小学数学课外学习材料六年级下期.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流小学数学课外学习材料六年级下期.精品文档.小学数学课外学习材料六年级下期第一讲 整数、小数四则的巧算例1计算：676869666870。解：原式68(67696670)，为了使括号里两个积有相同的因数69，可以让6670666966，于是，原式68(67696670)68(6769666966)68(6766)6966686966683204。例2计算1.2219.2537.2855.3173.3491.37109.40。解：观察发现，式中共有7项，相邻两项的差：19.251.2237.2819.2555.3137.2873.3455.319

2、1.3773.34109.4091.3718.03，因此，这7个加数恰好组成一个等差数列，于是解法一：可以按照等公式“和(首项末项)项数2”进行计算：1.2219.2537.2855.3173.3491.37109.40(1.22109.40)72387.17。解法二：因为项数7是奇数，可以按照公式“和中项项数”进行计算：1.2219.2537.2855.3173.3491.37109.4055.317387.17。练 习 一1. 计算5624421244。2计算786871618167382129833214。3计算23332234443345554456665567776678887789

3、9988。4计算9938847746655554463362271178。5计算2008420075200662005720048。6计算2490.324.932.49300.249300。7计算1800023456。8计算3703754。第二讲 分数四则的巧算例1计算7142856。解：观察发现，相邻两个加数的整数部分，后一个数是前一个数的2倍；相邻两个加数的分数部分，后一个数是前一个数的。于是想到：(1)如果给整数部分再加上7,与原有的7合成14，再与原有的14合成28，依次类推，最后得到2个56，等于112，所以，原来的整数部分应该是1127105；(2)如果给分数部分再加上，与原有的合

4、成，再与原有的合成，再与原有的合成，最后得到2个，等于，所以原来的分数部分应该是。于是， 原式(771428567)()(5627)(2)105。例2计算。解：观察发现，原式可以化为，很像我们在上学期小学数学奥林匹克班上学习“裂项相消法”时所遇到的情况，于是猜想可能有类似的解决方法。试算发现，()， ()，()，()。于是， 原式()()()()()()。练习二1计算 (81)(72)(63)(54)(45)(36)(27)(18)(9)。2计算 206409501260157018。3计算 912151821242730。4计算99999999991。5计算 。6计算 。第三讲 整除 例 1

5、 有一个五位数154，已知这个数能被 36 整除, 这个五位数最大是多少?解：根据整除的知识：(1) 因为3649, 所以这个数一定能被4和9整除。(2) 一个数能9整除的条件是，各个数位上的数的和能被9整除。已知的三个数15410, 所以，其余两个数的和只有是8或17时, 10818，101727，这个五位数才能被9整除。为了使得到的数最大，要填的两个数的和取17，这样，百位和十位上两个里就只能填9和8。(3) 一个数能被4整除的条件是末两位数能被4整除。这个五位数的末两位是4, 所以十位上的里只能填8。于是，这个五位数是15984。 例 2有一个班的同学去划船。他们算了一下，如果每只船人数

6、相等，每只船坐6人就要比每只船坐9人多租2只船。这个班有多少人？解：每只船人数相等，既可以坐6人，也可以坐9人，说明这个班的人数是6和9的公倍数。可能是18人、36人、54人、72人如果是18人，两种坐法所需船数的差是1861891（只），不合题意；如果是36人，两种坐法所需船数的差是3663692（只），符合题意；如果是54人，两种坐法所需船数的差是5465493（只），不合题意；如果是72人，两种坐法所需船数的差是7267294（只），不合题意。随着人数的增多，两种坐法所需船数的差越来越大，就不必再试下去了。所以，这个班有36人。练 习 三1在四张卡片上分别写着数字1、2、4、7四个数字。

7、随意从其中取出三张，可以排成许多三位数，其中能被3整除的, 从小到大第五个数是多少？2有一堆苹果, 3个3个地数剩2个；4个4个地数剩3个, 5个5个地数剩4个。这堆苹果至少有多少个?3六一班开展“我爱我班”活动。王老师准备把22块橡皮和33支铅笔，奖给参加打扫卫生的同学(每份奖品相同)，结果橡皮多1块，铅笔少2支。参加打扫卫生的同学有多少人？每人得到橡皮多少块，铅笔多少支？4甲、乙、丙三人到图书馆去借书，甲每6天去一次，乙每8天去一次，丙每9天去一次，如果3月5日他们三人在图书馆相遇，那么下一次都到图书馆是几月几日？(1998年小学数学奥林匹克竞赛题)5一个三位数正好等于它各个数位上数字之和

