新产品的销量预测.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流新产品的销量预测.精品文档.2012年河南科技大学数学建模竞赛选拔承诺书我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）：D队

2、员签名：1.耿乾赫 2.胡玉小 3.王换敏 日期：2012年8月19日评阅人评分备注微分模型解销量预测问题目录一、摘要1二、问题提出1三、问题分析1四、模型假设与符号系统1模型假设：1符号系统：1五、模型的建立与求解1问题一模型的建立与求解：1问题二模型的建立与求解：1问题三模型的建立与求解：1六、模型评价与改进1七、参考文献1八、附录1原始数据1模型一的求解：1模型二的求解：1模型三的求解：1一、 摘要本文通过建立微分方程模型，探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。模型由简单到复杂、由理想到现实，逐步利用各个因素对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况，分析了在人为调控因素下价格和广告费用等

3、因素对销售量产生的影响，建立比较符合现实的模型。问题一中，新产品的投入，没有市场竞争，有良好的市场环境，也有良好的口碑，故属于较为简单的微分方程模型，可直接建立模型。问题二中，产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比，故建立微分方程中有增长阻力的阻滞增长模型logistic模型求解。问题三中，则考虑了广告费用和价格对产品销量的影响，分析了广告费用和价格与销售速率之间的关系，建立数学微分方程模型，并运用了Matlab软件编程求解。关键词：指数增长模型、logistic模型、微分方程模型二、 问题提出设有某种新产品要推向市场, t时刻的销量为由于产品性能良好, 每个产品都是

4、一个宣传品, 因此, t时刻产品销量与t有关。1、设t时刻产品销量的增长率与成正比, 预测时的产品销量；2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明与该产品的潜在容量成正比, 预测时的产品销量；3、试考虑影响产品销量的其他因素，并建立模型，预测时的产品销量.三、 问题分析本文涉及的问题，是一种新产品的销量随时间的变化情况，故要研究其变化规律，并对未来销量进行科学地、合理地预测。问题一中，可以分析新产品并没有市场竞争，并且具有较大的市场空间，而产品质量较好，每个产品都可以作为一个广告。则此时产品的销量，符合微分方程中的指数增长模型，可通过指数增长模型的性质建模求解。问题二中，由于第一问结

5、果中销量无限增长的不合理，加入了市场容量固定的因素，将问题进一步细化，对销量进行一定的限制，得到更合理的模型。这个模型中，销量增长的变化率同样发生变化，我们根据其变化规律，发现此变化情况属于微分方程中的阻滞增长模型。所以我们运用logistic模型对问题进行研究和求解。问题三中，问题由第二问进一步深入，考虑到现实生活中对产品销量影响的各种因素，加入必要条件，对模型进一步优化，使其更加贴合实际情况。在这个模型中，我们加入了投入广告费的多少和产品价格变化两个人为因素，用这两个因素对模型进行控制影响。在问题的求解阶段，列出多元线性方程组，利用线性规划思想，对问题进行求解。最终对模型进行合理地、科学的

6、预测。四、 模型假设与符号系统模型假设：模型基本假设：假设1：从官方获得的数据真实可靠；假设2：在考虑影响商品销售的因素时，不考虑偶然因素，如经济、战争因素、政治干预等；假设3：产品的销售量符合产品的生命周期；假设4：销售量与价格呈现线性负相关。符号系统：x(t) 为t时刻新产品的销售量a 为每件新产品的宣传效率N 为市场的销售容量k 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数s(t) 为商品t时刻的销售量 为价格与销售量的相关系数M(t) 为t时刻的广告费用 为销售量本身的衰减系数 为广告宣传对销售速率的影响T 为商品销售速率最大的时刻N 为销售量的极限值五、 模型的建立与求解问题一模型的建立

7、与求解：模型的建立：t时刻时，新产品的销售量为x（t），把x（t）当做连续、可微函数处理。每件新产品都是宣传品，且单位时间内每件新产品能够使a件新产品被销售。由假设可知：x(t+t)-x(t)=ax(t)即：开始时有x(0)件新产品被销售x(0)=x0整理得：求解得：参数估计：（用matlab软件写程序并求解）x0=20973000a=0.7349即为：x(t)=20973000模型的求解：亚马逊电子书销量分析年份类别20092010201120122013亚马逊电子书实际销售量42540000123645000313688000亚马逊电子书指数增长的销量4254000115520053313

