12常数项级数的审敛法.ppt

《12常数项级数的审敛法.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《12常数项级数的审敛法.ppt（56页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法交错级数交错级数及其审敛法及其审敛法绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛小结小结 思考题思考题 作业作业constant term infinite series第二节第二节 常数项级数常数项级数的审敛法的审敛法 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法21. 定义定义 1nnu正项级数正项级数 nsss212. 收敛的充要条件收敛的充要条件单调增加数列单调增加数列这时这时,只可能有两种情形只可能有两种情形:.nsssnn lim,)1(时时当当 n.1必发散必发散级数级数 nnu,)2(有上界有上界若若ns)(正常数正常数即

2、即 nspositive term series正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法0 nu常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法一、一、正项级数正项级数及其审敛法及其审敛法3定理定理1(1(基本定理基本定理) )( ssn注注正项级数可以任意加括号正项级数可以任意加括号,其其敛散性不变敛散性不变,对收敛的正项级数对收敛的正项级数,其和也不变其和也不变.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列ns有界有界.常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法4 例例1 判定判定 的敛散性的敛散性. 1121nn解解121 n1211211212 nnSn212

3、1212 n211 由定理由定理1 1知知, ,故级数的部分和故级数的部分和可与另可与另一个一个已知已知敛散性的敛散性的正项正项级数级数比较来确定比较来确定.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法,21n 1 该正项该正项级数收级数收敛敛.这个例启示我们这个例启示我们:判定一个判定一个正项正项级数级数的的敛散性敛散性,由于由于正项级数正项级数收敛收敛部分和所成的数列部分和所成的数列ns有界有界.常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法53. 比较审敛法比较审敛法证证定理定理2 2nnuuus 21且且 1nnv 设设nnvu 即部分和数列有界即部分和数列有界. 1nnunvvv 21正项级数及其审敛

4、法正项级数及其审敛法,nnvu 若若则则 1nnv收敛收敛 1nnu收敛收敛 1nnu发散发散 1nnv发散发散收敛收敛 0常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法6nns 则则)( nsn设设nnvu 且且 不是有界数列不是有界数列 1nnv定理证毕定理证毕.比较审敛法的不便比较审敛法的不便:须有参考级数须有参考级数. 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 1nnu发散发散 1nnv发散发散发散发散推论推论1 11nnu若正项级数(发散发散)收敛收敛)(Nnkuvnn 且且)(nnvku 1nnv则则收敛收敛(发散发散)证证,0nnvu 若若常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法7解解, 1 p设

5、设级级数数则则 p, 1 p设设10pnpppnns131211 nnppxxxx121dd1(1)(2)正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 11nn调和级数调和级数发散发散110pnn nnpxx1d用用比较审敛法比较审敛法发散发散. . 11npnppxnnxn11,1 有有时时当当 nnpnx1d常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法例例2 2 讨论讨论 级级数数 p pppn131211的收敛性的收敛性. )0( p8 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有界有界即即ns正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法ns级级数数则则 p收敛收敛. . 11npn)1( p常数项级数

6、的审敛法常数项级数的审敛法 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppp9(1) 几何级数几何级数使用使用正项正项级数的比较判定法时级数的比较判定法时,常用的比较级数常用的比较级数正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法一些级数的敛散性一些级数的敛散性,作为比较的标准作为比较的标准.需要知道需要知道(2) p-级数级数(3) 调和级数调和级数 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10qqaqnn 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,1pp 11npn nnn13121111发散发散常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法10例例3 讨论下列讨论下列正项级数正项级数的敛散性的敛散性.nnn