8、的18倍，这个三位数是多少？6. 有一些最简真分数，它们的分子和分母的乘积是42，这样的分数有多少个？第四讲 多边形 例 1 左下图, 梯形ABCD的面积是36 cm2, E是BC的中点。求阴影三角形AED的面积。 A B A B E E D C D C F 解：让三角形ABE绕E点旋转, 使BE与EC重合, 得到三角形AFD, 如右上图。因为AEEF, 所以, 三角形AED和三角形EFD的面积相等。也就是说, 三角形AED的面积等于三角形AFD的一半。因为, 三角形AFD的面积与梯形ABCD相等, 所以, 三角形AED的面积是36218 (cm2)。 答：三角形AFD的面积是18 cm2。例

9、 2 如图, 直角梯形ABCD中, 上底AB15cm, 高BC30cm, 两条对角线相交与E。已知三角形ABE的面积比三角形ECD少150 cm2,求直角梯形 ABCD的面积。 A BE D C 解：题中关于三角形ABE和ECD, 除了知道它们面积的差以外, 其他一无所知。因此, 不可能直接从这两个三角形入手。观察发现, 如果给这两个三角形都拼上三角形EBC, 那么, 三角形ABC与三角形BCD面积的差仍然是150 cm2。三角形ABC的面积是 15302225(cm2)，三角形BCD的面积是 225150375(cm2)，DC 的长是 37523025(cm)，梯形ABCD的面积是 (251

10、5)302600(cm2)。答：直角梯形ABCD的面积是600 cm2。练 习 四1. 一个长方形, 长和宽都增加4cm, 面积增加44 cm2, 原来长方形的周长是多少厘米？2. 图中，平行四边形ABCD的底AD13.2 cm,E是AD的中点,已知梯形EBCD的面积是79.2 cm2, 求梯形的高。 A E D B C3. 下图，长方形ABCD的面积是64 cm2。E、F分别是相邻两条边的中点, 三角形AEF的面积是多少平方厘米? A D F B E C4. 学校体育场是长方形, 宽100m。张老师晚饭后散步, 以每小时 3 km的速度绕体育场走了一周, 正好用了10分钟。这个体育场占地多少

11、公顷?5. 一个长方形, 长与宽的比是85, 如果长减少, 宽增加13cm, 就变成一个正方形，那么这个长方形的面积是多少平方厘米?6如图，ABCD是边长为12cm的正方形，E、F分别是AB、BC边的中点，AF与CF交于G，四边形AGCD的面积是多少平方厘米？ DC G F A E B第五讲 长方体和正方体 例 1 一个正方体木块, 表面积是16 cm2, 把它截成8个体积相等的小正方体木块, 每个小木块的表面积是多少平方厘米? 解法一：解答这类题目, 绝对不能不假思索地认为每个小木块的表面积是1682(cm2)。首先应该想到, 怎样才能把一个大正方体截成8个体积相等的小正方体。 第一步, 沿

12、着垂直于高的方向, 把正方体截成体积相等的2“片”； 第二步, 沿着垂直于宽的方向, 把正方体截成体积相等的4“条”； 第三步, 沿着垂直于长的方向, 把正方体截成体积相等的8“块”。 从上面截的过程可以想到, 小正方体一个面的面积等于大正方体一个面的。由此可以算出小正方体的表面积是：16664(cm2)。 解法二：上面的过程说明, 小正方体的棱长是大正方体棱长的一半, 即棱长缩小了2倍。根据正方体的棱长扩大或缩小2倍, 表面积扩大或缩小224 倍, 体积扩大或缩小2228倍, 小正方体的表面积是：1644(cm2)。 例 2 一个长方体, 高18cm, 底面是正方形, 侧面展开后恰好也是正方

