多元生命函数学习教案.pptx

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1、本章(bn zhn)结构 多元生命(shngmng)函数简介 连生状况 最后生存状况 生命(shngmng)模型 人寿保险与生存年金 在特殊死亡律假定下求值第1页/共58页第一页，共59页。本章(bn zhn)中英文单词对照 多元生命函数 连生状态 最后生存(shngcn)状态 共同震动 继承年金 Multiple life function Joint-life status Last-survivor status Common shock Reversionary annuities第2页/共58页第二页，共59页。第一节多重生命(shngmng)函数简介第3页/共58页第三页，共59页

2、。多重生命函数(hnsh)的定义及作用 多元生命函数的定义：涉及多个生命剩余寿命的函数。 作用(zuyng) 养老金给付场合 合伙人联保场合 遗产税计算场合第4页/共58页第四页，共59页。多元剩余(shngy)寿命的联合分布 联合密度函数(hnsh) 联合分布函数(hnsh)( ) ( )( , )T x T yfs t( ) ( )( ) ( )0 0( , )Pr( ( ), ( )( , )T x T ys tT x T yFs tT xs T ytfu v dvdu第5页/共58页第五页，共59页。多元剩余寿命的联合(linh)分布 边际(binj)生存函数( )( ) ( )0 0

3、( )( )( ) ( )0 0( )( )Pr( ( )( , )1( )( )Pr( ( )( , )1( )sT xT x T ysxT xtT yT x T ytyT yFsT xsfu v dvdupFsFtT ytfu v dudvpFt 第6页/共58页第六页，共59页。第二节多元生命(shngmng)状况第7页/共58页第七页，共59页。连生状况(zhungkung) 连生状况定义： 当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。当有一个成员死亡时，连生状况就结束了。简记连生状况为： 连生状况剩余寿命等于： 连生状况剩余寿命的性质：求连生状况的剩余寿命实质上就是m个生命(shngmn

4、g)的最小次序统计量1( ,)mxx1min (), ()mTT xT x第8页/共58页第八页，共59页。两个体连生状况的生命(shngmng)函数 分布(fnb)函数 生存函数( )Pr()Prmin ( ), ( )1 Pr ( ), ( )1TtxytxyF tqTtT x T ytT xt T ytp ( )Pr ( ), ( ).TtxytxtyStT xt T ytpi d pp第9页/共58页第九页，共59页。两个体连生状况的生命(shngmng)函数 密度函数 死亡(swng)效力函数( )( ) .()TTtxtyx ty tdftF t i d ppdt( )( ).(

5、)Txyx ty tTftti dSt第10页/共58页第十页，共59页。两个(lin )体连生状况的生命函数 两独立个体(gt)至少有一个在第K年死亡的概率 连生状况整值剩余寿命为k的概率:1x k y kx k y kx ky kx ky kqpqqqq :Pr()kxyx k y kkxkyx ky kKkpqid ppqq第11页/共58页第十一页，共59页。两个体连生状态的生命(shngmng)函数 剩余寿命(shumng)期望0010 () ()xytxyxykxykeE T xyp dteE T xyp第12页/共58页第十二页，共59页。最后生存(shngcn)状况 最后生存(

6、shngcn)状况定义： 只要有一个成员活着时的状况，称为最后生存(shngcn)状况。只有当所有成员都死亡时，最后生命状况才算结束。简记为： 最后生存(shngcn)状况的剩余寿命等于： 最后生存(shngcn)状况的剩余寿命的性质：最后生存(shngcn)状况的剩余寿命实际上就是m个生命的剩余寿命的最大次序统计量1( ,)mxx1max (), ()mTT xT x第13页/共58页第十三页，共59页。多元生存状况(zhungkung)剩余寿命的关系 ()()( )( )T xyT xyT xT y()()( )( )T xyT xyT xT y()()( )( )K xyK xyK xK

