2拉氏变换及反变换方法.ppt

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1、机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换补充内容：补充内容：变换及反变换变换及反变换2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 （ Laplace ）2.2 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 2.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 2.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.1 2.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 拉氏变换拉氏变换是求解是求解常系数线性微分方程常系数线性微分方程的的工具工具。把把线性时不变系统线性时不变系统的的时域模型时域模型简便地进行简便地进行变换变换，经求，经

2、求解再解再还原还原为时间函数。为时间函数。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换一、拉氏变换（一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义）的定义 ttfsFstde )()(0 正变换正变换 de )(j21)(jjssFtfst 反变换反变换（Laplace transformation） （inverse Laplace transformation） f(t)和和F(s)是一对拉普拉斯变换对是一对拉普拉斯变换对（Laplace pairs） 。 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换记号记号 f(

3、t)表示取拉氏变换。表示取拉氏变换。 -1 F(s)表示取拉氏反变换。表示取拉氏反变换。 f(t) ，t 0, )称为称为原函数（原函数（original function），属时），属时 域（域（time domain）。原函数）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。 F(s) 称为象函数（称为象函数（transform function），属复频域），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数。象函数F(s) 用大写字母用大写字母 表示表示 ，如，如 I(s)，U(s)。 j s称为复频称为复频 率率 （comp

4、lex frequency）。）。 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换积分下限从积分下限从0 开始，称为开始，称为0 拉氏变换拉氏变换 。 积分下限从积分下限从0+ 开始，称为开始，称为0+ 拉氏变换拉氏变换 。 当当f(t)含有冲激函数项时，含有冲激函数项时，此项此项 00+ 拉氏变换和拉氏变换和0 拉氏变换的区别：拉氏变换的区别： ttfttfttfsFstststde )(de )( de )()(0000 为了把为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变 换定义式中积分下限从换定义式中积分下限从

5、 0- 开始。开始。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 （1）求解方程求解方程得到得到简化简化。 拉氏变换将拉氏变换将“微分微分”变换成变换成“乘法乘法”，“积分积分”变换成变换成“除法除法”。即将。即将微分方程微分方程变成变成代数方程代数方程。 （2）初始条件初始条件自动包含在自动包含在 变换式变换式里。里。二、拉氏变换的优点二、拉氏变换的优点应用拉氏变换：应用拉氏变换：机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换拉氏变换已考虑了初始条件拉氏变换已考虑了初始条件)()()()()(ofsSFdttdfLTsFtfLT终值初值)

6、()0()()()0()()()()()(00000sSFfefdtetfSfefdetfetftdfedtetfsstsstststst机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换三、拉氏变换的物理意义三、拉氏变换的物理意义 拉氏变换是将拉氏变换是将时间函数时间函数f(t)f(t)变换为变换为复变函数复变函数F(s)F(s)，或作相，或作相反变换。反变换。 时域时域f(tf(t) )变量变量t t是实数是实数，复频域，复频域F(s)F(s)变量变量s s是复数是复数。变量。变量s s又又称称“复频率复频率”。 拉氏变换建立了拉氏变换建立了时域与时域与复频域复频域(

7、s(s域）域）之间的联系。之间的联系。看出：将看出：将 频率频率变换为变换为复频率复频率s,且且 只能描述只能描述振荡振荡的的重复频重复频率率，而，而s不仅不仅能给出能给出重复频率重复频率，还，还给出振荡幅度给出振荡幅度的的增长速率增长速率或衰减速率或衰减速率。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换四、拉氏变换存在条件四、拉氏变换存在条件 可可进进行行拉拉氏氏变变换换。存存在在，的的全全部部范范围围内内收收敛敛，即即在在则则时时当当)(de )(e )( 0e )(lim 000tfttftftftttt 不同的不同的 f (t)， 0的值不同，的值不同，称称

8、 0为复平面为复平面s内的收敛横坐标。内的收敛横坐标。 0 j 0收敛坐标收敛坐标 收敛轴收敛轴 收敛区收敛区 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换进进行行拉拉氏氏变变换换。就就可可以以对对衰衰减减函函数数，为为，则则，选选例例)(ee)5(5e)( 505tftfttt 由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论 中一般不再写出其收敛范围。中一般不再写出其收敛范围。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换(;(2); 0(1)非周期信号收敛域:即凡是有始有终,能量有限的信