13、形, 这个长方体的体积是多少立方厘米? 解：长方体的侧面展开后是一个长方形, 长等于长方体底面的周长, 宽就是长方体的高。已知这个长方体侧面展开后是一个正方形, 说明这个长方体的底面周长等于18cm。又知道这个长方体的底面是正方形, 所以这个正方形的棱长是1844.5(cm)。由此可以求出：长方体的底面积是(184)20.25(cm)，长方体的体积是0.2518364.5(cm3)。练 习 五1把两个同样的正方体拼成一个长方体后, 棱长的总和是96cm, 原来一个正方体的棱长是多少厘米？2一个棱长3cm的正方体木块, 表面上涂满了漆, 把它全部切成棱长1厘米的小正方体木块。其中, 三个面上有漆

14、的有多少块？ 两个面上有漆的有多少块？一个面上有漆的有多少块？各面上都没有漆的有多少块？3用长6cm、宽4cm、高3cm的长方体, 拼成一个体积尽可能小的正方体, 需要多少个这样的长方体？拼成的正方体的体积是多少平方厘米？ 4把一根100cm长的长方体木料截成5段后, 表面积增加了80cm2, 这根木料原来的体积是多少立方厘米？ 5. 有一根长方体木料, 两个底面都是正方形, 4个侧面的总面积是 7.2m2。如果这根木料的长度是4.5m, 表面积和体积各是多少? 6. 某建筑工地挖一个地基坑, 长50m、宽24m、深2.5m。挖出的土每立方米重量1.5t。用载重4.5t的汽车把这些土运走, 需

15、要运多少车? 7. 一个长方体, 表面积是184 cm2, 底面积是20 cm2, 底面周长是18cm, 求这个长方体和体积。8. 工人体育场有一个长50m、宽20m、深2m的游泳池。如果用边长2dm的正方形瓷砖把它的四壁和底面都贴一下, 并且围着游泳池再贴一圈2m宽的走道, 总共需要这种瓷砖多少块?第六讲 圆例 1以一个边长10的正方形的两个顶点为圆心, 以边长为半径作四分之一圆。求两个四分之一圆重叠部分(阴影部分)的面积。解法一：作正方形的一条对角线把阴影部分分成两半,每一半都是四分之一圆去掉一个直角三角形。所以阴影部分的面积是 (3.14410102)257(2)。解法二：上面的方法可以

16、简化。阴影部分的每一半都是四分之一圆去掉一个直角三角形，阴影部分就相当于一个半圆减去一个正方形。所以阴影部分的面积是 3.14102101057(2)。解法三：如果把每个四分之一圆都想象成“一层”，图中的空白部分就只有“一层”，而阴影部分有“两层”，去掉“一层”正方形，剩下的就是阴影部分。所以阴影部分的面积是 3.1442101057(2)。 例 2 在一个等腰直角三角形内有一个半圆(左下图), 已知阴影部分的面积是1.722, 这个半圆的面积是多少平方厘米?解：作圆的两条半径和等腰三角形斜边上的高, 把原来的等腰直角三角形分成四个小等腰直角三角形(右上图)。这四个小等腰直角三角形可以拼成两个

17、相等的正方形。设圆的半径为r，每个正方形的面积是r2，原来等腰直角三角形的面积是2r, 半圆的面积r。于是：2r3.14r1.72 (21.57)r1.72 0.43 r1.72 r4由此得到, 半圆的面积是3.14r3.1446.28(2)。练 习 六1. 如图, 大圆直径10cm,四个小圆的直径分别是1、2、3、4。这四个小圆的周长之和大, 还是大圆的周长大?2. 把一张正方形纸片剪成1个、4个或9个同样大的圆形纸片, 哪种剪法纸的利用率最高?3假如一个身高1.7m的人，沿地球赤道绕行一周，那么他的头顶比他的脚底要多行多少米？(得数保留两位小数。)4. 图中正方形的边长是10。以它的四条边

18、为直径,作四个圆, 这四个圆重叠部分面积的总和是多少平方厘米?5. 图中正方形边长2cm，四个圆的半径都是1, 求这五个图形所覆盖的总面积。6. 在例1中如果把已知条件改成, 已知对角线长10,那么阴影部分的面积是多少平方厘米? 7. 右图中，直角三角形ABC的直角边AC长20，以这条直角边为直径作半圆, 得到一个弓形, 和一个曲边三角形。已知弓形的面积比曲边三角形大72，直角三角形的BC边长多少厘米? 8. 右图中, ABCD、AEFG 都是正方形。已知阴影部分的面积是502,如果以 A 为圆心,分别以 AB和 AE 为半径作圆, 那么, 所得环形的面积是多少平方厘米?第七讲 圆柱和圆锥例