8、7019928518775482313327219相对误差00.0657120.000044亚马逊电子书销量曲线图由图分析可知，亚马逊电子书由于产品新颖，优势显著，市场良好等特点，在最近几年里的销量符合此指数增长模型的条件，其实际销量也呈指数增长。即可以利用此模型预测短期的亚马逊电子书的销量，所得数据与亚马逊公布的预测数据较为贴合。但如若此假设，若时间无限延长，由此可知销量会达到无穷大，这与事实并不符，所以模型必须做出改进。问题二中，将对这个问题作出进一步的探讨。问题二模型的建立与求解：模型的建立：分析产品销量增加到一定的数量后增长率下降的主要原因。由于产品销售存在一定的市场容量(N),随着销

9、量的增加，阻滞作用将越来越大。所谓阻滞增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。统计表明与该产品的潜在销量成正比，且设b为销售量的增长率与潜在销售量的比例系数则：也即：dx/dt=bN(1-x(t)/N)上式方程中右端的因子b体现了销售量自身的增长趋势，因子(1-x(t)/N) 则体现了潜在销量对销量的阻滞作用。销量增加是两个因子共同作用的结果。模型的求解：表二：奔驰E级上半年销售量奔驰E级123456销售量1688173363372839994331用matlab软件求解得：用matlab软件进行图像拟合得：图二：奔驰E级上半年销售曲线拟合图拟合结果如下：Gene

10、ral model Gauss1:f(x) = a1*exp(-(x-b1)/c1)2)Coefficients (with 95% confidence bounds): a1 = 4603 (3440, 5765) b1 = 5.755 (4.397, 7.112) c1 = 3.455 (1.495, 5.414)也即：模型的检验与分析：Goodness of fit:SSE: 1.795e-006R-square: 0.9996Adjusted R-square: NaNRMSE: NaN检验结果分析：据上SSE趋于零，R-square趋于1可得，此模型拟合度符合要求。此模型合理并能很

11、好的进行t0时的产品销量x（t0）的预测，可以预测到在时间趋于无穷大时，产品销量趋于市场容量N。问题三模型的建立与求解：模型的建立：问题三中模型的建立是就影响销售量的因素进行分析，而众多消费者心理学研究报告显示：价格和广告费用这两个因素对销售量起主要作用。图三：价格与销售量的关系由假设和以上图像拟合可知，商品的销售量与价格呈负相关。且拟合曲线方程为：f(x) = p1*x + p2Coefficients (with 95% confidence bounds):p1 = -3.669 (-7.464, 0.1266)p2 = 21.96 (7.709, 36.22)经检验：此图像拟合合格Go

12、odness of fit:SSE: 4.128R-square: 0.3169Adjusted R-square: 0.2486RMSE: 0.6425另由图像分析可知，当商品价格相同时，销售量有时不同，这说明商品的销售量还受到其它因素的影响。经分析大量资料可知，商品的销售量还与商家投入的广告费用有密切关系。商品的销售速度与广告费用成正比，即但是在市场趋于饱和，销售量趋于极限值N时，销售速度将会下降（广告作用下降，当s（t）趋近于N，广告作用趋近于零）。现就价格和广告费用这两个主要因素对销售量进行建模：每种商品都有生命周期。产品的生命周期是指新产品研制成功以后，从投入市场开始到被淘汰为止这一

13、段时间，它描述了一项产品在市场上从无到有、高速增长、市场饱和直到最后被淘汰的发展过程。产品生命周期一般分为四个阶段：引入期：指新产品投入市场的初期阶段，也叫投入期。因这一阶段，用户对产品不太了解，需要做大量的广告宣传工作，向用户推荐介绍产品，所以这一时期也叫做介绍期。成长期：市场销售量迅速增长的阶段。成熟期：销售量很大，而且稳定，增减幅度不大。销售量最高点也是在这一时期。衰退期：产品已经陈旧老化，销售量下降很快。生命周期四个阶段 由产品的生命周期可知，自然衰退是商品销售速度的一种性质，即产品销售速度随销售量的增加而下降。由于商品本质属性中销售衰减期的存在，所以我们建立模型如下：特别：M(t）=

14、0，s（t）=N时，得到若M(t）复杂，方程难以解出。考虑到销售速度与广告宣传的关系，当销售进行到一定时刻，无论如何做广告，销售速度都将下降。故设广告总费用为m，为讨论方便，设在T时间内做广告且取M（t）=m/T,即取广告策略为:相当于在开始到T时间内，平均投入广告费用，时间T后不再作广告。带入方程：当0tT时，(0tT时，由 s(t)=-s(t)得：,s(t)=当t=T时，由s=s(T)=,由（1）算出得即其中，N都可由市场调查获得资料后，用线性回归办法求出。对离散化得：牙膏销售量与销售价格、广告费用的数据月份123456789101112销售价格/元3.853.753.703.703.60

