复杂系统决策模型与层次分析法.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流复杂系统决策模型与层次分析法.精品文档.3.4 复杂系统决策模型与层次分析法Analitic Hierachy Process (AHP) T.L.Saaty 1970一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。一. 问题举例 1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。 2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。 3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献（实用价值、科学意义

2、），可行性（难度、周期和经费）和人才培养。二. 模型和方法 1. 层次结构模型的构造步骤一：确定层次结构，将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。 最高层：决策的目的、要解决的问题。 最低层：决策时的备选方案。 中间层：考虑的因素、决策的准则。 对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。旅游景点居住景色费用饮食交通泰山杭州承德选购冰箱品牌功能价格耗电海尔新飞容声雪花例1. 选购冰箱 例2. 旅游景点科研课题贡献可行性实用价值学术意义人才培养难度周期经费基础应用教育例3. 科研课题步骤二： 通过相互比较，确定下一层各因素对

3、上一层目标的影响的权重，将定性的判断定量化，即构造因素判断矩阵。步骤三：由矩阵的特征值确定判别的一致性；由相应的特征向量表示各因素的影响权重，计算权向量。步骤四： 通过综合计算给出最底层（各方案）对最高层（总目标）影响的权重，权重最大的方案即为实现目标的最由选择。2. 因素判断矩阵比较n个因素y=(y1,y2,yn)对目标 z 的影响.采用两两成对比较，用aij表示因素 yi与因素yj对目标z的影响程度之比。 通常用数字 1 9及其倒数作为程度比较的标度， 即九级标度法xi/xj 相当 较重要 重要 很重要 绝对重要aij 1 3 5 7 9 2, 4, 6, 8 居于上述两个相邻判断之间。当

4、aij 1时，对目标 Z来说 xi 比 xj重要, 其数值大小表示重要的程度。同时必有 aji = 1/ aij 1，对目标 Z来说 xj比 xi 不重要，其数值大小表示不重要的程度。称矩阵 A = （ aij ）为因素判断矩阵。因为 aij 0 且 aji =1/ aij 故称A = (aij )为正互反矩阵。例. 选择旅游景点 Z：目标，选择景点 y：因素，决策准则 y1 费用，y2 景色，y3 居住，y4 饮食，y5 交通3. 一致性与权向量如果 aij ajk =aik i, j, k=1,2,n， 则称正互反矩阵A具有一致性. 这表明对各个因素所作的两两比较是可传递的。 一致性互正反

5、矩阵A=( aij )具有性质:A的每一行(列)均为任意指定行(列)的正数倍数,因此 rank(A)=1.A有特征值l=n, 其余特征值均为零.记A的对应特征值l=n的特征向量为w=(w1 w2 , wn) 则 aij =wi wj-1如果在目标z中n个因素y=(y1,y2,yn)所占比重分别为w=(w1 w2 , wn), 则 iwi =1, 且因素判断矩阵为 A=(wi wj-1) 。因此，称一致性正互反矩阵A相应于特征值n的归一化特征向量为因素y=(y1,y2,yn)对目标z的权向量 4. 一致性检验与因素排序定理1: n阶正互反矩阵A是一致性的当且仅当其最大特征值为 n.定理2: 正互

6、反矩阵具有模最大的正实数特征值l1, 其重数为1, 且相应特征向量为正向量.为刻画n阶正互反矩阵A=( aij )与一致性接近的程度, 定义一致性指标(Consensus index) : CI=(l1-n)/(n-1)CI = 0, A 有完全的一致性。CI 接近于 0, A 有满意的一致性 。 Saaty又引入平均随机一致性指标RT n 1 2 3 4 5 6 7 8 9RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 当CR = CI / RI 0.1 时, 认为A 有满意的一致性。 此时取A 的相应于l1 的归一化特征向量w=(w1 w2 , wn)为

7、因素y=(y1,y2,yn)对目标z的权向量。由w=( w2 , wn)分量wi的大小可以对因素的重要性排序。 例.选择旅游景点： Z：目标，选择景点 y：因素，决策准则因素对目标的判断矩阵A, Matlab程序: V，D=eig(A)A 有特征根l1 = 5.019 w = (0.48, 0.26, 0.05, 0.10, 0.11) CI = (l1 -5) /(5-1) = 0019/4 = 0.00475 CR = 0.00475 / 1.12 = 0.004246 0.1， A 有满意的一致性。y：因素，决策准则 y1 费用，y2 景色，y3 居住，y4 饮食，y5 交通 x： 对象

8、，备选方案 x1 杭州，x2 泰山，x3 承德。备选对象对决策准则yi的判别矩阵为 Bi 备选对象对决策准则的判别矩阵都具有满意的一致性5.一致性与总排序 层次： x y Z y 对目标 Z有判断矩阵 A，排序权重 a =(a1, , a5)T x 对准则 yj 有判断矩阵 Bj，排序权重bj=(b1j, b2j, b3j)T , 记 B = (b1, b2, , b5).一致性检验：记 CIj(x)为 x对 yj 的 CI; RIj(x)为 x对 yj 的 RI.则 x对 Z 的 CI 为： x对 Z 的 RI 为：当组合一致性比率CRz=CIz/RIz0.1时，认为整个层次的比较判断具有满意的一致性。20. 组合权向量：对象对目标的排序。 w = (0.293, 0.311, 0.446) 层次分析法的优点：系统型、实用性、简洁性；缺点： 囿旧、粗略、主观。问题 P88, 16.半期课堂讨论题： P85, 3， 大江截流问题。