多元函数学习教案.pptx

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1、1一二元函数一二元函数(hnsh)的定义的定义一元函数：1定义定义(dngy)（二元函数）：（二元函数）：设点集，对于(duy)，变量按照一定法则总有确定的值与之对应，则称是变量的二元函数（或称点P的函数）记为定义域：自变量：因变量：值 域：或（点集）第1页/共18页第一页，共19页。2定义域定义域用解析(ji x)式表示的二元函数，其定义域是使该式有意义(yy)的点的集合（区域）（有特殊说明除外）； 表达实际意义的二元函数(hnsh)，定义域由实际意义确定圆柱体体积注：注：如：第2页/共18页第二页，共19页。3 函数函数(hnsh)值值1)函数函数(hnsh)值的符号；值的符号；2)求法求

2、法例如例如(lr)：第3页/共18页第三页，共19页。4二二元函数二二元函数(hnsh)(hnsh)的几何意的几何意义义二元函数二元函数(hnsh)定义定义域：域：二元函数二元函数(hnsh)图像：图像：平面区域平面区域空间曲面空间曲面第4页/共18页第四页，共19页。xzy例如例如(lr), 二二元函数元函数定义域为圆域说明说明(shumng): 二元函数(hnsh) z = f (x, y), (x, y) D图形为中心在原点的上半球面.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .三元函数 定义域为图形为空间中的超曲面.单位闭球xyz第5页/共18页第五页，共19页。例例2

3、. 求函数的定义域.解解:机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 oyx例例1. 求函数的定义域.第6页/共18页第六页，共19页。7例例3. 已知函数已知函数(hnsh)，求解解:设，则所以(suy)即第7页/共18页第七页，共19页。8*.齐次函数齐次函数(hnsh)二元二元k次齐次函数次齐次函数(hnsh)：一次齐次函数一次齐次函数(hnsh)二次齐次函数二次齐次函数为常数）次齐次函数次齐次函数生产函数）如：如：第8页/共18页第八页，共19页。9一般地，生产函数(hnsh)通常假定为齐次函数(hnsh)时，称规模报酬(bo chou)不变或固定规模报酬(bo chou)（产出与

4、生产规模(gum)成比例）；时，称规模报酬递增；时，称规模报酬递减。当当当第9页/共18页第九页，共19页。三、二元函数三、二元函数(hnsh)(hnsh)的极限的极限机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 设函数设函数(hnsh)时，有都存在为常数，若对二元函数极限有多种类型，我们这只讨论时的极限。( , )f x y内有定义，的去心邻域( , )zf x y在点00,xxyy使当成立则称为当时的极限。记为或定义定义2.第10页/共18页第十页，共19页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 注：注：可记为2）一元函数只有(zhyu)三种(sn zhn)形式，而二元函数定义域为

5、平面区域，可以从各个方向趋近，这是两者质的区别.第11页/共18页第十一页，共19页。机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数与一元函数的极限性质类似(li s)，具有有界性、保号性及四则运算(s z yn sun)性质等；二元函数也有与一元函数类似的求极限的方法，如：替换定理、换元法、代入法等。如：第12页/共18页第十二页，共19页。机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 例例4.求极限(jxin)：第13页/共18页第十三页，共19页。 若当点趋于不同(b tn)值或有的极限不存在，解解: 设设 P(x , y) 沿直线沿直线(zhxin) y = k x 趋于点

6、趋于点 (0, 0) ,在点 (0, 0) 的极限(jxin).则可以断定函数极限则有k 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于不存在 .例例5. 讨论函数讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共18页第十四页，共19页。四、四、 二元函数二元函数(hnsh)的连续性的连续性 定义定义(dngy)3 . 设二设二元函数元函数如果函数(hnsh)在 D 上各点处都连续, 则称此函数(hnsh)在 D 上否则称为不连续,此时称为间断点 .则称二元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 内有定义，若的邻域( , )zf x y

7、在点( , )zf x y在点第15页/共18页第十五页，共19页。例如例如(lr), 函数函数在点(0 , 0) 极限(jxin)不存在, 又如又如, 函数函数(hnsh)上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切二元初等函数在定义区域内连续.第16页/共18页第十六页，共19页。定理定理(dngl)：若：若 f (P) 在有界闭域在有界闭域 D 上连续上连续, 则则机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 )()2(Pf在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;, ,Mm(3) 对任意，DQ;)(Qf使(有界性定理(dngl

8、) (最值定理) (介值定理) 闭域上二元连续函数有与一元函数类似的如下性质:第17页/共18页第十七页，共19页。18感谢您的观看(gunkn)！第18页/共18页第十八页，共19页。NoImage内容(nirng)总结1。值 域：。例如, 二元函数。机动 目录 上页 下页 返回 结束。的图形一般为空间曲面 .。一般地，生产函数通常假定为齐次函数。时，称规模报酬不变或固定规模报酬。替换定理、换元法、代入法等。 若当点。在点 (0, 0) 的极限.。k 值不同(b tn)极限不同(b tn)。在 (0,0) 点极限不存在 .。定义3 . 设二元函数。在点(0 , 0) 极限不存在,。故 ( 0, 0 )为其间断点.。第17页/共18页第十九页，共19页。