7、 y()()( )( )K xyK xyK xK y第14页/共58页第十四页，共59页。两个(lin )体最后生存状况的生命函数 分布函数 等价(dngji)公式()( )Prmax ( ), ( )Pr ( )Pr ( )Pr ()tT xyxytxtytxyFtqT x T ytT xtT ytT xytqqq()( )( )()( )( )( )( )T xyT xT yT xyFtFtFtFt第15页/共58页第十五页，共59页。两个体最后生存状况(zhungkung)的生命函数 生存函数 等价(dngji)公式()( )Prmax ( ), ( )Pr ( )Pr ( )Pr ()

8、tT xyxytxtytxyStpT x T ytT xtT ytT xytppptxyttxtyxypppp第16页/共58页第十六页，共59页。两个体最后生存状况(zhungkung)的生命函数 密度(md)函数 等价公式( )( )()()()( )( )( )( )( ).()T xT yT xyT xyT xytxx ttyy ttxtyy ty tdftFtftftftdti d pppp()( )( )()( )( )( )( )T xyT xT yT xyftftftft第17页/共58页第十七页，共59页。两个体最后(zuhu)生存状况的生命函数 死亡效力(xio l)函数(

9、)()( )( )( )().T xyxyT xytxx ttyy ttxtyy ty ttxtytxtyfttStppppi dpppp第18页/共58页第十八页，共59页。两个体最后生存状况(zhungkung)的生命函数 最后生存状况(zhungkung)整值剩余寿命为k的概率 等价公式:Pr()Pr( )Pr( )Pr().()(1)(1)kxx kkyy kxyx k y kkxx kkyy kkxkyx kx kx kx kkykxx kkxkyy kkxkyx kx kK xykK xkK ykK xykpqpqpqi d pqpqppqqqqppqppqpp qqxyxykkk

10、kxyqqqq第19页/共58页第十九页，共59页。两个(lin )体最后生存状态的生命函数 剩余(shngy)寿命期望0000 xyxyxyxyxyxyeeeeeeee第20页/共58页第二十页，共59页。例1： 假定（60）和（65）服从(fcng)Moivre 生存模型， 计算100)(, )(,65,6065,6065,6065,60tptptt第21页/共58页第二十一页，共59页。例1答案(d n)350 ,351401)(350 ,35354040350351)(3535400401)(404065,60656065,6065656060tttttttpppttttpttttpt

11、tttt第22页/共58页第二十二页，共59页。例1答案(d n)4035,401350 ,14002)(4035,4040350 ,14001400265,6065,6065,60265,60656065,60tttttppdtdtttttpppptttttt第23页/共58页第二十三页，共59页。例2 假定： 不抽烟的人的死亡力是同年龄抽烟的人的死亡力的一半。 不抽烟的人数满足如下方程 有一对夫妻丈夫(zhngf)（65）不抽烟，妻子（55）抽烟，求他们还能共同生活的期望时间。750 ,)75(1000 xxlx第24页/共58页第二十四页，共59页。例2答案(d n)5417. 3202

12、01010202010102020)55()55(,1010)65()65(7575)(,7575)(7522,7511002010055,6555,65020556555,65255652dtttdtpettppptstsptstspxxsxxsxxtstnttssstnnntsnnsxnxx第25页/共58页第二十五页，共59页。联合生命状况剩余寿命(shumng)协方差分析2020 ()2() ()2() (), () (), () () ()()()oxytxyoxytxyooooooooxyxyxyxxyyxyVar T xytp dteVar T xytp dteCov T xy

13、T xyE T xy T xyE T xy E T xye eeeeeee第26页/共58页第二十六页，共59页。第三节联合生命(shngmng)模型第27页/共58页第二十七页，共59页。简介(jin ji) 联合生命模型分为两类： Common Skhoc 模型：它假定个体之间的剩余寿命随机变量相互独立的模型。这种模型假定有时(yush)与现实情况不符，但易于分析。 Copulas模型：它假定个体之间的剩余寿命随机变量不独立的模型。这种模型假定更符合实际情况，但不易于分析。第28页/共58页第二十八页，共59页。Common Shock 模型(mxng) 如果有 满足且有一个(y )Com