15、3.603.603.803.803.853.903.90广告费用/百万5.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.25销售量/百万支7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.15计算数据月份1月2月3月4月5月6月M(n)/百万5.506.757.255.507.006.50-M(_n)s(n)-40.59-57.44-69.02-41.25-65.31-53.82-s(n)-7.38-8.51-9.52-7.50-9.33-8.28S(n+1)-s(n)1.131.01-2.021.83-1.0

16、50.47月份7月8月9月10月11月12月M(n)/百万6.755.255.256.006.506.25-M(_n)s(n)-59.06-41.32-37.28-48.00-51.29-50.94-s(n)-8.75-7.87-7.10-8.00-7.89-8.15S(n+1)-s(n)-0.88-0.770.90-0.110.26用matlab线性回归运行结果为：s（n+1）-s（n）=6.623064M（n）+0.334822(-s(n)M(n)+2.439898(-s(n)-3.699模型的检验与分析：将n=2带入可以求得s（3）=9.53，而实际销售量为9.52，相对误差为（9.53

17、-9.52）/9.52=0.11。证明回归结果线性显著。六、 模型评价与改进问题一中，由于这种模型属于理想状态，即需要极为特别的条件下才可能发生，并不满足现实生活中存在较多不确定因素的情况。在问题一代入的数据中，亚马逊电子书由于在投入市场初期，产品特点鲜明，产品质量良好，市场容量大，并不存在明显的市场竞争。故大致符合问题一中模型的条件，出现了以指数增长的情况。由于第一问理想状态的难以满足，便延伸出了第二问的讨论，加入了较为现实的市场容量问题，对销量的无限增长加以限制，即为阻滞增长模型。这个模型较之第一问加入了市场的自身属性，对市场的分析更为准确。但是综合到现实中，却缺少了人为因素对销量的控制，

18、故引出第三个问题的探讨。问题三中，模型成功建立了销售量与价格和广告费用之间的函数关系，并且在求解过程中借助计算机，使得模型具有精度和适度性高的优点。在此基础上，对模型进一步讨论，分析验证了模型的结果，所得结论与客观事实很好的吻合，使模型具有一定的现实意义，从而进一步说明模型是合理的。而由于假设条件过于理想化，使得价格与销售量呈现线性负相关关系，这显然不是完全符合现实，虽然检验精确度很高，但还是有一定的不合理性和不精确性。七、 参考文献【1】姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第四版），高等教育出版社，北京2011.1【2】汽车产销数据平台，【3】王家文，王皓，刘海，matlab7.0编程基础，机械

19、工业出版社，2005.7八、 附录原始数据亚马逊电子书销量分析年份类别20092010201120122013亚马逊电子书实际销售量42540000123645000313688000亚马逊电子书指数增长的销量42540001155200533137019928518775482313327219相对误差00.0657120.000044奔驰E级上半年销售量奔驰E级123456销售量1688173363372839994331牙膏销售量与销售价格、广告费用的数据月份123456789101112销售价格/元3.853.753.703.703.603.603.603.803.803.853.90

20、3.90广告费用/百万5.506.757.255.507.006.506.755.255.256.006.506.25销售量/百万支7.388.519.527.509.338.288.757.877.108.007.898.15模型一的求解：建模程序：dsolve(Dx=a*x,x(0)=x0,t)结果：ans =x0*exp(a*t)代入数据程序：x=1:4;y=42540000,123645000,313688000,751500000beta0=42540000,4;beta,r,J=nlinfit(x,y,dhp,beta0)beta YY,delta=nlpredci(dhp,x,b

21、eta,r ,J)plot(x,y,k+,x,YY,r)functionyhat=ehp(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2).*x);end运行结果：y = 42540000 123645000 313688000 751500000beta = 1.0e+007 * 2.0973 0.0000r = 1.0e+006 * -8.7985 -2.0258 6.0602 -1.5377J = 1.0e+009 * 0.0000 0.0513 0.0000 0.2513 0.0000 0.9229 0.0000 3.0122beta = 1.0e+007 * 2.097

22、3 0.0000YY = 1.0e+008 * 0.5134 1.2567 3.0763 7.5304delta = 1.0e+007 * 1.2384 1.9885 2.43803.3009模型二的求解：程序：dsolve(Dx=k*(N-x),x(0)=x0,t)运行结果：ans =N - (N - x0)/exp(k*t)模型三的求解：程序：A=4.83 4.71 1.68x=5.50 -40.59 -7.38 6.75 -57.44 -8.51 7.25 -69.02 -9.52formatratm=xA运行结果：A = 483/100 471/100 42/25 x = 11/2 -4059/100 -369/50 27/4 -1436/25 -851/100 29/4 -3451/50 -238/25 m = 3848/581 3974/11869 954/391