9、号)有稳定幅度的信有界全平面周期 号收敛域:右半平面.0;atea(3)随 时 间 成的 信 号(正 比 增 长增 长4)按 指 数的 信 号。拉氏变换收敛域举例拉氏变换收敛域举例（5）不收敛信号)0(,22tteett)0(Tt 除非机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 0e1sts0)(e1 tasasas 1 0de0tst)()(. 1tutf)(e)(. 2tutfats1 2.2 2.2 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 0eeedatatstt j1ejts 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换)

10、()(. 3ttf 00d)(tt = 10 ( )( )edstttt 0elim stnttnttf )(. 4stnst ed0nststntsstdee00 ttsnstnde01 0ednnstttt 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换nnts 1nt 1n当当 ，21 ts ；n当当 2 2，232ts ；依依次次类类推推， 得得机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换1f1(t) e- t t0例例 求图示两个函数的拉氏变换式求图示两个函数的拉氏变换式 ssF1)(1f2(t) e- t t 0 解解 由于定义

11、的拉氏变换积分下限是由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个，两个 函函数的拉氏变换式相同数的拉氏变换式相同机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换(0)t 当取上式的反变换时，只能表示出当取上式的反变换时，只能表示出0 t区间的函数式区间的函数式 1ets 11机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换15.3 15.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 一、线性（一、线性（linearity）性质）性质 1112jjjss22s )11( ssA1122 ( )( ) , ( )( )f tF sftF s 若若 12

12、( )( )a f tb f t 则则)()(21sbFsaF As A例例1 (1e)tA 例例2 sin t 例例3 jj1 (ee)2jtt 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换二、微分（二、微分（differentiation）定理）定理 sin1022 tss 22 ss ( )( )f tF s 设设 d ( ) ( )(0 )df tsF sft 则则11( )0d( )( )(0 )dnnnn kknkf ts F ssft 1 dcos (sin)dttt 例例1 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换原始

13、值为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。解：解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=Le(t) , R(S)=Lr(t) 对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合线性组合与微分定理微分定理可得S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s) 整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b10)()()()()(010122tebtetddbtratrtddatrtdd例例3 某动态电路的输入某动态电路的输入输出方程

14、为输出方程为012101)0()0()()()()(asasrrassEbbssR反变换得 r(t)=L-1R(s)机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换三、积分（三、积分（integration）定理）定理 例例 ( )( )f tF s 设设 01 ( )d ( )tfF ss 则则ttfdftdd0)()(证明：tdftddLtfL0)()(000)()(tttdfdfLstdfLS0)()(1)(0tfLsdfLt积分上限也应为0-机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换四、时域平移（四、时域平移（time shift）

15、t f(t-t0)t00 f(t)t0f(t)f(t-t0)平移平移 ( )( )f tF s 设设机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 求图示函数的拉氏变换式求图示函数的拉氏变换式 )()()(TtututfsTsssF e11)(1Ttf(t)0机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例3 周期函数（周期函数（periodic function）的拉氏变换。）的拉氏变换。 设设 f1(t)为第一个周期的函数，为第一个周期的函数， )2()()()(111TtfTtftftf证：eee1)(321 sTsTsTsF)

16、(e111sFsT .tf(t)1T/2 T011( )( )f tF s 11 ( )( )1esTf tF s 则则 2111 ( )( )e( )e( )sTsTf tF sF sF s机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换)e1 ()e1 (1)(2TssTssF )e1(12Tss )2()()(1Ttututf)e1(1)(21TsssF .tf(t)1T/2 T0机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换22)( ss2)(1 s22)( s例例1 例例2 例例3 ett esintt ecostt 五、五、 复频域

17、平移（复频域平移（frequency shift） ( )( )f tF s 设设 e( )()tf tF s 则则机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换六、初值六、初值(initial-value)定理和终值定理和终值(final-value)定理定理 )(lim)(lim)0(0ssFtffst 初值定理初值定理 若若 f(t)=F(s)，且，且 f(t)在在t = 0处无冲激处无冲激， 则则存在时存在时)(limtft )(lim)(lim)(0ssFtffst终值定理终值定理 f(t)及其导数及其导数f (t)可进行拉氏变换，且可进行拉氏变换，且 ，则

18、，则机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例1 11lim)(0sstust例例2 2215)( sssI3)/212/115(lim)2215(lim)0( sssssiss例例3 1)111(lim)(0 ssstist11( ) 1e 1-tI sss 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换as 111)()0(limlimassssFfss01)()(limlim00assssFfss例例4 4：已知：已知F(sF(s)=)= 解：解：由初值定理和终值定理可得，求求f(0)和和f()例例5：已知：已知F(s)= ,求