14、mon Shock 随机变量Z，它独立于 ,且服从指数生存函数令则( ),( )Tx Ty( )( )( )( )( , )( )( )Tx TyTxTySs tSsSt( ),( )Tx Ty( )0,0zZSzez( )min( ), ,( )min( ),T xTx ZT yTy Zmax( , )( ) ( )( )( )( , )( )s tT x T yTxTySs tSsSe第29页/共58页第二十九页，共59页。联合(linh)生命状况分析 记 边际(binj)生存函数为 连生状况剩余寿命生存函数为 最后生存状况剩余寿命生存函数为 ( )min( ),( )min( ),T x

15、Tx ZT YTYZ( )( )( )( )( )Pr ( ) ( )0( )( )Pr ( )0 ( )( )sT xTxtT yTySsT xsT ySs eStT xT ytSt e()( )( )( )( )( )tT xyTxTyStStSte()( )( )( )( )( )( )( )( )( )tT xyTxTyTxTyStStStStSte第30页/共58页第三十页，共59页。第四节人寿保险(rn shu bo xin)与生存年金 第31页/共58页第三十一页，共59页。寿险(shu xin)趸缴纯保费的确定原理1022 Pr() kukuuAE ZvKkVar ZAA第32

16、页/共58页第三十二页，共59页。联合(linh)生命状况下寿险趸缴保费的确定 连生状况(zhungkung) 最后生存状况(zhungkung)1022xykxyxykkkxykxyxyAvqqqVar ZAA11:0022kkxyxykxyx k y kkkkxyxyxyAvqvpqVar ZAA第33页/共58页第三十三页，共59页。联合生命状况下生存(shngcn)年金的确定 原理(yunl) 连生状况 最后生存状况222:11(1) uuu nu naAVar YAAdd222:11(1) xyxyxy nxy naAVar YAAdd222:11(1) xyxyxy nxy naA

17、Var YAAdd第34页/共58页第三十四页，共59页。连生状况和最后(zuhu)死亡状况的关系(1)()()( )( )(2)(3)xyxyxyxyxyxyK xyK xyK xK yAAAAaaaa第35页/共58页第三十五页，共59页。例3 例1续，假定( jidng) 计算05. 065,6056,6065,6065,60,aAaA第36页/共58页第三十六页，共59页。例3答案(d n)（1）3177. 03177. 040114002)(5867. 01400275)(4721. 0351)(4323. 0401)(65,60656065,60403505. 035005. 04

18、0065,6065,6035005. 035065,6065,6035005. 0350656540005. 04006060AAAAordtedttedttfvAdttedttfvAdtedttfvAdtedttfvAttttttttt第37页/共58页第三十七页，共59页。例3答案(d n)（2）646.13646.1305. 03177. 011266. 805. 05867. 011558.1005. 04721. 011354.1105. 04323. 01165,60656065,6065,6065,6065,6065,6065656060aaaaorAaAaAaAa第38页/共5

19、8页第三十八页，共59页。单重次顺位函数(hnsh) 在n年之内，(x) 先于(y)死亡(swng)1xynqntxxynyttxxtnytxntyxntyxxyndttpdtppdtptfdsdtsftfdsdtsftfq000001)()()()()()(第39页/共58页第三十九页，共59页。单重次顺位函数(hnsh) 在n年之内， (y) 后于(x)死亡(swng) 2xynqxnynxynxynynntyxyynnxttyytntxyn tyxxynqpqqqdttppdtppdsdtsftfdsdttfsfq1100000 02)()1 ()1 ()()()()()()(0(nyT

20、xTpr第40页/共58页第四十页，共59页。顺位保险(boxin)1201xyyxyTxxyttxyAAAdtpvA第41页/共58页第四十一页，共59页。例4 例1续 求)05. 0(,)2() 1 (265,60165,60165,60165,6010165,60AAAqandq第42页/共58页第四十二页，共59页。例5 假定有一(20)岁女性，一(50)岁男性 已知 求两者中第一个死亡者的期望(qwng)寿命151301mf第43页/共58页第四十三页，共59页。例5答案(d n)501032503120)(3/213/130110101151301150,20150,2001513