7、3sin2)1(1 13)1(1)2(nnn解解 (1) nnnu3sin20 而等比级数而等比级数 收敛收敛.nn 132 所以所以, 原级数收敛原级数收敛.n 32 nn32 由由比较审敛法比较审敛法正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法11解解 因为因为3)1(1 nnun23101n而而 132)1(1nn是发散的是发散的p-级数级数.所以所以, 原级数原级数 nn321正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法 13)1(1)2(nnn 发散发散时时当当收敛收敛时时当当级数级数,1,1ppp,11 npn发散发散.2由由比较审敛法比较审敛法常数项级数的审敛

8、法常数项级数的审敛法12例例4 讨论下列讨论下列正项级数正项级数的敛散性的敛散性.22111154(1);(2);(3)1321nnnnnnannann（1） 提示：提示：110,22nnnn 时（2） 提示：提示：211nnnaaana 1时,0u21nnnaaana 1时,0N时,11(1)1,;nnnnuquu则收敛11(2)1,.nnnnuuu则发散常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法232. 若用比值判别法判定级数发散若用比值判别法判定级数发散注注3. 一旦出现一旦出现=1 要用其它方法判定要用其它方法判定.级数的通项级数的通项un不趋于零不趋于零. 后面将用到这一点后面将用到这一点

9、.nnnuu1lim 或或 不存在时不存在时,正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法4. 条件是充分的条件是充分的,1. 适用于适用于中中nunn 或关于或关于含有含有 !的若干连乘积的若干连乘积(或商或商)但非必要但非必要.,1 nnu由由)0( nu收敛收敛1lim1 nnnuu形式形式.,)1(时时 常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法24nn2)1(2 12)1(2nnn级数级数 nnuu1但但 nna2lim 12limnnannnnnauu limlim1 12)1(2nnn如：级数如：级数n23 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法收敛收敛 )1(2(2)1(21nnna6123不

10、存在不存在,1 nnu由由)0( nu收敛收敛1lim1 nnnuu常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法25比值审敛法的优点比值审敛法的优点:不必找参考级数不必找参考级数. . 由级数本身就能断定敛散性由级数本身就能断定敛散性.例例6 判定下列判定下列级数级数的敛散性的敛散性13!(1),nnnnn1(2), ( ,0)nsnsn解：解：3!(1)nnnnun1113(1)!3limlim1(1)3!nnnnnnnnunnunne1!.3nnnnn故级数发散常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法26(2)nnsun11limlim(1)nsnsnnnnunun111,;1,nnssnnnn当0N

11、时,(1)1,;nnnnuqu=1则收敛(2)1,.nnnnuu=1则发散常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法31注注 1. 根值法条件是充分的根值法条件是充分的,但非必要但非必要.正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法,1 nnu由由)0( nu收敛收敛1lim nnun 2. 凡涉及证明的命题一般不可用比值法与凡涉及证明的命题一般不可用比值法与 而只能用比较法而只能用比较法.根值法根值法,常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法32例例9 讨论级数讨论级数 的敛散性的敛散性.annnn 112解解 因为因为annn 12lima 21所以所以, 当当a0时时,a 21级数级数收敛收敛;当当a0,

12、则,nnab1错!=-=0n1,nnabnnn11错!=(-1)=(-1)nn错!如p-级数常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法53 1;nnnaa(4)若单调减少趋于0,则收敛211;nnnnaa(5)若发散,则也发散211;nnnnaan(6)若收敛,则也收敛1;nnnaaa(7)若0,1,则收敛na1错!如,=nna1错!如,=n2nnaan211对!因,2 n,nnaa211未必!如,=nn常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法54111,nnnnnnnnnabacbc(8)若收敛 且证明收敛.nnaann提示:0cb常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法55堂上练习：堂上练习：判别下列判别下列级数的收敛性。级数的收敛性。1!(1), (0);nnnanan3112( 1)2( 1)(2);(3)32nnnnnnnn 1121( 11(4)52)e3.nnnnnnn常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法56作作 业业习题习题12-2(26812-2(268页页) ) 1.(1) (3) (5) 2.(3) (4) 4. (1) (3) (4) (5) 5.(1)(2)常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法