最大似然估计.doc

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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流最大似然估计.精品文档.最大似然估计是一种统计方法，它用来求一个样本集的相关概率密度函数的参数。这个方法最早是遗传学家以及统计学家罗纳德费雪爵士在1912年至1922年间开始使用的。“似然”是对likelihood 的一种较为贴近文言文的翻译，“似然”用现代的中文来说即“可能性”。故而，若称之为“最大可能性估计”则更加通俗易懂。目录隐藏 1 预备知识 2 最大似然估计的原理 o 2.1 注意 3 例子 o 3.1 离散分布，离散有限参数空间 o 3.2 离散分布，连续参数空间 o 3.3 连续分布，连续参数空间 4 性质 o 4.1 泛函不变

2、性（Functional invariance） o 4.2 渐近线行为 o 4.3 偏差 5 参见 6 外部资源 编辑 预备知识下边的讨论要求读者熟悉概率论中的基本定义，如概率分布、概率密度函数、随机变量、数学期望等。同时，还要求读者熟悉连续实函数的基本技巧，比如使用微分来求一个函数的极值（即极大值或极小值）。编辑 最大似然估计的原理给定一个概率分布D，假定其概率密度函数（连续分布）或概率聚集函数（离散分布）为fD，以及一个分布参数，我们可以从这个分布中抽出一个具有n个值的采样，通过利用fD，我们就能计算出其概率:但是，我们可能不知道的值，尽管我们知道这些采样数据来自于分布D。那么我们如何才

3、能估计出呢? 一个自然的想法是从这个分布中抽出一个具有n个值的采样X1,X2,.,Xn，然后用这些采样数据来估计.一旦我们获得, 我们就能从中找到一个关于的估计。最大似然估计会寻找关于 的最可能的值（即，在所有可能的取值中，寻找一个值使这个采样的“可能性”最大化）。这种方法正好同一些其他的估计方法不同，如的非偏估计，非偏估计未必会输出一个最可能的值，而是会输出一个既不高估也不低估的值。要在数学上实现最大似然估计法，我们首先要定义可能性:并且在的所有取值上，使这个函数最大化。这个使可能性最大的值即被称为的最大似然估计。编辑 注意 这里的可能性是指不变时，关于的一个函数. 最大似然估计函数不一定是

4、惟一的，甚至不一定存在。 编辑 例子编辑 离散分布，离散有限参数空间考虑一个抛硬币的例子。假设这个硬币正面跟反面轻重不同。我们把这个硬币抛80次(即，我们获取一个采样并把正面的次数记下来，正面记为H，反面记为T).并把抛出一个正面的概率记为p, 抛出一个反面的概率记为1 p(因此，这里的p即相当于上边的).假设我们抛出了49个正面，31 个反面，即49次H，31次T。假设这个硬币是我们从一个装了三个硬币的盒子里头取出的。这三个硬币抛出正面的概率分别为p = 1 / 3, p = 1 / 2, p = 2 / 3. 这些硬币没有标记，所以我们无法知道哪个是哪个。使用最大似然估计, 通过这些试验数

5、据(即采样数据)，我们可以计算出哪个硬币的可能性最大。这个可能性函数取以下三个值中的一个:我们可以看到当时,可能性函数取得最大值。这就是p的最大似然估计.编辑 离散分布，连续参数空间现在假设例子1中的盒子中有无数个硬币，对于中的任何一个p， 都有一个抛出正面概率为p的硬币对应，我们来求其可能性函数的最大值:其中. 我们可以使用微分法来求最值。方程两边同时对p取微分，并使其为零.在不同比例参数值下一个二项式过程的可能性曲线 t = 3, n = 10; 其最大似然估计值发生在其众数并在曲线的最大值处.其解为p = 0, p = 1, 以及p = 49 / 80. 使可能性最大的解显然是p = 4

6、9 / 80(因为p = 0 和p = 1 这两个解会使可能性为零). 因此我们说最大似然估计值为.这个结果很容易一般化。只需要用一个字母t代替49用以表达伯努利试验中的被观察数据（即样本）的成功次数,用另一个字母n代表伯努利试验的次数即可. 使用完全同样的方法即可以得到最大似然估计值:对于任何成功次数为t，试验总数为n的伯努利试验.编辑 连续分布，连续参数空间最常见的连续概率分布是正态分布，其概率密度函数如下：其n个正态随机变量的采样的对应密度函数(假设其独立并服从同一分布)为：或:这个分布有两个参数: ,2. 有人可能会担心两个参数与上边的讨论的例子不同，上边的例子都只是在一个参数上对可能

7、性进行最大化.实际上，在两个参数上的求最大值的方法也差不多：只需要分别把可能性在两个参数上最大化即可.当然这比一个参数麻烦一些，但是一点也不复杂。使用上边例子同样的符号，我们有 = (,2).最大化一个似然函数同最大化它的自然对数是等价的。因为自然对数log是一个连续且在似然函数的值域内严格递增的函数。注意: 可能性函数（似然函数）的自然对数跟信息熵以及Fisher信息联系紧密. 求对数通常能够一定程度上简化运算，比如在这个例子中可以看到:这个方程的解是. 这的确是这个函数的最大值，因为它是里头惟一的拐点并且二阶导数严格小于零。同理，我们对求导，并使其为零.这个方程的解是.因此，其关于 = (

8、,2)的最大似然估计为:编辑 性质编辑 泛函不变性（Functional invariance）如果 是 的一个最大似然估计，那么 = g()的最大似然估计是. 函数 g 无需是一个一一映射. 请参见George Casella 与Roger L. Berger所著的Statistical Inference定理Theorem 7.2.10的证明.(中国大陆出版的大部分教材上也可以找到这个证明.)编辑 渐近线行为最大似然估计函数在采样样本总数趋于无穷的时候达到最小方差(其证明可见于Cramer-Rao lower bound).当最大似然估计非偏时,等价的,在极限的情况下我们可以称其有最小的均

9、方差. 对于独立的观察来说,最大似然估计函数经常趋于正态分布.编辑 偏差最大似然估计的偏差是非常重要的.考虑这样一个例子, 标有1到n的n张票放在一个盒子中.从盒子中随机抽取票.如果n是未知的话,那么n的最大似然估计值就是抽出的票上标有的n,尽管其期望值的只有(n + 1) / 2. 为了估计出最高的n值,我们能确定的只能是n值不小于抽出来的票上的值. 均方差是衡量一个估计函数的好坏的一个量. 关于Rao-Blackwell定理（Rao-Blackwell theorem）的文章里头讨论到如何利用Rao-Blackwellisation过程寻找最佳非偏估计(即使均方差最小)的方法. 而最大似然估计通常是一个好的起点. 读者可能会对最大似然估计(如果存在)总是一个关于参数的充分统计(sufficient statistic)的函数感兴趣. 最大似然估计跟一般化矩方法(generalized method of moments)有关. 关于最大似然估计的历史的一篇论文, 作者 John Aldrich