补充定义 。35若函数与函数的图形完全相同，则的取值范围是 。36设，若，则 ；若，则 ；若；则 。37设，则 。38设，函数有意义，则函数的定义域 。39设数列的前项和为，那么 。40如果时，要无穷小与等价，应等于 。41要使，则应满足 。42 。43函数，当 时，函数连续。44已知，则 ， 。45， ；若无间断点，则 。46函数在点处可可连续开拓，只须令 。47 。48 。49 。50设，证明：当，下列

9、等式成立：(1)，(2) 。51设，求和。52若，证明：。53根据数列极限的定义证明：(1) ，(2) ，(3) ，(4) 54根据函数极限的定义证明(1) ，(2) ，(3) ，(4)55求下列极限(1) (2) (，为正整数)，(3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (为正整数)56当时，求下列无穷小量关于的阶 (1)，(2)，(3)，(4)57试证方程，其中，至少有一个正根，并且不超过。58设在闭区间上连续，且，则在上至少存在一个，使。59设在上连续，且，试证：在内至少有一点，使得：。60设数列有界，又，证明。61设，求。

10、62设，求及。63求。64求。65求下列极限(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 66求。(C)1若存在，对任意，适合不等式的一切，有，则( ) A在不存在极限 B在严格单调 C在无界 D对任意，2若存在，对任意，适合不等式的一切，有，则( ) A B在上无界 C在上有界 D在上单调3函数()，则此函数( ) A 没有间断点 B有一个第一类间断点 C有两个以上第一类间断点 D有两个以上间断点，但类型不确定4若函数的定义域为，则的取值范围是( ) A B或 C D5两个无穷小量与之积仍是无穷小量，且与或相比( ) A是高阶无穷小 B是同阶无穷小 C可能是高阶，也可能是同

11、阶无穷小 D与阶数较高的那阶同阶 6试决定当时，下列哪一个无穷小是对于的三阶无穷小( ) A B(是常数)C D 7指出下列函数中当时( )为无穷大 A B C D 8，如果在处连续，那么( ) A0 B2 C D1 9使函数为无穷小量的的变化趋势是( ) A B C D10设，若，则= 。11若而，则 。12若在处连续，则 。13设有有限极限值，则 ， 。14() = 。15证明不存在。16求()。17求。18设在处连续，且，以及，试证：在处连续。19利用极限存在准则证明：数列，的极限存在。20设适合(、均为常数)且，试证：。21设函数在内有定义，试求。22设、都为单调增加函数，且对一切实数

12、均有：，求证。23证明当时左右极限不存在。24设，证明：当时的极限存在。25若在上连续，则在上必有，使。26证明，若在内连续，且存在，则必在内有界。27，求、的值。28证明方程，在，内有唯一的根，其中，均为大于0的常数，且。第一章 函数、极限与连续(A)1区间表示不等式( B ) A B C D2若，则( D ) A B C D3设函数的定义域是( C ) A B C D4下列函数与相等的是( A ) A， B， C， D ，5下列函数中为奇函数的是( A ) A B C D6若函数，则的值域为( B ) A B C D7设函数()，那么为( B ) A B C D 8已知在区间上单调递减，则

13、的单调递减区间是( C ) A B C D不存在 9函数与其反函数的图形对称于直线( C ) A B C D10函数的反函数是( D ) A B C D 11设函数，则( B ) A当时，是无穷大 B当时，是无穷小C当时，是无穷大 D当时，是无穷小12设在上有定义，函数在点左、右极限都存在且相等是函数在点连续的( C ) A充分条件 B充分且必要条件 C必要条件 D非充分也非必要条件 13若函数在上连续，则的值为( D ) A0 B1 C-1 D-2 14若函数在某点极限存在，则( C ) A 在的函数值必存在且等于极限值 B在函数值必存在，但不一定等于极限值 C在的函数值可以不存在 D如果存

14、在的话，必等于极限值15数列，是( B ) A以0为极限 B以1为极限 C以为极限 D不存在在极限16( C ) A B不存在 C1 D017( A ) A B C0 D18无穷小量是( C ) A比零稍大一点的一个数 B一个很小很小的数C以零为极限的一个变量 D数零19设则的定义域为，= 2 ，= 0 。20已知函数的定义域是，则的定义域是。21若，则， 。22函数的反函数为。23函数的最小正周期 2 。24设，则。25 。26。27 0 。28。29函数的不连续点为 1 。30。31函数的连续区间是、。32设，处处连续的充要条件是 0 。33若，复合函数的连续区间是 ，。34若，均为常数，