19、1 在一个底面直径20cm的圆柱形容器里装满了水, 水中放着一个底面直径8cm, 高12cm的铁质圆锥形物体。当把这个物体从水中取出后, 水面下降多少厘米?解：当圆锥形物体被取出后, 原来它所占的空间由“一层”水来填补, 可以想象, 这层水当然是圆柱形的, 因此, 它的高是： 3.14(82)123.14(202)0.64 (cm) 答：水面下降0.64cm。 例 2 一个圆柱体, 底面半径10cm, 高20cm。它的表面积是多少平方厘米? 解：按照常规方法, 因为圆柱体的表面积包括侧面和两个底面, 所以, 它的表面积是: 23.1410203.141021884 (cm2) 还可以这样想：在

20、推导圆面积公式的时候, 曾经把圆变成过一个和它面积相等的长方形。既然如此, 如果我们首先把圆柱的底面, 变成一个和它面积相等的长方形, 并且让这个长方形的长, 等于圆柱底面的周长, 那么, 圆柱的表面展开后, 就可以合成一个长方形, 这样就会使计算变得比较简单。 下面就是按照这种思路, 把圆柱表面展开后所得到的图形： 上底面 r2 侧 面 h 下底面 r2 2r 由此得到圆柱表面积公式：S2r(hcm2) 答：圆柱休的表面积是1884 cm2。再想想看, 如果圆柱体只有一个底面(比如圆柱形水桶), 那么求表面积的公式又该是怎样的呢?练习七1. A、B、C 三个圆柱体, A的底面半径是B的一半,

21、 是C的2倍, C的高是 A的2倍, 是B的4倍。(1) B的底面积是A的( )倍。(2) B的侧面积是C的( )倍(3) B的体积是A的( )倍。 (4) A的体积是C的( )倍。 2. 一个圆柱和一个圆锥的体积相等。 (1) 圆柱的高和圆锥的高相等,圆锥的底面积是圆柱的( )倍。 (2) 圆柱的高是圆锥的2倍, 圆锥的底面积是圆柱的( )倍。 (3) 圆锥的高是圆柱的6倍, 圆柱的底面积是圆锥的( )倍。3. 一个正方体木块, 棱长12cm, 把它旋成一个尽可能大的圆柱或圆锥, 木材的利用率分别是多少?4. 一个圆柱体, 底面半径3cm, 表面积150.72 cm2, 求它的体积。 5.

22、一根圆钢, 长30cm, 把它截成3段后表面积增加了12.56 cm2。这根圆钢的体积是多少立方厘米?6. 一个圆锥, 高5cm, 侧面展开后恰好是一个直径12cm的半圆, 求这个圆锥的体积。7. 一个圆柱和一个圆锥体积相等, 高也相等, 已知圆柱的底面周长是188.4cm, 圆锥的底面积是多少平方厘米?8. 一个长方体, 长10cm, 宽8cm, 高6cm。把它旋成一个最大的圆柱体, 这个圆柱体的体积是多少立方厘米?第八讲 比和比例 例 1 甲、乙两班学生人数的比是54, 为了使两班的人数更接近，从甲班调2人到乙班, 结果甲、乙两班人数的比变成了87。原来两班各有学生多少人? 解：调整前,

23、甲班人数占总人数的, 调整后甲班人数占总人数的, 所以, 两班共有2()90(人)。甲班有9050(人), 乙班有9040(人)。 答：原来甲班有50人, 乙班有40人。 例 2 一列客车和一列货车，同时分别从甲乙两站相向开出, 5小时相遇。又过了3小时货车到达甲站, 那么客车到达乙站要多少小时? 解：画出示意图 客车 相遇 货车 甲站 乙站 a 从图上可以看出，行驶同一段路程a, 客车用了5小时, 货车只用3小时, 即, 客车与货车行驶相同路程, 所需时间的比是53, 而货车行完全程要53小时。 设：客车行完全程要x小时。 x(53)53 x x13 答：客车到达乙站要13小时。练 习 八