21、01150,2001 . 00deathfirstofagetheEqqdteeqdteetttfmmf第44页/共58页第四十四页，共59页。例4答案(d n)（1）25. 0 . 035140405714. 035140401001006565,60165,60103503506565,60165,60dttdtpqdttdtpqtttt第45页/共58页第四十五页，共59页。例4答案(d n)（2）149. 0264. 0323. 0)(165,6065265,60165,6065,60165,603506565,60165,60AAAAAAdttpeAtt第46页/共58页第四十六页，

22、共59页。继承(jchng)年金(reversionary annuities) 继承年金的定义(dngy)：在联合生命状态中，只有在其中一个生命（v）死亡之后，另一个生命（u）才能开始获得年金。这种年金叫做继承年金，简记为 。 终身继承年金 定期继承年金vuayxyx yaaa:y nxy nx y naaa第47页/共58页第四十七页，共59页。第五节特殊(tsh)死亡律假定下求值第48页/共58页第四十八页，共59页。Gomperz假定(jidng)下 目的：寻找能替代连生状态的单个生命状态w，即 已知在Gomperz假定下有 ，则在两生命独立假定下有 由这个等式(dngsh)可求出w，

23、于是( ),0 xysssxxBcx sy ssxyBcBcBcccctxytpp第49页/共58页第四十九页，共59页。Makeham假定(jidng)下 由于Makeham假定的死亡效力函数含有常数项，所以无法用单个生命状态替换连生状态，但是可以(ky)考虑用两个同年龄的连生状态（w，w）作替换，即 已知在Makeham假定下有 ，则在两生命独立假定下有 由这个等式可求出，于是 ( )( )xyssxxABc222x sy ssxyABcABcABcccctxytpp第50页/共58页第五十页，共59页。例6 假定生命表服从Makeham分布 且多元生命状态(zhungti)20:30可以

24、被W:W代替。 假定多元生命状态(zhungti)10:W可以被Z:Z代替 求Z.210c第51页/共58页第五十一页，共59页。例6答案(d n)204262226222222010103230203020zcccccccccccccwzzwww第52页/共58页第五十二页，共59页。均匀分布假定(jidng) 在均匀分布假定下，趸缴纯保费和生存年金具有单生命状态(zhungti)下近似的性质()1(1)( )( )xyxyxyxymxyxyiAAaAam am第53页/共58页第五十三页，共59页。补充(bchng)案例1 假定有一20岁的女性(nxng)和一50岁的男性。已知 求第一个死

25、亡的期望年龄。151,301mF第54页/共58页第五十四页，共59页。补充(bchng)案例2 求（10）和（20）都能活到他们目前年龄的两倍且至少有一个(y )能活到他目前年龄的3倍的概率。DCBAofNoneEpppDppCpppBpppppA,.2.1050204020101020204010601050103020101050105020101030第55页/共58页第五十五页，共59页。补充(bchng)案例3 求（25）和（45）死亡间隔( jin g)在10年内的概率。)(1)(111155:254510145:352510145:254510145:352510145:254

26、510145:252510145:252510145:254510qpqpEqpqpDqpqpCqpBqpA第56页/共58页第五十六页，共59页。补充(bchng)案例4 确定该年金产品的现时(xinsh)值 （X）和（Y）都存活时给付1 （X）死亡后降到1/3 （Y）死亡后降到1/4 已知12,18,24xyyxaaa第57页/共58页第五十七页，共59页。感谢您的观看(gunkn)！第58页/共58页第五十八页，共59页。NoImage内容(nirng)总结本章结构。当所有成员都活着时的状况，称为连生状况。只要有一个成员活着时的状况，称为最后生存状况。且有一个Common Shock 随机变量Z，它独立于。最后生存状况剩余寿命生存函数为。连生状况和最后死亡状况的关系。假定有一(20)岁女性，一(50)岁男性。这种年金叫做(jiozu)继承年金，简记为。目的：寻找能替代连生状态的单个生命状态w，即。且多元生命状态20:30可以被W:W代替。假定多元生命状态10:W可以被Z:Z代替第五十九页，共59页。