19、求f(0)和和f()由于s=ja是sF(s)的极点，位于虚轴上，不能应用终值定理，即f()不存在。01)()0(22limlimassssFfss221as 解：解：由初值定理得机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 112212128( )( ),( )( )( )( )( )( )f tF sf tF sf tf tF sF s ：若卷则时域积性LL例例 右图所示电路中，电压源为 ，试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)()(tuetutai七、七、解：解：令激励电压为单位冲激电压(t)，则初值为LtdtLi1)(1)0(00冲激响应电流为h(t)=)

20、t (eLtLR 1零状态响应电流为卷积积分i(t)=u(t)* h(t)=u(t)*) t (eLtLR 1 进行拉普拉斯变换 Li(t)=U(s)H(s)=U(s)Lh(t) )t(eLL)t(eLtLRta1LRsLas)s(I 111LRsLasLsILti111)()(11)()()(1)(teeaLRLtitLRta机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 112212129( )( ),( )( )( )( )( )1( )2f tF sf tjF sf tf tF sFss ：若域卷 则积性LLL八、八、九、九、机械工程控制基础机械工程控制基础拉

21、普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换表表2-1 拉拉普普拉拉斯斯变变换换的的基基本本性性质质机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换表表2-2 拉拉普普拉拉斯斯变变换换表表机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.4 2.4 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 一、由象函数求原函数一、由象函数求原函数 （2）经数学处理后查拉普拉斯变换表）经数学处理后查拉普拉斯变换表 )()()()(21sF

22、sFsFsFn )()()()(21tftftftfn f(t)=L-1F(s)（1）利用公式）利用公式 jj1( )( )e d02jstf tF sst 较麻烦较麻烦 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换象函数的一般形式：象函数的一般形式： )( )()()(11011021mnbsbsbasasasFsFsFnnnmmm 二、将二、将F(s)进行部分分式展开（进行部分分式展开（partial-fraction expansion） 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换nsssF，有单实根120)(. 1nnsskss

23、kssksF 2211)( nitsiiktf1e)(1)()(11sssFssk 2)()(22sssFssk nssnnsFssk )()()(1ss )(1ss )(1ss )(1ss 等式两边同乘等式两边同乘(s-s1) =0机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换)()()(lim211sFsFsssFissi )()(21iisFsF )()(21iiisFsFk ki也可用也可用分解定理分解定理求求 nitsiiisFsFtf121e)()()()()(lim21sFsssFkissii nniissksskssksFsFsF 1121)()()(

24、)(iss )(iss )(iss )(iss 等式两边同乘（等式两边同乘（s-si） )(iss 应用洛比达法则求极限应用洛比达法则求极限 00机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换21321 sksksk5 . 2)(01 SssFk2( )2.55e1.5e(0)ttf tt)2)(1(52 sssss例例1 )23(5)(22 ssssssF5)1)(12 SssFk5 . 1)2)(23 SssFk机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换例例2 52)(2 ssF用分解定理用分解定理 2311s- 2s- 32223(

25、 )( )( )ee( )( ) 3e7e(0)ttttF sF sf tF sF st 6554)(2 ssssF)()(21iiisFsFk 3221 ss机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换21122 ss2( )2 ( )2ee(0)ttf ttt )2)(1(32 sss例例3 23772)(22 sssssFm n，用长除法，得，用长除法，得 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换有有共共轭轭复复根根)( . 22sF12( )jjkkF sssk1 , k2也是一对共轭复数。也是一对共轭复数。 )eeee()(

26、)j(j)j(jttkktf ee e)( j)( j tttk2ecos()(0)tktt 1,2js 假设只有两个根假设只有两个根j1ekk j2ekk ，可据前面介绍的两种方法，可据前面介绍的两种方法设设 求出求出 k1 , k2。机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换52)(2 ssssF2j11 s6 .26559. 024 j22j1222j11 Sssk6 .26559. 024 j22j1222j12 Sssk)6 .262cos(e559. 02)( ttft0)6 .262cos(e12. 1 ttt例例 2j12 s法一：法一： 部分分式

27、展开，求系数。部分分式展开，求系数。 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换法二：法二： 522 sss22222)1(12)1(1 sss1( )ecos2esin2(0)2ttf tttt( )1.12ecos(226.6 )(0)tf ttt 或或表表示示为为 222)1( ss将将F2(s)改写为改写为(s )2 + 2 222)1(11 ss机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换有有相相等等的的实实根根（重重根根）)(. 32sF21211211)()()()(sskssksssFsF 1)()(212SSsFssk