24、1. 学校图书室有一种数学课外读物, 已经借出了总数的, 后来又买来12本同样的书。这时, 图书室里这种图书现有的本数和原有本数的比是 13。学校图书室原来有这种数学课外读物多少本?2. 赵老师不久前搬进了教师住宅小区。装修时，住室12m2共用 300块地板砖。客厅地面长5.2m, 宽3.6m, 需要多少块同样的地板砖? 3. 一个长方体, 已知棱长的总和是72cm, 如果长、宽 、高的比是 234, 这个长方体的体积是多少立方厘米? 4. 一批货物重720t, 运走了198t, 余下的按54存放在甲乙两仓库, 两个仓库各存多少吨? 5. 客车和货车同时从甲乙两地的中点反向行驶, 3小时后,

25、客车到达甲地, 货车离乙地还有 30 km,已知货车与客车速度的比是34, 甲乙两地相距多少千米? 6. 甲、乙两个仓库，原有水泥袋数的比是43, 后来，从甲仓运给乙仓 48袋, 这时，甲、乙两个仓库水泥袋数的比变成了23。甲、乙两个仓库原来各有水泥多少袋? 7. 一块地, 用它的种冬瓜, 其余的按32 种西红柿和茄子, 已知种茄子0.6公顷, 这块地一共有多少公顷?第九讲 方程 例 1 甲乙两座冷库原来共储存牛肉19.2t, 从甲库运给乙库2.8t后, 乙库储存的牛肉比甲库的4倍少0.3t。两座冷库原来各储存牛肉多少吨? 解：设甲库原来储存牛肉x吨, 乙库原来储存的牛肉就是19.2x吨。根据

26、储存量变化后, 乙库的储存量比甲库的4倍少0.3t, 得 19.2x2.8(x2.8)40.322x4x11.533.55x(两端都加上x和11.5) 即5x33.5 x6.719.26.712.5(t) 答：原来甲库储存牛肉6.7t, 乙库储存牛肉12.5t。 例 2 甲乙两箱皮球, 甲箱比乙箱多15个, 乙箱的皮球全是白色的, 甲箱中有是白色的, 已知两箱共有白皮球69个, 乙箱有皮球多少个? 解：设乙箱有皮球x个, 甲箱的球数就是x15个。由此得 x(x15)69 x45 答：乙箱有皮球45个。一般说来, 方程法思路比较简捷, 计算比较复杂；算术法思路比较曲折, 计算比较简单。在实际应用

27、中, 可以根据自己的长处来选择。练 习 九1. 甲乙两座油库, 甲库的存油量是乙库的3倍。如果甲库的存油量减少 900 t, 乙库的存油量增加350t, 那么甲库的存油量就是乙库的2倍。原来两座油库各存油多少吨?2. 在一只笼子里装了一些鸡和兔子, 已知脚的总数是296只, 鸡的头数比兔子多22只, 鸡和兔各有多少只? 3. 今年姐姐的年龄是妹妹的4倍, 再过20年, 姐姐的年龄比妹妹的年龄的2倍小14岁。今年姐姐和妹妹各几岁? 4. 张明同学参加语文、数学、英语三科考试, 结果, 语文83分, 英语 74 分, 数学成绩比这三科平均分还多11分, 数学多少分? 5. 光明小学去年六年级毕业人

28、数, 比全校的少16人, 今年招收新生 200 人, 学生总数比去年增加, 去年全校有学生多少人? 6. 粮店原有大米和面粉共2500kg, 大米卖出, 面粉卖出后, 还有大米和面粉750kg, 原来有大米和面粉各多少千克? 7. 小明、小刚共储蓄251元, 小明储蓄钱数的比小刚储蓄钱数的 多6元, 两人各储蓄多少元?第十讲 解决问题(一) 例 1 玩具厂有甲乙两个车间。甲车间的人数比乙车间多100人, 从甲车间调60人到乙车间后, 甲车间的人数是乙车间人数的, 调整后乙车间有多少人? 解：从甲车间调整出60人后, 甲车间只比乙车间多1006040(人), 当这60人并入乙车间后, 这时乙车间

29、就反而比甲车间多604020(人)。 这个差相当于此时乙车间人数的1, 所以调整后乙车间有20260(人)。 答：调整后乙车间有260 人。 例 2 光明小学去年六年级毕业人数比全校的少16人, 今年招收新生200人, 学生总数比去年增加, 去年全校有学生多少人? 解：画出线段图： 16人 去年 毕业人数 今年 新生200人 从图中可以看出, 16人与200人的和, 对应于与的和。由此即可求出去年全校有学生(16200)()810(人)。答：去年全校有学生 810 人。练 习 十 1. 一根电线, 第一次用去的差10m不到全长的一半, 第二次用去的比全长的一半多3m, 两次用去的恰好是全长的,

