第讲极坐标方程及其应用.pptx

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1、淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件1 1学习目标学习目标1 1理解极坐标的概念；理解极坐标的概念； 会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化，会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化， 会进行曲线的极坐标方程与极坐标方程的互化；会进行曲线的极坐标方程与极坐标方程的互化；2 2理解等速螺线的概念及其极坐标方程理解等速螺线的概念及其极坐标方程淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件2 2重重 点点难难 点点极坐标的概念极坐标的概念等速螺线等速螺线淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件3 3 极坐标最早是由瑞士数学家雅各极坐标最

2、早是由瑞士数学家雅各贝努利于贝努利于16911691年引年引入的，虽然牛顿在入的，虽然牛顿在16711671年曾使用过极坐标系，但他的年曾使用过极坐标系，但他的文章直至文章直至17361736年才发表。年才发表。17291729年德国数学家赫尔曼年德国数学家赫尔曼（Jacob HermannJacob Hermann）进一步完善了极坐标的概念，并）进一步完善了极坐标的概念，并导出了直角坐标与极坐标互换的公式。导出了直角坐标与极坐标互换的公式。17481748年欧拉给年欧拉给出了极坐标的现代形式。出了极坐标的现代形式。 淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件4 4以

3、洞山中路为以洞山中路为X X轴轴以田大路为以田大路为Y Y轴轴.请问：去技师请问：去技师学院怎么走？学院怎么走？精神病！精神病！淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件5 5从这向东从这向东20002000米。米。请问：去技师请问：去技师学院怎么走？学院怎么走？淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件6 6请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从 这 向 东 走从 这 向 东 走 2 0 0 02 0 0 0 米 ！米 ！出发点出发点方向方向距离距离 在生活中人们经常用方向和距离来表示一在生活中人们经

4、常用方向和距离来表示一点的位置。这种用点的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平面上一点表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。的位置的思想，就是极坐标的基本思想。淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件7 71 1、极坐标系的建立：、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OXOX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位和再选定一个长度单位和角度单位角度单位及及它的它的正方向正方向（通常取逆时针方向）。（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XO淮南矿业技师学院淮

5、南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件8 82 2、极坐标系内一点的极坐标的规定、极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M M，用，用 表示表示线段线段OMOM的长度，用的长度，用 表示从射线表示从射线OXOX到到OM OM 的角度，的角度， 叫做点叫做点M M的的极径极径， 叫叫做点做点M M的的极角极角，有序数对，有序数对（ ， ）就就叫做叫做M M的极坐标。的极坐标。特别强调：特别强调： 表示线段表示线段OMOM的长度，即点的长度，即点M M到极点到极点O O的的距离；距离； 表示从表示从OXOX到到OMOM的角度，即以的角度，即以OXOX（极轴）

6、为（极轴）为始边，始边，OM OM 为终边的角。为终边的角。XOM 特别规定特别规定: :当当M M在极点时，它的极坐标在极点时，它的极坐标 =0=0， 可以取任意值。可以取任意值。淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件9 9平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？想一想？想一想？淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件10103 3、极坐标系

7、下点与它的极坐标的对应情况、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况11给定（给定（ , , ）, ,就可以在就可以在极坐标极坐标平面内平面内确定唯一的一点确定唯一的一点M M。22给定平面上一点给定平面上一点M M，但却有无数个极坐标与之对应。，但却有无数个极坐标与之对应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)它们有统一的表达式：（它们有统一的表达式：（，2 2k+）如果如果限定限定0,00,022那么除极点外那么除极点外, ,平面内的点和极坐标就可以平面内的点和极坐标就可以一一对应一一对应了了. .淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件111

8、1在直角坐标系中在直角坐标系中, , 以原点作为极点以原点作为极点,x,x轴的正半轴作为极轴轴的正半轴作为极轴, , 并且两种坐标并且两种坐标系中取相同的长度单位系中取相同的长度单位Oxy设点设点M M的直角坐标是的直角坐标是(x, y)(x, y)，极坐标是，极坐标是(,)(,),(yxM则极坐标与直角坐标的互化关系式则极坐标与直角坐标的互化关系式: :x=cos, y=sin)0(tan,222 xxyyx 4 4、极坐标和直角坐标的互化、极坐标和直角坐标的互化淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件1212互化公式的三个前提条件：互化公式的三个前提条件：1.

