数学分析教案 (华东师大版)第九章 定积分.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流数学分析教案 (华东师大版)第九章 定积分.精品文档.第九章 定积分 教学要求： 1知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；2.深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；3.理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；4.理解并熟练地应用定积分的性质；5.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：1.深刻理解并掌握定

2、积分的思想，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分；2.掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；3.理解并熟练地应用定积分的性质；4.熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学时数：14学时 1 定积分概念 （2学时） 教学要求： 知道定积分的客观背景曲边梯形的面积和变力所作的功等，以及解决这些实际问题的数学思想方法；深刻理解并掌握定积分的思想：分割、近似求和、取极限，进而会利用定义解决问题；教学重点：深刻理解并掌握定积分的思想.一、问题背景： 1. 曲边梯形的面积: 2. 变力所作的功: 二、不积分的定义: 三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义

3、求积分.解 取 等分区间 作为分法 , . 取 .= 由函数在区间 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数在区间上可积 ,用定义求积分 .解 分法与介点集选法如例1 , 有上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分 .例3 讨论Dirichlet函数 在区间 上的可积性 .四、小结：指出本讲要点 2 Newton Leibniz 公式（2学时） 教学要求： 深刻理解微积分基本定理的意义，能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.教学重点：能够熟练地应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.Th9.1 （ N L公式 ）( 证 )例1求 ; ; 例2 求 . 3可积条件

4、（4学时） 教学要求： 理解可积的必要条件以及上和、下和的性质，掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题.教学重点：掌握可积的充要条件及可积函数类，能独立地证明可积性的问题；一、必要条件: Th 9.2 ， 在区间 上有界.二、充要条件: 1.思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相应于分法 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介点 无关的条件 .方案: 定义上和 和下和 . 研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 2. Darboux和: 以下总设函数 在区间 上

5、有界. 并设 ,其中 和 分别是函数 在区间 上的下确界和上确界 .定义Darboux和, 指出Darboux和未必是积分和 . 但Darboux和由分法 唯一确定.分别用 、 和 记相应于分法 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和 是数集(多值) . 但总有 , 因此有 . 和 的几何意义 . 3. Darboux和的性质: 本段研究Darboux和的性质, 目的是建立Darboux定理. 先用分点集定义分法和精细分法: 表示 是 的加细 .性质1 若 , 则 , . 即 : 分法加细, 大和不增,小和不减 . ( 证 )性质2 对任何 , 有 , . 即 : 大和有下界,小和有上界.

6、( 证 )性质3 对任何 和 , 总有 . 即: 小和不会超过大和 .证 . 性质4 设 是 添加 个新分点的加细. 则有证 设 是只在 中第 个区间 内加上一个新分点 所成的分法, 分别设显然有 和 . 于是添加 个新分点可视为依次添加一个分点进行 次. 即证得第二式. 可类证第一式.系 设分法 有 个分点，则对任何分法 ，有证 . 4. 上积分和下积分: 设函数 在区间 上有界. 由以上性质2 ，有上界 ， 有下界 . 因此它们分别有上确界和下确界.定义 记 , . 分别称 和 为函数 在区间 上的上积分和下积分.对区间 上的有界函数 , 和 存在且有限 , . 并且对任何分法 , 有 .

7、 上、下积分的几何意义. 例1 求 和 . 其中 是Dirichlet函数 . 5. Darboux定理 : Th 1 设函数 在区间 上有界, 是区间 的分法 .则有证 ( 只证第一式 . 要证 : 对 使当 时有. 是显然的. 因此只证 . ) , 对 , 使 设 有 个分点, 对任何分法 , 由性质4的系, 有 ,由* 式, 得 即亦即 . 于是取 , ( 可设 , 否则 为常值函数, = 对任何分法 成立. ) 对任何分法 , 只要 , 就有 此即 = . 6. 可积的充要条件: Th 2 （ 充要条件1 ）设函数 在区间 上有界. = .证 设 = , 则有 = . 即对 使当 时有

8、 | | 对 成立.在每个 上取 , 使 , 于是,因此, 时有此即 = . 由Darboux定理 , = .同理可证 = . = . 对任何分法 , 有 , 而 令 和 的共值为 , 由双逼原理 = . Th 9.3 有界.对 .证 ( ) = 0. 即对 时, . , 由 , 定义 称 为函数 在区间 上的振幅或幅度.易见有 0 . 可证 = Th 9.3 (充要条件2 ) 有界. 对 .Th 3 的几何意义及应用Th 3的一般方法: 为应用Th 3, 通常用下法构造分法 : 当函数 在区间 上含某些点的小区间上 作不到任意小时, 可试用 在区间 上的振幅 作 的估计 , 有 . 此时,

9、倘能用总长小于, 否则 为常值函数 )的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法 的一部分分点，在区间 的其余部分作分割，使在每个小区间上有 , 对如此构造的分法 , 有 0.例4 证明不等式 .证明分析 所证不等式为 只要证明在 上成立不等式 , 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例5 证明 . 5 微积分基本定理.定积分计算（续）（2学时） 教学要求：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.教学重点：熟练地掌握换元积分法和分部积分法，并能解决计算问题.一. 变限积分与原函数的存在性 引入：由定积分计算引出 . 1.变限积分: 定义上限函数 ，（以及函