28、 1)()(dd211SSsFsssk 21121)()(kssksssF 等式两边乘等式两边乘21)(ss 1112( )ee (0)s ts tf tkk tt机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换221)1()1( SkSk2)1(52)( sssF3)1()1(521222 Ssssk2)52(dd11 Sssk0e3e2)( tttftt例例1 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换32322221)2()2()2( sksksk32)2(22)( ssssF例例2 2)2()2(42233223 Sssssk等式两

29、边乘等式两边乘 3)2( s23222213)2()2()2)(kskskssF 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2)22()2()2(22dd2233222 sSssssssk22213)2(2)2)(ddkskssFs 23222213)2()2()2)(kskskssF 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换122dd21)2()2()22(dd21223322221 sssssssssk2222( )e2 ee(0)tttf tttt32)2(2)2(2)2(1)( ssssF213222)2)(ddkssFs

30、22213)2(2)2)(ddkskssFs 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换 )()(1110nmmmssasasasF nnnnsskssksskssksF)()()()(111121211 4.一般多重根情况一般多重根情况 1)()(1SSnnsFssk 1)()(dd11SSnnsFsssk 1)()(dd211222SSnnsFsssk 1)()(dd)!1(11111SSnnnsFsssnk 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换练习练习1:1:10(2)(5)( ),(1)(3)ssF ss ss已知求其逆

31、变换312( )13kkkF smnsss解：部分分解法（）100( )10(2)(5)100(1)(3)3ssksFsssss其 中机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换333(3)( )10(2)(5)10(1)3ssksF ssss s 211(1)( )10(2)(5)20(3)ssksFssss 解 ：1002010( )313(3)Fssss解 ：310010( )20( )33ttf teeu t机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换32597( ),(1)(2)sssF sss已 知求 其 逆 变 换( )F

32、s解：长除法练习练习2:2:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换23277223795232223232ssssssssssssss机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换21( )212F ssss12( )212kkF ssss部 分 分 式 展 开 法 11223(1)2(1)(2)311ssskssssks 其中2( )( )2 ( )2( )ttf ttteeu t机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换223( ),(25)(2)sF ssss已知求其逆变换23( )(12)(12)

33、(2)sF ssjsjs 解：01212122kkksjsjs 练习练习3:3:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2112312:(12)(2)5sjsjksjs 解 其中2237(12)(12)5ssksjsj12, (,)55AjBAB 1 , 2即 k机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2127( )2cos(2 )sin(2 )( )555ttf tetteu t 121275555( )12125(2)jjF ssjsjs 解：1,212,55AB 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变

34、换及反变换32(),(1)sFss s已 知求 其 逆 变 换131112232( )(1)(1)(1)kkkkF sssss解：312( )(1)( )sF ssF ss令1p（重根 极点处的留数） 练习练习4:4:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换11 111()23spskFsss 解 ： 其 中11 2121()(2 ) 12spsdkFsd ssss 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换121 312411()21422spsdkFsd sss 解 ：2030()22(1)ssksFsss 32( )(1)(1

35、)()Fsssss23( )222( )2tttftt eteeu t机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换2.5 用拉氏变换法用拉氏变换法求解常微分方程求解常微分方程机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换一、一、 用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程1( )( )10( )(0( )( ),0,1,( )(),0,1,iippiijpjssyytY sifmstF sj 则 机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换( )y t方程两边取拉氏变换整理得的象函数( )()zsziytty

36、ty再取逆变换得解110000()0(0 )( )( )(nimipjijipjnniiiipiizzsiasb sY sa sya sF sYsYs 用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换( )3( )2 ( )2( )6( )( )( ),(0 )2,(0 )1( ),( ),( )zizsyty ty tftf tf ttyyy tytyt已知求2( )(0 )(0 )3( )3 (0 )2 ( )2( )6 ( )s Y ssyysY syY ssF sF s解：方程取拉氏变换得 例例1:1:机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换22753( )3212zisYsssss部分分解2( )(53)( )ttziyteeu t逆 变 换 得机械工程控制基础机械工程控制基础拉普拉斯变换及反变换拉普拉斯变换及反变换22( )(34)( )( )(53)( )ttzsttziyteeu tyteeu t逆 变 换 得22(3)( )3234112zssYsssssss部 分 分 解解 ：2( )( )( )(32) ( )ttzizsy tytyteeu t