30、 求全长。2. 六一班的学生人数是六二班的, 为了使两班的人数相同, 从六二班调给六一班3人, 六一班原来有多少人? 3. 甲仓库比乙仓库多存水泥230袋, 乙仓库调给甲仓库25袋后, 甲仓库水泥的袋数是乙仓库的2倍。这时乙仓库有水泥多少袋? 4. 学校组织冬季长跑活动, 参加的学生比没参加的多251人, 经过再次动员, 原来没参加的学生中又有报了名, 结果, 参加的学生比没参加的多 307 人, 原来有多少学生没有参加活动? 5. 学校图书馆对书架上的书进行调整。原来乙书架上的书比甲书架少, 调整中把甲书架上书的搬到乙书架上, 又从乙书架取出30本放到别的书架上, 这时甲、乙两个书架上书的本

31、数恰好相等。甲书架原来有书多少本? 6. 六一班 的人数是六二班的, 如果从六二班调12人到六一班, 六二班的人数就反而是六一班的。六一班原来有多少人?7. 小明和小刚都攒了一些零用钱, 小刚的钱数是小明的, 在支援灾区活动中, 小明向灾区捐了22元, 小刚捐了10元, 这时他们剩下的钱数相等, 小明原来攒了多少钱?8. 新城粮管所有两个仓库。一号仓库存放大米318t, 二号仓库存放大米408t。从两个仓库运走同样多的大米以后, 一号甲仓库剩下的大米吨数是二号仓库剩下大米吨数的, 这时二号仓库有大米多少吨?第十一讲 解决间题(二) 例 1 东西两个仓库共存粮食750t。东仓存粮的与西仓存粮的一

32、共470t, 两仓各存粮食多少吨?解：因为, 如果东仓库的存粮也取, 那么, 与西仓库存粮的合在一起, 就会大于470t, 它们的差对应于东仓库存粮的。于是得到，东仓库存粮(750470)()450(t)，西仓库存粮750450300(t)。答：东仓库存粮450t，西仓库存粮300t。想想看，还可以怎样解？ 例 2 甲乙两箱皮球, 甲箱比乙箱多15个。乙箱的皮球全是白色的, 甲箱中有是白色的。已知两箱共有白皮球69个, 乙箱有皮球多少个? 解：首先把甲箱的皮球数分成两部分, 一部分与乙箱同样多, 另一部分是比乙箱多的15个。这样, 按照乘法分配律, 甲箱的, 也可以看成两部分：与乙箱同样多的那

33、部分的、15的。经过这样处理以后, 69就包括三部分：乙箱的球数、乙箱球数的、15的，所以乙箱有皮球(6915)(1)45(个)。答：乙箱有皮球45个。练 习 十一1. 粮店原来有大米和面粉共2500kg, 大米卖出, 面粉卖出后, 还有大米和面粉750kg, 原来有大米和面粉各多少千克?2. 小明、小刚一共储蓄了251元。如果告诉你，小明储蓄钱数的比小刚储蓄钱数的多6元，你知道两人各储蓄了多少元吗? 3. 六年级选出男生人数的和14名女生，参加区里举行的小学数学竞赛。如果已知剩下的男、女生人数相等, 并且六年级共有学生146人, 男、女生各有多少人?4. 两段公路共长6500m, 后来第一段

34、延长了, 结果与第二段的长度相等。原来第一段公路长多米? 5. 有两根钢筋共长18m, 如果把第一根截去, 把第二根接上0.9m, 两根钢筋就同样长。这两根钢筋原来各长多少米?6. 兴华小学五年级学生比六年级多24人, 据上学期期末统计, 两个年级共有少先队员275人。其中, 六年级学生已经全部入队, 五年级的队员人数占全年级人数的。六年级有少先队员多少人? 7. 阅览室里有36名同学在看书, 其中是女同学, 又来了几位女同学以后, 女同学的人数达到总人数的, 又来了几位女同学? 8甲、乙、丙三根铁棒竖直地插在水池中，已知三根铁棒的长度之和为360cm，并且甲铁棒有露在水面外，乙铁棒有露在水面