10、数 ） 其中函数 . 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数.Th 9 ( 面积函数的连续性 )思路：表达面积函数 . 2.微积分学基本定理： Th 10 微积分学基本定理 （原函数存在定理）若函数 则面积函数 在 上可导，且 = . 即当 时, 面积函数 可导且在点 的导数恰为被积函数在上限的值. 亦即 是 的一个原函数 . 证 系 连续函数必有原函数.3.积分第二中值定理 Th11 （积分第二中值定理）设函数 在 上可积， （i）若函数 在 上减，且 ，则存在 ，使得 （ii）若函数在 上增，且 ，则存在 ，使得 推论 函数 在上可积，若 为单调函数，则存在 ，使得 二换元积分法与分部积分

11、法： 1.换元积分法 Th 12 设 函数 满足条件： , 且 ; 在 上有连续的导函数. 则 . （ 证 ） 例1 . ( P225 ) 例2 . ( P225 )例3 计算 . ( P225226 ) 该例为技巧积分.例4 . 该例亦为技巧积分.例5 已知 , 求 例6 设函数 连续且有 求积分例7设 是区间 上连续的奇（或偶函数）函数，则例8 . 2. 分部积分法 Th13 ( 分部积分公式 ) 例9 例10 计算 . 解 = 解得 直接求得 ， . 于是, 当 为偶数时, 有 当 为奇数时, 有 . 三. Taylor公式的积分型余项: P227229. 习 题 课 （2学时） 一 积

12、分不等式： 1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式： 例1 证明不等式 .证 注意在区间 0 , 1 上有 , 例2 证明不等式 . 证 考虑函数, .易见对任何 , 在区间 上 和 均单调, 因此可积,且有 , 注意到 , 就有 . 而因此有 .取 , . 在区间 仿以上讨论, 有 . 而综上 , 有不等式 . 2.某些不等式的积分推广: 原理: 设函数 和 在区间 上可积. 为区间 的 等分分法, . 若对任何 和 , 均有 , 即得 .令 , 注意到函数 和 在区间 上可积, 即得积分不等式倘若函数 和 连续 , 还可由 例3 证明 Schwarz 不等式 ( 亦称为 Cauch

13、y不等式 ): 设函数和 在区间 上连续 ( 其实只要可积就可 ). 则有不等式证法一 ( 由Cauchy 不等式 Schwarz 不等式 . Cauchy 不等式参阅上册 : 设 和 为两组实数, 则有 设 为区间 的 等分分法. 由Cauchy 不等式 , 有两端同乘以 , 有 令 , 注意到函数 、 和 在区间 上的可积性以及函数 的连续性，就有积分不等式证法二 （ 用判别式法 ） 对任何实数 ，有 ， , 即 对任何实数 成立.即上述关于 的二次不等式的解集为全体实数, 于是就有 即 . 例4 且 . 证明不等式证 取 . 对函数 和 应用Schwarz 不等式, 即得所证 . 例5

14、设函数 在区间 0 , 1 上可积 . 试证明有不等式证 先用Jensen不等式法证明不等式 : 对 , 有不等式 设 为区间 的 等分分法. 由上述不等式 , 有 令 , 注意到函数 和 在区间 0 , 1 上的可积性以及函数 和 的连续性，就有积分不等式 .仿该例, 可得到均值不等式、用Jensen不等式法证明的某些不等式的积分形式 . 二. 面积函数的导数 : 例6 求 和 例7 求 和 例8 求 .例9 设时函数连续且.求.( = )例10 设函数 连续且 . 求 和 .解 令 . 两端求导, = . 例11 设 . = .试证明 :证 = , 例12 设函数在区间上连续且0. .试证

15、明: 函数 在区间 内严格递增.证 = , 而0 , 在 内 ，又 连续 ， ， 在区间 内 0 . 因此 在区间 内严格递增. 三. 含有变限积分的未定型极限: 例13 求极限 . ( 2 ) 四. 定积分的计算 : 例 14 计算积分 . 例15 计算积分 = .解 时, = ; 时, = ; 时, = .因此, 例16 利用积分 的值 , 计算积分 .解 而 , .因此， 例17 , 求 ( 2 ) 例18 设 是区间 上连续的偶函数 . 试证明 : 是 上的奇函数 .证法 一 .证法 二 注意到 , 有五. 利用定积分求和式极限 : 原理: 用定积分定义，在函数可积时，能用特殊的分割及介点取法，计算定积分. 例19 求极限 . 3 P163 E13 . 与1例2连系.例20 求极限 .解 = = .由函数 在区间 0 , 1 上可积 , 有 例21 求极限 . 解 = = .因此 , . 例22 试证明: 对任何,有不等式 .证 = 是函数 = 在区间 0 , 1 上相应于 等分分法 的小和 . 由函数 = 在区间 0 , 1 上可积, 有时, . 又易见 . 对任何 , 有 , 即 .