9、1. 极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合; ;2. 2. 极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x x轴的正半轴重合轴的正半轴重合; ;3. 3. 两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同. .x=cos, y=sin) 0(tan,222 xxyyx 淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件1313定义：定义：设一个动点沿着一条射线作等速运动，同时这条射设一个动点沿着一条射线作等速运动，同时这条射线又绕着它着的端点等角速旋转，这个动点的轨迹线又绕着它着的端点等角速旋转，这个动点的轨迹称为等速螺线（或阿基米德螺线）称为等速螺线（或阿基米德螺线

10、）5 5、极坐标的应用、极坐标的应用淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件1414l设设O O为射线为射线 的端点，以的端点，以O O为极点，为极点， 的初始位置为极轴，建立极坐标系。的初始位置为极轴，建立极坐标系。 ll设动点设动点 在射线在射线 上的起始上的起始位置为位置为 ，并设动点，并设动点P P沿射线沿射线 作直线运动的速度为作直线运动的速度为 ，射线，射线 绕着点绕着点O O作作旋转运动的角速度为旋转运动的角速度为 ，则由等到螺线的定义，则由等到螺线的定义和平面几何知识可得等速螺线的极坐标方程为：和平面几何知识可得等速螺线的极坐标方程为：),( Pl)

11、0 ,(0 Plvl )0(0 vaa令令下面我们来建立等速螺的极坐标方程下面我们来建立等速螺的极坐标方程. .淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件1515特别地，特别地， 时，即动点时，即动点P P从极点从极点O O开始运动，等速螺线开始运动，等速螺线的极坐标方程为：的极坐标方程为：00 a l在机械传动中，经常需要把旋转运动转变为直线在机械传动中，经常需要把旋转运动转变为直线运动，凸轮是实现这种运动变换的重要部件，而运动，凸轮是实现这种运动变换的重要部件，而常用凸轮的轮廓线就是等速螺线的一部分。常用凸轮的轮廓线就是等速螺线的一部分。淮南矿业技师学院淮南矿业技

12、师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件1616 例例3 3：一滑杆（设此滑杆足够长）一端固定，其：一滑杆（设此滑杆足够长）一端固定，其上有一滑块，位于端点上有一滑块，位于端点20mm20mm处，它以处，它以5mm/s5mm/s一速度一速度向远离固定的一端，又此滑杆另一端以每秒逆时向远离固定的一端，又此滑杆另一端以每秒逆时针方向旋转针方向旋转/6/6的角速度旋转，求此滑块的运动的角速度旋转，求此滑块的运动轨迹。轨迹。解：此滑块的运动轨迹为等速螺线，其轨迹为解：此滑块的运动轨迹为等速螺线，其轨迹为30206/520淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件1717例例

13、4：已知凸轮的基圆半径已知凸轮的基圆半径R=60mm，要求：当转角，要求：当转角自自0转到转到 时，推杆等速上升时，推杆等速上升60mm；当转角；当转角自自 旋转到旋转到 时，推杆等速下降时，推杆等速下降60mm；当转角；当转角自自 旋转到旋转到 时，推时，推杆保持不动杆保持不动.求凸轮轮廓曲线的极坐标方程求凸轮轮廓曲线的极坐标方程. 65910265910解解 :凸轮轮廓曲线的极坐标方程凸轮轮廓曲线的极坐标方程a0（1）当）当=0=0时，时，R=60R=60，代入得，代入得0600a当当= 时，时，R=120，代入得，代入得65651200a解得：解得：72600，a即即7260( (见教材

14、见教材P P6161) )淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件1818（2 2）当）当= = 时，时，R=120R=120，代入得，代入得65651200a当当= 时，时，R=60，代入得，代入得910910600a解得：解得：2163000，a即即216300(3)当当 时，时，291060淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件1919小小 结结你能总结一下本讲的主要内容吗？你能总结一下本讲的主要内容吗？淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件2020650，726091065，2163002910，60所以所求的凸轮轮郭曲线方程为：所以所求的凸轮轮郭曲线方程为：淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学多媒体课件多媒体课件2121练练 习习1 1将下列直角坐标转化为极坐标：将下列直角坐标转化为极坐标：（1 1）A A（0 0，4 4） （2 2）B B（1 1，-1-1） 2 2将下列极坐标转化为直角坐标：将下列极坐标转化为直角坐标：3 3将下列极坐标方程转化为极坐标方程将下列极坐标方程转化为极坐标方程)2, 2(2)34(1B，A）（）（cos4)2(5) 1 (淮南矿业技师学院淮南矿业技师学院应用数学应用数学课件课件2222祝你学习进步！祝你学习进步！祝你工作愉快！祝你工作愉快！