15、则 1 ， 2 。35下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪既非奇函数又非偶函数？(1) 偶函数(2) 非奇函数又非偶函数(3) 偶函数(4) 奇函数(5) 非奇函数又非偶函数(6) 偶函数36若，证明。证：37求下列函数的反函数(1)解： (2) 38写出图1-1和图1-2所示函数的解析表达式 2 1 1 -1 图1-1 图1-2 解：(1) (2)39设，求。 解：故。40设，求。解：41若，求。 解：42利用极限存在准则证明：。证：且，由夹逼定理知43求下列函数的间断点，并判别间断点的类型 (1)，(2)，(3)，(4)解：(1)当为第二类间断点；(2)均为第二类间断点； (3)，为第

16、一类断点；(4)，均为第一类间断点。44设，问： (1) 存在吗？解：存在，事实上，故。 (2) 在处连续吗？若不连续，说明是哪类间断？若可去，则补充定义，使其在该点连续。解：不连续，为可去间断点，定义：，则在处连续。 0 1 45设， (1)求出的定义域并作出图形。 解：定义域为(2)当，1，2时，连续吗？ 解：，时，连续，而时，不连续。 (3)写出的连续区间。 解：的连续区间、。46设，求出的间断点，并指出是哪一类间断点，若可去，则补充定义，使其在该点连续。解：(1)由，故为可去间断点，改变在的定义为，即可使在连续。(2)由，故为第一类间断点。(3)类似地易得为第一类间断点。47根据连续函

17、数的性质，验证方程至少有一个根介于1和2之间。验证：设，易知在上连续，且，故，使。48验证方程至少有一个小于1的根。验证：设，易知在上连续，且，故，使。(B)1在函数的可去间断点处，下面结论正确的是( C ) A函数在左、右极限至少有一个不存在 B函数在左、右极限存在，但不相等 C函数在左、右极限存在相等 D函数在左、右极限都不存在2设函数，则点0是函数的( D ) A第一类不连续点 B第二类不连续点 C可去不连续点 D连续点3若，则( C ) A当为任意函数时，有成立 B仅当时，才有成立 C当为有界时，能使成立 D仅当为常数时，才能使成立4设及都不存在，则( D ) A及一定不存在 B及一定

18、都存在 C及中恰有一个存在，而另一个不存在 D及有可能存在5的值为( D ) A1 B C不存在 D06( A ) A B C0 D7按给定的的变化趋势，下列函数为无穷小量的是( C ) A() B ()C () D ()8当时，下列与同阶(不等价)的无穷小量是( B ) A B C D 9设函数，则为( B ) A30 B15 C3 D1 10设函数()的值域为，的值域为，则有( D ) A B C D11在下列函数中，与表示同一函数的是( D ) A， B， C， D， 12与函数的图象完全相同的函数是( A ) A B C D 13若，下列各式正确的是( C ) A B C D 14若数

19、列有极限，则在的领域之外，数列中的点( B ) A必不存在 B至多只有限多个 C必定有无穷多个 D可以有有限个，也可以有无限多个15任意给定，总存在，当时，则( A ) A B C D 16如果与存在，则( C ) A存在且 B存在，但不一定有 C不一定存在 D一定不存在17无穷多个无穷小量之和，则( D ) A必是无穷小量 B必是无穷大量C必是有界量 D是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量18，则它的连续区间为( C ) A BC D19设，则它的连续区间是( B ) A B (为正整数)处C D及 处20设要使在处连续，则( B ) A2 B1 C0 D-1 21设，若在上是连续函数，则

20、( C ) A0 B1 C D322点是函数的( C ) A连续点 B第一类非可去间断点 C可去间断点 D第二类间断点23方程至少有一根的区间是( D ) A B C D24下列各式中的极限存在的是( C ) A B C D25( D ) A1 B0 C-1 D不存在26。27若，则。28函数的单调下降区间为。29已知，则 0 ， 6 。30，则 2 。31函数的不连续点是，是第 二 类不连续点。32函数的不连续点是，是第 二类 不连续点。33当时，。34已知，为使在连续，则应补充定义。35若函数与函数的图形完全相同，则的取值范围是 。36设，若，则 0或1 ；若，则 ；若；则。37设，则。3

21、8设，函数有意义，则函数的定义域。39设数列的前项和为，那么 。40如果时，要无穷小与等价，应等于 2 。41要使，则应满足。42 0 。43函数，当 2 时，函数连续。44已知，则 2 ， -8 。45， 0 ；若无间断点，则 0 。46函数在点处可可连续开拓，只须令 0 。47。48 0 。49。50设，证明：当，下列等式成立：(1)证：(2) 证：51设，求和。 解：，52若，证明：。 解： 故结论成立。53根据数列极限的定义证明：(1) 证：，要使，只要，取，则当时，恒有，即。(2) 证：，因，要使，只要，取，则当时，恒有，即。(3) 证：，因，要使，只要，即只要。取，则当时，恒有，即