35、外，丙铁棒有露在水面外。那么，水池中的水有多深?第十二讲 工程问题 例 1 一件工作, 甲单独做20天完成, 乙单独做12天完成。现在先由甲单独做一些天, 再由乙接替甲继续完成, 前后一共用了14天。甲乙各工作了多少天? 解：假如这14天一直由甲单独做, 就只能完成全部工作量的14, 还差1不能完成。现在由乙来替换甲, 每替换一天, 可以多完成, 替换几天能完成所差的工作量, 就是乙实际工作了几天。 乙工作的天数：(114)()9(天) 甲工作的天数：1495(天) 答：甲工作了5天, 乙工作了9天。 想想看，还可以怎样解? 例 2 师徒二人接受生产240个零件的任务, 合作6天可以完成。如果

36、师傅单独做 4 天能完成全部任务的, 徒弟每天可以生产零件多少个? 解：已知零件总数, 要求徒弟每天生产多少个零件, 就要知道徒弟每天的生产量是零件总数的几分之几, 即徒弟的工作效率。这可以从师徒合作的工作效率和师傅的工作效率4 求出。 240(4)16 (个) 答：徒弟每天可以生产零件16个。练 习 十二1. 甲、乙两位打字员合打一份稿件, 完成时甲打了这份稿件的, 已知甲单独打6小时可以完成, 乙单独打几小时可以完成?2. 一项工程, 甲、乙合作12天可以完成。由于在合作期间, 甲因事请假5天, 结果, 完工日期推迟了3天。如果这项工程由甲、乙单独完成, 各需要多少天? 3. 蓄水池有一根

37、进水管和一根出水管。单开进水管小时可以将空池注满, 单开出水管小时可以将满池水放完。如果两管一齐开，多少小时可以把空池注满?4. 一辆货车从甲地到乙地要8小时, 一辆客车从乙地到甲地要10小时。两车同时从两地相对开出, 不久, 货车发生故障, 修理1小时后继续前进, 相遇时, 客车已经行了多少小时? 5. 一份稿件, 甲、乙两位打字员合作12小时可以完成, 甲单独完成需要20小时, 现要由二人合作, 完成任务时, 甲比乙多打0.9万字, 这份稿件有多少万字? 6. 一列快车从A地到B地需要12小时, 一列慢车从B地到A地需要15小时。两车同时从A、B两地相对开出, 3小时后还相距374km,

38、A、B两地相距多少千米? 7. 一件工作, 师傅单独做20天可以完成, 徒弟单独做可以30天完成。结果师徒二人合作完成共用了15天，不过，这期间师傅曾经因病休息过, 师傅休息了几天? 8. 一项工程, 甲队先做20天, 乙队再做15天, 即可完成；或者，两队合作18天也可以完成。如果两队单独做, 各需多少天才能完成?第十三讲 枚举与计数例1把28表示成若干个不相同的奇数之和(如果加数一样，相加的次序不同，则只算一种表示法。如1513和1315算同一种表示法)，共有多少种不同的表示法？解：小于28的奇数有1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27。因为28是偶数，所

39、以加数的个数只能是偶数。为了避免重复，让加数的个数从少到多，让加数的排列从小到大，于是得到：(1) 2个加数的有：127，325，523，721，919，1117，1315；(2) 4个加数的有：13519，13717，13915，131113，15715，15913，17911，35713，35911。共有16种。例 2 学校开运动会，所设的项目有：田赛5项、径赛4项、军体3项。如果每人可以报一项田赛或径赛, 同时必须报一项军体，那么有多少种不同的选择？解：每人报一项田赛或径赛有549种选择；再报一项军体又有3种选择，共有9327种不同的选择。练 习 十三1解答下面两道题，并注意它们的区别。(1) 三个自然数的积等于15, 求这三个数, 可以有哪几组解? (2)甲、乙、丙三个自然数的积等于15, 求这三个数, 可以有哪几组解? 2有两个方木块, 每块的六个面上分别写着1、2、3、4、5、6。任意抛掷这两个木块, 落下后顶面两个数的和是偶数的有哪几种可能? 3五一班开展数学课外活动, 每组6人余3人；每组7人余3人；每组8人, 余5人。五一班有多少人?4分子、分母都是二十以内的质数，并且大于、小于的分数有哪些? 5书架上有4本故事书、5本画册、6本科普读物。(1) 任意从书架上取一本书, 有多少种不同的取法?