22、。(4)证：，因，只要。取，当时，恒有，即。 54根据函数极限的定义证明(1) 证：，因，要使，只要。，则当时，恒有，即。(2) 证：，因，要使，要使，取，则当时，恒有，即。(3) 证：，因，只要，取，则当时，恒有，即。(4)证：，要使，只要，取，则当时，恒有，即。55求下列极限(1) 解：原式(2) (，为正整数)，解：原式(3) 解：原式(4) 解：原式(5) 解：原式(6) 解：原式(7) 解：原式(8) 解：原式(9) 解：令，原式(10) 解：原式(11) 解：原式(12) 解：原式(13) 解：原式(14) (为正整数) 解：原式56当时，求下列无穷小量关于的阶 (1) 解：3阶(

23、2) 解：阶(3) 解：1阶(4) 解：3阶57试证方程，其中，至少有一个正根，并且不超过。证：令，则，且，故，使。58设在闭区间上连续，且，则在上至少存在一个，使。证：令，于是在上连续，由于条件(若，则显然结果成立，若)，显然，故使，综上，使。59设在上连续，且，试证：在内至少有一点，使得：。证：令，于是在上连续，且，故，使，即。60设数列有界，又，证明。证：由假设不妨设，为一正数，由，故自然数，当时，恒有，故恒有，即。61设，求。解：原式62设，求及。解：，故63求。解：原式64求解：原式65求下列极限(1) 解：原式(2) 解：原式(3) 解：原式(4) 解：原式(5) 解：原式(6)

24、解：原式(7) 解：原式(8) 解：原式66求。 解：原式(C)1若存在，对任意，适合不等式的一切，有，则( D ) A在不存在极限 B在严格单调 C在无界 D对任意，2若存在，对任意，适合不等式的一切，有，则( C ) A B在上无界 C在上有界 D在上单调3函数()，则此函数( A ) A 没有间断点 B有一个第一类间断点 C有两个以上第一类间断点 D有两个以上间断点，但类型不确定4若函数的定义域为，则的取值范围是( B ) A B或 C D5两个无穷小量与之积仍是无穷小量，且与或相比( A ) A是高阶无穷小 B是同阶无穷小 C可能是高阶，也可能是同阶无穷小 D与阶数较高的那阶同阶 6试

25、决定当时，下列哪一个无穷小是对于的三阶无穷小( B ) A B(是常数)C D 7指出下列函数中当时( D )为无穷大 A B C D 8，如果在处连续，那么( D ) A0 B2 C D1 9使函数为无穷小量的的变化趋势是( C ) A B C D10设，若，则=。11若而，则。12若在处连续，则 0 。13设有有限极限值，则 4 ， 10 。14() =。15证明不存在。设，但对，使，但，而1，不能同时落在内，故不存在。16求()。解：原式17求。解：（）18设在处连续，且，以及，试证：在处连续。证：，由于在处连续，所以，当时，恒有，由假设，易知，故当时，恒有，即在处连续。19利用极限存在

26、准则证明：数列，的极限存在。证：设，以下证明有上界；单增（用归纳法证）当时，假定时，则当时，所以()单调增加事实上由于，所以，由，据极限存在准则知存在。20设适合(、均为常数)且，试证：。证：由于满足：(、为常数)故满足：得：，。21设函数在内有定义，试求。解：由于，且由假设，故。22设、都为单调增加函数，且对一切实数均有：，求证。证：，有，由于的单增性，可知，于是得23证明当时左右极限不存在。证：不妨设，对，使，但， ，而1，-1不能同时落在内，故，当时，极限不存在，同理可证：，当时的极限不存在。24设，证明：当时的极限存在。解：25若在上连续，则在上必有，使。证：令，则中至少有一个，使，至少有一个，使，显然有当式中两个“”中有一个取等号时，则对应的(或)即为，当式中的两个“”号都不能取符号时。由于闭区间(或)上连续，由介值定理知至少存在一点或，使，以上两种情况下得到的显然都在上。26证明，若在内连续，且存在，则必在内有界。证：令，则对给定的一个，只要，就有，即，又由在闭区间上连续，根据有界性条件， ，使，取，则，。27，求、的值。解：由于，所以由，且，知。28证明方程，在，内有唯一的根，其中，均为大于0的常数，且。证：设，易知，取充分小，且，则易知，；，由连续函数的零值定理知：在与内分别有根，又由于，故在与内单调，所以在，内均只有唯一的根。